Rang d’une famille কী?

Exemple 19.16 (Calcul d’un rang par élimination)

Rang de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ dans $\R^3$. Le sous-espace engendré ne change pas quand on retranche à un vecteur une combinaison des autres (les deux familles engendrent les mêmes combinaisons) : remplaçons $(2,3,4)$ par $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ et $(3,4,5)$ par $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$. Le sous-espace engendré est désormais $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$, et ces deux vecteurs ne sont pas proportionnels : le rang vaut $2$. Cette procédure de soustraction-élimination est systématisée sous le nom de méthode du pivot de Gauss au Chapitre 22.

Exemple 19.17 (Sommer par concaténation)

Prenons, dans $\R^3$,

La somme $F + G$ est engendrée par la famille concaténée des trois générateurs, et

montre que le troisième est redondant : $F + G = F$, de dimension $2$ — autrement dit $G \subseteq F$, ce que la relation affiche. Grassmann confirme : $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$. Les sommes se calculent en concaténant les générateurs puis en réduisant le tas par l’algorithme du rang ; aucune technique nouvelle n’est jamais nécessaire.