Mathématiques du lycée · Grades 10–12

21Limites et continuité

Ce chapitre étend la notion de limite des suites aux fonctions d’une variable réelle, et introduit la continuité. Le résultat central est le théorème des valeurs intermédiaires, qui transforme une information qualitative (« $f$ est continue et change de signe ») en l’existence de solutions d’équations.

21.1 Limites de fonctions

Tout au long, $f$ est une fonction définie sur un intervalle ou une réunion d’intervalles $D \subseteq \R$ .

Définition 21.1 (Limite à l’infini)

Soit $f$ définie sur un intervalle $\intco{a}{+\infty}$ et $\ell \in \R$ . On dit que $f$ tend vers $\ell$ en $+\infty$ , noté $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ , si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand : pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $A$ tel que pour tout $x \geq A$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ si pour tout $M \in \R$ il existe $A$ tel que $f(x) \geq M$ pour tout $x \geq A$ . Les limites en $-\infty$ et les limites égales à $-\infty$ se définissent de façon analogue.

Définition 21.2 (Limite en un point)

Soit $a \in \R$ et soit $f$ définie au voisinage de $a$ (sauf éventuellement en $a$ ). On dit que $f$ tend vers $\ell \in \R$ en $a$ , noté $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in D$ avec $\abs{x - a} \leq \delta$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si pour tout $M$ il existe $\delta > 0$ tel que $f(x) \geq M$ dès que $x \in D$ et $\abs{x - a} \leq \delta$ . Les limites à droite et à gauche ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) restreignent $x$ à $x > a$ ou $x < a$ .

Exemple 21.3

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ . La fonction $x \mapsto \frac1x$ n’a pas de limite (bilatérale) en $0$ .

Définition 21.4 (Asymptotes)

La droite $y = \ell$ est une asymptote horizontale de la courbe de $f$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) si $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (resp. en $-\infty$ ). La droite $x = a$ est une asymptote verticale si $f$ a une limite infinie unilatérale en $a$ .

La courbe de f(x) = 2 + 1/x-1 avec son asymptote horizontale y = 2 (en ±∈fty) et son asymptote verticale x = 1. — La courbe de $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ avec son asymptote horizontale $y = 2$ (en $\pm\infty$ ) et son asymptote verticale $x = 1$ .

Proposition 21.5 (Opérations sur les limites)

Les règles de la Proposition 20.14 (sommes, produits, quotients) valent verbatim pour les limites de fonctions, en un point ou à l’infini, avec les mêmes quatre formes indéterminées $(+\infty)+(-\infty)$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .

Démonstration. Les démonstrations sont identiques au cas des suites, en remplaçant « pour $n \geq N$ » par « pour $x \geq A$ » ou « pour $\abs{x-a} \leq \delta$ ». ∎

Théorème 21.6 (Limite d’une composition)

Soient $f, g$ des fonctions et $a, b, c$ des nombres réels ou $\pm\infty$ . Si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ et $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ , alors

\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

Le même énoncé vaut avec une suite à la place de $f$ : si $u_n \to b$ et $\lim_{y\to b} g(y) = c$ , alors $g(u_n) \to c$ .

Démonstration. Prendre $b, c$ finis (les autres cas sont analogues). Soit $\varepsilon > 0$ . Il existe $\delta > 0$ tel que $\abs{y - b} \leq \delta$ implique $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ ; et il existe $\delta' > 0$ tel que $\abs{x - a} \leq \delta'$ implique $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ . En enchaînant les deux, $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ pour $\abs{x - a} \leq \delta'$ . ∎

Théorème 21.7 (Comparaison et gendarmes)

Soient $f, g, h$ des fonctions et $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ .

Si $f \leq g$ au voisinage de $a$ et $f(x) \to +\infty$ lorsque $x \to a$ , alors $g(x) \to +\infty$ .
Si $f \leq g \leq h$ au voisinage de $a$ et $f, h$ tendent vers la même limite finie $\ell$ en $a$ , alors $g(x) \to \ell$ lorsque $x \to a$ .

