Mathématiques du lycée · Grades 10–12

21Limites et continuité

Ce chapitre étend la notion de limite des suites aux fonctions d’une variable réelle, et introduit la continuité. Le résultat central est le théorème des valeurs intermédiaires, qui transforme une information qualitative (« $f$ est continue et change de signe ») en l’existence de solutions d’équations.

21.1 Limites de fonctions

Tout au long, $f$ est une fonction définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalles $D \subseteq \R$ .

Définition 21.1 (Limite à l’infini)

Soit $f$ définie sur un intervalle $\intco{a}{+\infty}$ et $\ell \in \R$ . On dit que $f$ tend vers $\ell$ en $+\infty$ , noté $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ , si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $A$ tel que pour tout $x \geq A$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si pour tout $M \in \R$ il existe $A$ tel que $f(x) \geq M$ pour tout $x \geq A$ . Les limites en $-\infty$ et les limites égales à $-\infty$ se définissent de façon analogue.

Définition 21.2 (Limite en un point)

Soit $a \in \R$ et soit $f$ définie au voisinage de $a$ (sauf éventuellement en $a$ ). On dit que $f$ tend vers $\ell \in \R$ en $a$ , noté $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in D$ avec $\abs{x - a} \leq \delta$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si pour tout $M$ il existe $\delta > 0$ tel que $f(x) \geq M$ dès que $x \in D$ et $\abs{x - a} \leq \delta$ . Les limites à droite et à gauche ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) restreignent $x$ à $x > a$ ou $x < a$ .

Exemple 21.3

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ . La fonction $x \mapsto \frac1x$ n’a pas de limite (bilatérale) en $0$ .

Définition 21.4 (Asymptotes)

La droite $y = \ell$ est une asymptote horizontale de la courbe de $f$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (resp. en $-\infty$ ). La droite $x = a$ est une asymptote verticale si $f$ a une limite infinie unilatérale en $a$ .

La courbe de f(x) = 2 + 1/x-1 avec son asymptote horizontale y = 2 (en ±∈fty) et son asymptote verticale x = 1. — La courbe de $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ avec son asymptote horizontale $y = 2$ (en $\pm\infty$ ) et son asymptote verticale $x = 1$ .

Proposition 21.5 (Opérations sur les limites)

Les règles de la Proposition 20.14 (sommes, produits, quotients) valent verbatim pour les limites de fonctions, en un point ou à l’infini, avec les mêmes quatre formes indéterminées $(+\infty)+(-\infty)$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .

Démonstration. Les démonstrations sont identiques au cas des suites, en remplaçant « pour $n \geq N$ » par « pour $x \geq A$ » ou « pour $\abs{x-a} \leq \delta$ ». ∎

Théorème 21.6 (Limite d’une composition)

Soient $f, g$ des fonctions et $a, b, c$ des nombres réels ou $\pm\infty$ . Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ et $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ , alors

\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

Le même énoncé vaut avec une suite à la place de $f$ : si $u_n \to b$ et $\lim_{y\to b} g(y) = c$ , alors $g(u_n) \to c$ .

Démonstration. Prendre $b, c$ finis (les autres cas sont analogues). Soit $\varepsilon > 0$ . Il existe $\delta > 0$ tel que $\abs{y - b} \leq \delta$ implique $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ ; et il existe $\delta' > 0$ tel que $\abs{x - a} \leq \delta'$ implique $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ . En enchaînant les deux, $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ pour $\abs{x - a} \leq \delta'$ . ∎

Théorème 21.7 (Comparaison et gendarmes)

Soient $f, g, h$ des fonctions et $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ .

Si $f \leq g$ au voisinage de $a$ et $f(x) \to +\infty$ lorsque $x \to a$ , alors $g(x) \to +\infty$ .
Si $f \leq g \leq h$ au voisinage de $a$ et $f, h$ tendent vers la même limite finie $\ell$ en $a$ , alors $g(x) \to \ell$ lorsque $x \to a$ .

