Puissances générales কী?

Exemple 4.3 (Résoudre des équations exponentielles)

Résolvons $2^x = 5^{\,x-1}$ dans $\R$. Les deux membres sont positifs : on peut donc prendre les logarithmes — étape réversible :

Résolvons ensuite $x^{\sqrt2} = 3$ pour $x > 0$ : élevons à la puissance $\frac1{\sqrt2}$ (c’est-à-dire appliquons la bijection réciproque) : $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$. L’idée à retenir : toute équation mêlant des puissances se dénoue par $\ln$ et $\exp$, car la définition $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ ramène toute manipulation de puissances à l’arithmétique des exposants — mais seulement sur le domaine $x > 0$ où cette définition a un sens.

Exemple 4.4 (Temps de doublement)

Une quantité croît de $3\,\%$ à chaque étape : après $n$ étapes, elle a été multipliée par $(1.03)^n$. Quand double-t-elle ? Résolvons $(1.03)^n \geq 2$ :

donc le premier doublement a lieu à l’étape $24$. (La « règle de $72$ » des financiers, qui estime le temps de doublement par $72$ divisé par le taux en pourcentage, n’est rien d’autre que ce calcul avec l’approximation $\ln(1 + x) \approx x$, quantifiée au Chapitre 16.) On raisonne toujours mieux sur les processus exponentiels à travers leurs logarithmes : à cette échelle, la croissance est linéaire et les questions deviennent des divisions.

Exemple 4.5 (Quelle est la longueur de $2^{2026}$ ?)

Le nombre de chiffres décimaux d’un entier $N \geq 1$ est $\floor{\log_{10} N} + 1$ (en effet, $N$ a $d$ chiffres exactement quand $10^{d-1} \leq N < 10^d$, c’est-à-dire $d - 1 \leq \log_{10}N < d$). Pour $N = 2^{2026}$ :

donc $2^{2026}$ a $610$ chiffres. La partie fractionnaire offre une prime : $10^{0.887} \approx 7.7$, donc le nombre commence par $7$. Une seule multiplication a répondu à une question portant sur un nombre que personne n’écrira jamais — les logarithmes compriment la taille multiplicative en taille additive, ce qui est tout leur intérêt historique (l’Exemple 7.12 rend cette phrase précise).