Démonstration. Même argument que pour les suites (Théorème 20.16). ∎

Méthode 21.8 (Calculer des limites en pratique)

Polynômes et fonctions rationnelles en $\pm\infty$ : factoriser la plus haute puissance de $x$ ; la limite est celle du rapport des termes dominants.
$\frac{0}{0}$ en un point $a$ : factoriser $(x-a)$ au numérateur et au dénominateur, ou reconnaître une dérivée $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ (Chapitre 22).
Racines carrées : multiplier par l’expression conjuguée.
Facteurs oscillants ( $\cos$ , $\sin$ ) : utiliser le théorème des gendarmes.

21.2 Continuité

Définition 21.9 (Continuité)

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$ . La fonction $f$ est continue en $a$ si $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Elle est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .

Intuitivement, le graphique d’une fonction continue sur un intervalle peut être tracé sans lever le stylo.

Proposition 21.10 (Continuité des fonctions usuelles)

Les polynômes, les fonctions rationnelles, $x \mapsto \sqrt{x}$ , $x \mapsto \abs{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $\exp$ et $\ln$ sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition. Les sommes, produits, quotients (là où ils sont définis) et compositions de fonctions continues sont continues.

Démonstration partielle. La stabilité sous sommes, produits, quotients et composition suit des théorèmes correspondants sur les limites. La continuité de $x \mapsto x$ et des constantes est immédiate d’après la définition, d’où les polynômes et les fonctions rationnelles sont continues. La continuité des autres fonctions usuelles est prouvée dans les chapitres où elles sont construites, ou admise. ∎

Exemple 21.11

La fonction partie entière $x \mapsto \floor{x}$ (le plus grand entier $\leq x$ ) n’est continue en aucun entier $n$ : sa limite à gauche y est $n - 1$ tandis que $\floor{n} = n$ .

La fonction partie entière saute en chaque entier : la valeur (point plein) diffère de la limite à gauche (point creux).

Proposition 21.12 (Suites et continuité)

Si $u_n \to \ell$ et $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(u_n) \to f(\ell)$ . En particulier, si une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ converge vers $\ell$ et $f$ est continue en $\ell$ , alors $f(\ell) = \ell$ .

Démonstration. La première assertion est le Théorème 21.6 appliqué avec la suite $(u_n)$ . Pour la seconde, passer à la limite des deux côtés de $u_{n+1} = f(u_n)$ : le membre de gauche tend vers $\ell$ , celui de droite vers $f(\ell)$ , et les limites sont uniques. ∎

21.3 Le théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 21.13 (Théorème des valeurs intermédiaires)

Soit $f$ continue sur $\intcc{a}{b}$ et soit $k$ un nombre quelconque entre $f(a)$ et $f(b)$ . Alors il existe $c \in \intcc{a}{b}$ tel que $f(c) = k$ .

Le théorème des valeurs intermédiaires : une courbe continue joignant (a, f(a)) à (b, f(b)) doit croiser toute droite horizontale y = k située entre f(a) et f(b). — Le théorème des valeurs intermédiaires : une courbe continue joignant $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$ doit croiser toute droite horizontale $y = k$ située entre $f(a)$ et $f(b)$ .

Démonstration. En remplaçant $f$ par $f - k$ (et par $k - f$ si besoin), on peut supposer $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ et chercher un zéro de $f$ . On construit deux suites par dichotomie : poser $a_0 = a$ , $b_0 = b$ ; étant donnés $a_n \leq b_n$ avec $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , soit $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ et définir

(a_{n+1}, b_{n+1}) = \begin{cases} (a_n, m) & \text{si } f(m) \geq 0,\\ (m, b_n) & \text{si } f(m) < 0. \end{cases}

Dans les deux cas $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ , la suite $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ est décroissante, et $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : les suites sont adjacentes (voir l’Exercice 20.10) et convergent vers une limite commune $c \in \intcc{a}{b}$ . Par continuité, $f(a_n) \to f(c)$ et $f(b_n) \to f(c)$ ; en passant à la limite dans $f(a_n) \leq 0$ et $f(b_n) \geq 0$ on obtient $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ , donc $f(c) = 0$ . ∎

Remarque 21.14

La démonstration par dichotomie est un algorithme : elle produit des approximations arbitrairement précises d’une solution, en divisant l’erreur par deux à chaque étape. C’est ainsi qu’un ordinateur peut résoudre $f(x) = 0$ en ne sachant qu’évaluer $f$ .