Démonstration. Même argument que pour les suites (Théorème 20.16). ∎

Méthode 21.8 (Calculer des limites en pratique)

Polynômes et fonctions rationnelles en $\pm\infty$ : factoriser la plus haute puissance de $x$ ; la limite est celle du rapport des termes dominants.
$\frac{0}{0}$ en un point $a$ : factoriser $(x-a)$ au numérateur et au dénominateur, ou reconnaître une dérivée $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ (Chapitre 22).
Racines carrées : multiplier par l’expression conjuguée.
Facteurs oscillants ( $\cos$ , $\sin$ ) : utiliser le théorème des gendarmes.

21.2 Continuité

Définition 21.9 (Continuité)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . La fonction $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Elle est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Intuitivement, le graphique d’une fonction continue sur un intervalle peut être tracé sans lever le stylo.

Proposition 21.10 (Continuité des fonctions usuelles)

Les polynômes, les fonctions rationnelles, $x \mapsto \sqrt{x}$ , $x \mapsto \abs{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $\exp$ et $\ln$ sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition. Les sommes, produits, quotients (là où ils sont définis) et compositions de fonctions continues sont continues.

Démonstration partielle. La stabilité sous sommes, produits, quotients et composition suit des théorèmes correspondants sur les limites. La continuité de $x \mapsto x$ et des constantes est immédiate d’après la définition, d’où les polynômes et les fonctions rationnelles sont continues. La continuité des autres fonctions usuelles est prouvée dans les chapitres où elles sont construites, ou admise. ∎

Exemple 21.11

La fonction partie entière $x \mapsto \floor{x}$ (le plus grand entier $\leq x$ ) n’est continue en aucun entier $n$ : sa limite à gauche y est $n - 1$ tandis que $\floor{n} = n$ .

La fonction partie entière saute en chaque entier : la valeur (point plein) diffère de la limite à gauche (point creux).

Proposition 21.12 (Suites et continuité)

Si $u_n \to \ell$ et $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(u_n) \to f(\ell)$ . En particulier, si une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ .

Démonstration. La première assertion est le Théorème 21.6 appliqué avec la suite $(u_n)$ . Pour la seconde, passer à la limite des deux côtés de $u_{n+1} = f(u_n)$ : le membre de gauche tend vers $\ell$ , celui de droite vers $f(\ell)$ , et les limites sont uniques. ∎

21.3 Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 21.13 (Théorème des valeurs intermédiaires)

Soit $f$ continue sur $\intcc{a}{b}$ et soit $k$ un nombre quelconque entre $f(a)$ et $f(b)$ . Alors il existe $c \in \intcc{a}{b}$ tel que $f(c) = k$ .

Le théorème des valeurs intermédiaires : une courbe continue joignant (a, f(a)) à (b, f(b)) doit croiser toute droite horizontale y = k située entre f(a) et f(b). — Le théorème des valeurs intermédiaires : une courbe continue joignant $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$ doit croiser toute droite horizontale $y = k$ située entre $f(a)$ et $f(b)$ .

Démonstration. En remplaçant $f$ par $f - k$ (et par $k - f$ si besoin), on peut supposer $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ et chercher un zéro de $f$ . On construit deux suites par dichotomie : poser $a_0 = a$ , $b_0 = b$ ; étant donnés $a_n \leq b_n$ avec $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , soit $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ et définir

(a_{n+1}, b_{n+1}) = \begin{cases} (a_n, m) & \text{si } f(m) \geq 0,\\ (m, b_n) & \text{si } f(m) < 0. \end{cases}

Dans les deux cas $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ , la suite $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ est décroissante, et $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : les suites sont adjacentes (voir l’Exercice 20.10) et convergent vers une limite commune $c \in \intcc{a}{b}$ . Par continuité, $f(a_n) \to f(c)$ et $f(b_n) \to f(c)$ ; en passant à la limite dans $f(a_n) \leq 0$ et $f(b_n) \geq 0$ on obtient $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ , donc $f(c) = 0$ . ∎

Remarque 21.14

La démonstration par dichotomie est un algorithme : elle produit des approximations arbitrairement précises d’une solution, en divisant l’erreur par deux à chaque étape. C’est ainsi qu’un ordinateur peut résoudre $f(x) = 0$ en ne sachant qu’évaluer $f$ .

Théorème 21.15 (Théorème de la bijection)

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors pour tout $k$ strictement entre les limites de $f$ aux extrémités de $I$ , l’équation $f(x) = k$ a une solution unique dans $I$ .