Théorème 21.15 (Théorème de la bijection)

Soit $f$ continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ . Alors pour tout $k$ strictement entre les limites de $f$ aux extrémités de $I$ , l’équation $f(x) = k$ a une solution unique dans $I$ .

Démonstration. Existence : choisir $a, b \in I$ avec $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ (possible puisque les valeurs de $f$ approchent ses limites aux extrémités), et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur $\intcc{a}{b}$ . Unicité : si $x < y$ , la monotonie stricte donne $f(x) \neq f(y)$ , donc deux points distincts ne peuvent tous deux être solutions. ∎

Méthode 21.16 (Résoudre $f(x) = k$ avec le théorème de la bijection)

Pour prouver que $f(x) = k$ a exactement une solution dans un intervalle :

établir un tableau de variations de $f$ (signe de $f'$ , voir le Chapitre 22) ;
sur chaque intervalle où $f$ est continue et strictement monotone, comparer $k$ aux valeurs ou limites aux extrémités ;
appliquer le théorème de la bijection sur chaque tel intervalle et compter les solutions.

Une calculatrice ou la dichotomie localise ensuite chaque solution aussi finement que voulu.

Exemple 21.17

L’équation $x^3 + x = 1$ a une unique solution réelle. En effet $f(x) = x^3 + x$ est continue et strictement croissante sur $\R$ (somme de fonctions strictement croissantes), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ et $\lim_{+\infty} f = +\infty$ , donc le théorème de la bijection s’applique avec $k = 1$ . Comme $f(0.6) = 0.816 < 1$ et $f(0.7) = 1.043 > 1$ , la solution est dans $\intoo{0.6}{0.7}$ .

21.4 Exercices

Exercice 21.1 ★

Calculer les limites suivantes :

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad \lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad \lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.

Solution

Solution de Exercice 21.1.

En divisant par $x^3$ : $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x} \to \dfrac{2}{5}$ .

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ lorsque $x \to -\infty$ , car $x^2 \to +\infty$ et le crochet tend vers $1$ .

Lorsque $x \to 2^+$ , le numérateur tend vers $3 > 0$ et le dénominateur vers $0^+$ , donc $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$ .

Pour $x > 0$ , $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$ , donc la limite est $0$ par le théorème des gendarmes.

Exercice 21.2 ★

Soit $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ , définie pour $x \neq 1$ .

Montrer que $f(x) = 2x - 1$ pour tout $x \neq 1$ .
En déduire $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . Peut-on prolonger $f$ en une fonction continue en $1$ ?

Solution

Solution de Exercice 21.2.

1. $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (la racine $x=1$ est apparente d’après $2 - 3 + 1 = 0$ ). Pour $x \neq 1$ , simplifier $x - 1$ : $f(x) = 2x - 1$ .

2. D’où $\lim_{x\to1} f(x) = 1$ . Poser $f(1) = 1$ prolonge $f$ en la fonction polynomiale $x \mapsto 2x-1$ sur $\R$ , continue en $1$ .

Exercice 21.3 ★

Déterminer les asymptotes de la courbe de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ et croquer la courbe.

Solution

Solution de Exercice 21.3.

Écrire $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ . Lorsque $x \to \pm\infty$ , $f(x) \to 3$ : la droite $y = 3$ est une asymptote horizontale aux deux infinis. Lorsque $x \to (-2)^\pm$ , $f(x) \to \mp\infty$ : la droite $x = -2$ est une asymptote verticale. La courbe est une hyperbole, sous $y=3$ pour $x > -2$ et au-dessus pour $x < -2$ .

Exercice 21.4 ★★

Calculer

\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.

Solution

Solution de Exercice 21.4.

Multiplier par le conjugué :

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.

De même,

\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.

Exercice 21.5 ★★

Soit $f(x) = x + \sin x$ .