Démonstration. Existence : choisir $a, b \in I$ avec $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ (possible puisque les valeurs de $f$ approchent ses limites aux extrémités), et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur $\intcc{a}{b}$ . Unicité : si $x < y$ , la monotonie stricte donne $f(x) \neq f(y)$ , donc deux points distincts ne peuvent tous deux être solutions. ∎

Méthode 21.16 (Résoudre $f(x) = k$ avec le théorème de la bijection)

Pour prouver que $f(x) = k$ a exactement une solution dans un intervalle :

établir un tableau de variations de $f$ (signe de $f'$ , voir le Chapitre 22) ;
sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone, comparer $k$ aux valeurs ou limites aux extrémités ;
appliquer le théorème de la bijection sur chaque tel intervalle et compter les solutions.

Une calculatrice ou la dichotomie localise ensuite chaque solution aussi finement que voulu.

Exemple 21.17

L’équation $x^3 + x = 1$ a une unique solution réelle. En effet $f(x) = x^3 + x$ est continue et strictement croissante sur $\R$ (somme de fonctions strictement croissantes), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ et $\lim_{+\infty} f = +\infty$ , donc le théorème de la bijection s’applique avec $k = 1$ . Comme $f(0.6) = 0.816 < 1$ et $f(0.7) = 1.043 > 1$ , la solution est dans $\intoo{0.6}{0.7}$ .

21.4 Exercices

Exercice 21.1 ★

Calculer les limites suivantes :

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad \lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad \lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.

Solution

Solution de Exercice 21.1.

En divisant par $x^3$ : $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x} \to \dfrac{2}{5}$ .

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ lorsque $x \to -\infty$ , car $x^2 \to +\infty$ et le crochet tend vers $1$ .

Lorsque $x \to 2^+$ , le numérateur tend vers $3 > 0$ et le dénominateur vers $0^+$ , donc $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$ .

Pour $x > 0$ , $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$ , donc la limite est $0$ par le théorème des gendarmes.

Exercice 21.2 ★

Soit $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ , définie pour $x \neq 1$ .

Montrer que $f(x) = 2x - 1$ pour tout $x \neq 1$ .
En déduire $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . Peut-on prolonger $f$ en une fonction continue en $1$ ?

Solution

Solution de Exercice 21.2.

1. $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (la racine $x=1$ est apparente d’après $2 - 3 + 1 = 0$ ). Pour $x \neq 1$ , simplifier $x - 1$ : $f(x) = 2x - 1$ .

2. D’où $\lim_{x\to1} f(x) = 1$ . Poser $f(1) = 1$ prolonge $f$ en la fonction polynomiale $x \mapsto 2x-1$ sur $\R$ , continue en $1$ .

Exercice 21.3 ★

Déterminer les asymptotes de la courbe de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ et croquer la courbe.

Solution

Solution de Exercice 21.3.

Écrire $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ . Lorsque $x \to \pm\infty$ , $f(x) \to 3$ : la droite $y = 3$ est une asymptote horizontale aux deux infinis. Lorsque $x \to (-2)^\pm$ , $f(x) \to \mp\infty$ : la droite $x = -2$ est une asymptote verticale. La courbe est une hyperbole, sous $y=3$ pour $x > -2$ et au-dessus pour $x < -2$ .

Exercice 21.4 ★★

Calculer

\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.

Solution

Solution de Exercice 21.4.

Multiplier par le conjugué :

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.

De même,

\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.

Exercice 21.5 ★★

Soit $f(x) = x + \sin x$ .

Montrer que $f(x) \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$ , bien que $f$ ne soit monotone sur aucun intervalle $\intco{A}{+\infty}$ .
Montrer que $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ tend vers $1$ en $+\infty$ .

Solution

Solution de Exercice 21.5.

1. Comme $\sin x \geq -1$ , $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$ , et on conclut par comparaison. Pourtant $f'(x) = 1 + \cos x$ s’annule en tout multiple impair de $\pi$ , et sur tout intervalle $\intco{A}{+\infty}$ la fonction alterne entre des intervalles de croissance stricte ; elle est croissante mais non strictement, et surtout sa croissance n’est pas nécessaire : la comparaison suffit.