Montrer que $f(x) \to +\infty$ lorsque $x \to +\infty$ , bien que $f$ ne soit monotone sur aucun intervalle $\intco{A}{+\infty}$ .
Montrer que $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ tend vers $1$ en $+\infty$ .

Solution

Solution de Exercice 21.5.

1. Comme $\sin x \geq -1$ , $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$ , et on conclut par comparaison. Pourtant $f'(x) = 1 + \cos x$ s’annule en tout multiple impair de $\pi$ , et sur tout intervalle $\intco{A}{+\infty}$ la fonction alterne entre des intervalles de croissance stricte ; elle est croissante mais non strictement, et surtout sa croissance n’est pas nécessaire : la comparaison suffit.

2. Pour $x > 1$ , diviser par $x$ :

g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},

et $\frac{\sin x}{x} \to 0$ par le théorème des gendarmes ( $\abs{\sin x} \leq 1$ ). D’où $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$ .

Exercice 21.6 ★★

Montrer que l’équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ a exactement trois solutions réelles, et donner pour chacune un intervalle de longueur $1$ la contenant. (Indication : étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ; sa dérivée est $3x^2 - 3$ .)

Solution

Solution de Exercice 21.6.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ est continue, avec $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : $f$ croît sur $\intoc{-\infty}{-1}$ , décroît sur $\intcc{-1}{1}$ , croît sur $\intco{1}{+\infty}$ , avec maximum local $f(-1) = 3 > 0$ et minimum local $f(1) = -1 < 0$ , $\lim_{-\infty} f = -\infty$ , $\lim_{+\infty} f = +\infty$ .

Sur chacun des trois intervalles de monotonie, $f$ est continue, strictement monotone, et $0$ est strictement entre les valeurs/limites aux extrémités, donc le théorème de la bijection donne exactement un zéro par intervalle : trois zéros au total. Contrôles de signe : $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ , donc un zéro dans $\intoo{-2}{-1}$ ; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ , un zéro dans $\intoo{0}{1}$ ; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$ , un zéro dans $\intoo{1}{2}$ .

Exercice 21.7 ★★

Soit $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continue. Montrer que $f$ a un point fixe : il existe $c \in \intcc{0}{1}$ avec $f(c) = c$ . (Indication : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à $g(x) = f(x) - x$ .)

Solution

Solution de Exercice 21.7.

Soit $g(x) = f(x) - x$ , continue sur $\intcc{0}{1}$ . Comme $f(0) \in \intcc{0}{1}$ , $g(0) = f(0) \geq 0$ ; comme $f(1) \in \intcc{0}{1}$ , $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, $g$ s’annule en un certain $c \in \intcc{0}{1}$ , c’est-à-dire $f(c) = c$ .

Exercice 21.8 ★★★

Une randonneuse gravit un sentier de montagne, partant à 8 h et arrivant à 20 h. Le lendemain elle redescend le même sentier, partant à nouveau à 8 h et arrivant à 20 h. Montrer qu’il existe une heure de la journée à laquelle elle est exactement au même point du sentier les deux jours. (Indication : introduire la différence des deux fonctions de position.)

Solution

Solution de Exercice 21.8.

Soient $u(t)$ et $d(t)$ les positions (mesurées comme distance depuis le bas du sentier) à l’instant $t \in \intcc{8}{20}$ à la montée et à la descente. Toutes deux sont continues, $u(8) = 0$ , $u(20) = L$ (la longueur du sentier), $d(8) = L$ , $d(20) = 0$ . La fonction $g = u - d$ est continue avec $g(8) = -L \leq 0$ et $g(20) = L \geq 0$ , donc $g(c) = 0$ pour un certain instant $c$ par le théorème des valeurs intermédiaires : à l’instant $c$ , les positions des deux jours coïncident.

Exercice 21.9 ★★★

Soit $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ .

Montrer que $f$ a un unique zéro réel $\alpha$ , et que $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
Décrire une procédure de dichotomie calculant $\alpha$ à $10^{-6}$ près, et donner le nombre d’itérations nécessaires en partant de $\intcc{0}{1}$ .

Solution

Solution de Exercice 21.9.

1. $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\R$ ; avec $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ et la continuité, le théorème de la bijection donne un unique zéro réel $\alpha$ . Comme $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 2 > 0$ , $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .

2. Maintenir un intervalle $\intcc{a_n}{b_n}$ avec $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ , en partant de $\intcc{0}{1}$ ; à chaque étape évaluer $f$ au milieu $m$ et garder le demi-intervalle où le changement de signe persiste. Après $n$ étapes l’intervalle a pour longueur $2^{-n}$ , donc le milieu approxime $\alpha$ à $2^{-(n+1)}$ près. Il faut $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ , c’est-à-dire $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : $n = 20$ itérations suffisent.

21.5 Problème : on ne traverse pas une rivière sans se mouiller

Problème 21.1

Devoir du week-end — le théorème des valeurs intermédiaires impose des points fixes, des antipodes à même température et des tables stables : trois théorèmes à l’air impossible, sortis d’une seule idée

Froissez la carte d’un pays et laissez-la tomber n’importe où sur le sol de ce pays : un point de la carte se trouve exactement au-dessus du lieu qu’il représente. À chaque instant, deux points diamétralement opposés de l’équateur ont exactement la même température. Et une table carrée bancale posée sur un sol bosselé peut toujours être stabilisée en la faisant tourner. Trois tours de société, un seul théorème : une grandeur continue ne peut passer du négatif au positif sans s’annuler (Théorème 21.13). Ce problème entraîne d’abord les limites, puis construit les trois merveilles — et sait exactement ce que le théorème ne promet pas.

Partie I — Aisance avec les limites.

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ , et $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ (Méthode 21.8).
Donner les asymptotes de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ (Définition 21.4), en calculant les limites utiles.
Calculer $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (par factorisation) et $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (par la quantité conjuguée).
Par le théorème des gendarmes (Théorème 21.7) : calculer $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ et $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
Par composition et termes dominants : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

Partie II — Des racines certifiées.

Montrer que l’équation $x^3 + x = 5$ admet au moins une solution dans $\intcc{1}{2}$ .
Montrer que cette solution est unique sur $\R$ (Théorème 21.15).
Démontrer le résultat classique : tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle. (Rédiger l’argument pour $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : calculer les deux limites infinies par le terme dominant, puis appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un grand intervalle.)
Localiser la racine de la question 6 par dichotomie : combien de partages en deux de $\intcc{1}{2}$ garantissent une erreur inférieure à $10^{-6}$ (Exercice 21.9) ? Comparer avec le doublement des décimales de la méthode de Newton (Problème 12.1) : combien de pas lui faudrait-il, en gros ?
Le contre-exemple qui garde le théorème : $g(x) = \frac1x$ vérifie $g(-1) = -1 < 0$ et $g(1) = 1 > 0$ , et pourtant ne s’annule jamais. Quelle hypothèse du théorème des valeurs intermédiaires est en défaut — et que nous apprend cet exemple sur la vérification des hypothèses ?

Partie III — Trois théorèmes à l’air impossible.