2. Pour $x > 1$ , diviser par $x$ :

g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},

et $\frac{\sin x}{x} \to 0$ par le théorème des gendarmes ( $\abs{\sin x} \leq 1$ ). D’où $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$ .

Exercice 21.6 ★★

Montrer que l’équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ a exactement trois solutions réelles, et donner pour chacune un intervalle de longueur $1$ la contenant. (Indication : étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ; sa dérivée est $3x^2 - 3$ .)

Solution

Solution de Exercice 21.6.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ est continue, avec $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : $f$ croît sur $\intoc{-\infty}{-1}$ , décroît sur $\intcc{-1}{1}$ , croît sur $\intco{1}{+\infty}$ , avec maximum local $f(-1) = 3 > 0$ et minimum local $f(1) = -1 < 0$ , $\lim_{-\infty} f = -\infty$ , $\lim_{+\infty} f = +\infty$ .

Sur chacun des trois intervalles de monotonie, $f$ est continue, strictement monotone, et $0$ est strictement entre les valeurs/limites aux extrémités, donc le théorème de la bijection donne exactement un zéro par intervalle : trois zéros au total. Contrôles de signe : $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ , donc un zéro dans $\intoo{-2}{-1}$ ; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ , un zéro dans $\intoo{0}{1}$ ; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$ , un zéro dans $\intoo{1}{2}$ .

Exercice 21.7 ★★

Soit $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continue. Montrer que $f$ a un point fixe : il existe $c \in \intcc{0}{1}$ avec $f(c) = c$ . (Indication : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $g(x) = f(x) - x$ .)

Solution

Solution de Exercice 21.7.

Soit $g(x) = f(x) - x$ , continue sur $\intcc{0}{1}$ . Comme $f(0) \in \intcc{0}{1}$ , $g(0) = f(0) \geq 0$ ; comme $f(1) \in \intcc{0}{1}$ , $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, $g$ s’annule en un certain $c \in \intcc{0}{1}$ , c’est-à-dire $f(c) = c$ .

Exercice 21.8 ★★★

Une randonneuse gravit un sentier de montagne, partant à 8 h et arrivant à 20 h. Le lendemain elle redescend le même sentier, partant à nouveau à 8 h et arrivant à 20 h. Montrer qu’il existe une heure de la journée à laquelle elle est exactement au même point du sentier les deux jours. (Indication : introduire la différence des deux fonctions de position.)

Solution

Solution de Exercice 21.8.

Soient $u(t)$ et $d(t)$ les positions (mesurées comme distance depuis le bas du sentier) à l’instant $t \in \intcc{8}{20}$ à la montée et à la descente. Toutes deux sont continues, $u(8) = 0$ , $u(20) = L$ (la longueur du sentier), $d(8) = L$ , $d(20) = 0$ . La fonction $g = u - d$ est continue avec $g(8) = -L \leq 0$ et $g(20) = L \geq 0$ , donc $g(c) = 0$ pour un certain instant $c$ par le théorème des valeurs intermédiaires : à l’instant $c$ , les positions des deux jours coïncident.

Exercice 21.9 ★★★

Soit $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ .

Montrer que $f$ a un unique zéro réel $\alpha$ , et que $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
Décrire une procédure de dichotomie calculant $\alpha$ à $10^{-6}$ près, et donner le nombre d’itérations nécessaires en partant de $\intcc{0}{1}$ .

Solution

Solution de Exercice 21.9.

1. $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\R$ ; avec $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ et la continuité, le théorème de la bijection donne un unique zéro réel $\alpha$ . Comme $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 2 > 0$ , $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .

2. Maintenir un intervalle $\intcc{a_n}{b_n}$ avec $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ , en partant de $\intcc{0}{1}$ ; à chaque étape évaluer $f$ au milieu $m$ et garder le demi-intervalle où le changement de signe persiste. Après $n$ étapes l’intervalle a pour longueur $2^{-n}$ , donc le milieu approxime $\alpha$ à $2^{-(n+1)}$ près. Il faut $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ , c’est-à-dire $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : $n = 20$ itérations suffisent.