Le théorème du point fixe sur un segment : si $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ est continue, démontrer qu’il existe $c$ tel que $f(c) = c$ . (Étudier $g(x) = f(x) - x$ aux deux extrémités.)
Traduire la question 11 en termes de carte froissée : qui joue le rôle de $f$ , pourquoi arrive-t-on dans $\intcc{0}{1}$ (au figuré : à l’intérieur du pays), et quel est le point situé exactement au-dessus de son propre emplacement ? (Une dimension est passée sous silence — l’énoncé honnête en dimension deux est le théorème de Brouwer, dans les volumes universitaires.)
L’équateur : soit $T$ une température continue sur un cercle, vue comme une fonction $2\pi$ -périodique vérifiant $T(0) = T(2\pi)$ . Posons $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Calculer $g(0) + g(\pi)$ , en déduire que $g$ s’annule quelque part sur $\intcc{0}{\pi}$ , et énoncer le théorème sur les points antipodaux.
La table bancale : une table carrée parfaitement rigide est posée sur un sol bosselé mais continu (sans marche !) ; trois pieds touchent toujours le sol, le quatrième plane à une hauteur $h(\theta)$ qui dépend continûment de l’angle de rotation $\theta$ de la table. Expliquer pourquoi une rotation d’un quart de tour force l’écart du pied en l’air à changer de signe — et en conclure qu’un certain angle $\theta^*$ stabilise les quatre pieds. (Cet argument a été publié comme un véritable théorème en 2005 ; les cafetiers connaissaient l’astuce bien avant.)
Le randonneur de l’Exercice 21.8 employait le même schéma. Énoncer en trois lignes le patron commun aux questions 11, 13, 14 et au randonneur — construire quelle fonction, vérifier quoi aux extrémités, invoquer quoi.
Ce que le théorème des valeurs intermédiaires ne donne pas : l’existence était gratuite, mais quelles deux questions laisse-t-il ouvertes, et quels outils de ce problème y répondent (questions 7 et 9) ?

Partie IV — Portraits avec asymptotes.

Réécrire $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ sous la forme $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ et s’en servir pour décrire complètement la courbe : asymptotes, variations de part et d’autre, allure. (Une hyperbole translatée — la courbe du coût moyen du Problème 4.1 en était une aussi.)
La fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ n’est pas définie en $1$ . Quelle valeur attribuée à $f(1)$ la rend continue en ce point — et pourquoi les analystes appellent-ils un tel point une discontinuité éliminable ?
La fonction partie entière $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (le plus grand entier $\leq x$ ) : où est-elle continue, où saute-t-elle, et pourquoi la conclusion du théorème des valeurs intermédiaires lui fait-elle défaut (trouver $a < b$ tels que $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ sans qu’il existe de solution de $\lfloor x \rfloor = \frac12$ ) ?
Pour finir — les deux visages de la continuité : la promesse locale (valeur $=$ limite : pas de téléportation) et la puissance globale (valeurs intermédiaires : toute valeur intermédiaire est atteinte). Classer les quatre merveilles de la partie III sous le bon visage, et donner au slogan de la traversée de rivière son nom mathématique précis.

Solution

Solution de Problème 21.1.

1. Termes dominants : $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$ ; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$ ; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$ .

2. $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$ : asymptote horizontale $y = 3$ ; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$ : asymptote verticale $x = -2$ .

3. $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$ . Et $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$ .

4. $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , donc la limite vaut $0$ . Et $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$ : limite $0$ .

5. $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} = \sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ (continuité de la racine carrée, composition).

6. $f(x) = x^3 + x$ est continue et vérifie $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$ : par le théorème des valeurs intermédiaires, $f(c) = 5$ pour un certain $c \in \intoo{1}{2}$ .

7. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : $f$ est continue et strictement croissante sur $\R$ , de limites $\mp\infty$ : par le théorème de la bijection, toute valeur — en particulier $5$ — est atteinte exactement une fois.

8. $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}\right)$ : quand $x \to +\infty$ , $p \to +\infty$ ; quand $x \to -\infty$ , $p \to -\infty$ . Donc sur un intervalle $\intcc{-M}{M}$ assez grand, $p(-M) < 0 < p(M)$ : le théorème des valeurs intermédiaires livre une racine. Le même argument de terme dominant vaut mot pour mot pour tout degré impair — les puissances impaires gardent des signes opposés aux deux infinis.

9. Après $n$ partages en deux, il reste un intervalle de longueur $2^{-n}$ ; or $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$ : vingt pas. Newton double les décimales exactes à chaque pas : en partant d’une décimale exacte, environ $3$ ou $4$ pas suffisent pour en atteindre six — la tortue et le lévrier de la recherche de racines.

10. $g$ n’est pas continue sur $\intcc{-1}{1}$ : elle explose en $0$ , que l’intervalle contient. La conclusion du théorème s’évapore avec son hypothèse — toujours vérifier la continuité sur l’intervalle tout entier, et pas seulement aux extrémités.

11. $g(x) = f(x) - x$ est continue ; $g(0) = f(0) \geq 0$ (les valeurs sont dans $\intcc{0}{1}$ ) et $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Par le théorème des valeurs intermédiaires, $g(c) = 0$ pour un certain $c$ , c’est-à-dire $f(c) = c$ .

12. En idéalisant le pays par le segment $\intcc{0}{1}$ : $f$ envoie chaque lieu sur le lieu figuré juste au-dessous de lui sur la carte froissée ; froisser garde la carte au-dessus du pays, donc $f$ arrive dans $\intcc{0}{1}$ , et $f$ est continue (le papier ne se déchire pas). Le point fixe $c$ est l’endroit situé précisément au-dessus de sa propre image — le théorème de Brouwer traite honnêtement la carte en dimension deux.

13. $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) + \left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$ . Donc $g(0)$ et $g(\pi)$ sont opposés (ou tous deux nuls) : dans les deux cas $g$ , continue, s’annule en un $t^* \in \intcc{0}{\pi}$ , c’est-à-dire $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — quelque part sur l’équateur, deux points antipodaux s’accordent sur la température, et cela à chaque instant.

14. Faire tourner la table d’un quart de tour échange les rôles des deux diagonales : la paire de pieds qui appuyait sur le sol et celle dont un pied planait échangent leurs situations, si bien que la hauteur du pied en l’air — comptée avec son signe comme « écart de la diagonale distinguée » — prend des signes opposés en $\theta$ et en $\theta + \frac\pi2$ . Un sol continu rend $h$ continue, et le théorème des valeurs intermédiaires fournit un angle $\theta^*$ tel que $h(\theta^*) = 0$ : les quatre pieds à terre. (Aucune chance de ce genre avec une table rectangulaire ou un sol à marches.)

15. Patron : construire la différence des deux grandeurs que l’on veut faire coïncider ( $f(x) - x$ ; $T(t) - T(t + \pi)$ ; position à la montée moins position à la descente pour le randonneur ; l’écart signé pour la table) ; vérifier qu’elle prend des valeurs des deux signes (souvent grâce à une symétrie des extrémités) ; invoquer le théorème des valeurs intermédiaires sur une fonction continue. La coïncidence est forcée.

16. Questions laissées ouvertes : combien de solutions (réglé par la stricte monotonie et le théorème de la bijection, question 7) et où elles se trouvent (réglé par la dichotomie ou par Newton, question 9). Le théorème des valeurs intermédiaires est un pur oracle d’existence.

17. $3 - \frac{7}{x + 2}$ : asymptote verticale $x = -2$ , asymptote horizontale $y = 3$ ; de part et d’autre de $-2$ la fonction est croissante ( $-\frac{7}{x+2}$ croît là où elle est définie) ; la courbe est l’hyperbole de référence $-\frac7x$ translatée de $2$ vers la gauche et de $3$ vers le haut — deux branches serrant le croisement des asymptotes.

18. Pour $x \neq 1$ : $f(x) = x + 1$ , donc $\lim_{x \to 1} f = 2$ : poser $f(1) = 2$ rétablit la continuité. La discontinuité était une piqûre, non un saut — on comble le point manquant et la courbe se referme : elle est éliminable.

19. Continue sur tout intervalle compris entre deux entiers consécutifs ; en chaque entier $n$ elle saute de $n - 1$ à $n$ . Avec $a = 0.9$ et $b = 1.1$ : $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 < 1 = \lfloor b \rfloor$ , et pourtant $\lfloor x \rfloor = \frac12$ n’a aucune solution — le saut téléporte par-dessus $\frac12$ , ce que le théorème des valeurs intermédiaires interdit précisément aux fonctions continues.

20. Visage local : valeur $=$ limite en chaque point — la piqûre éliminable (question 18) le violait de façon guérissable, les sauts de la partie entière (question 19) de façon incurable. Visage global : sur un intervalle, toutes les valeurs intermédiaires sont atteintes — les certificats de racines (questions 6 à 8), le point fixe, l’équateur, la table et le randonneur vivent tous ici. Le nom officiel du slogan : le théorème des valeurs intermédiaires.

Termes définis dans ce chapitre

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