20ℝn के उपबहुविध

हल — अभ्यास 20.1.

(क) प्रत्येक किसी निमज्जन के लिए $F^{-1}(0)$ है: $\R^n\setminus\{0\}$ पर $\norm x^2 - 1$ (प्रवणक $2x \neq 0$): विमा $n-1$; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (अतिपरवलयज पर प्रवणक $(2x, 2y, -2z) \neq 0$, जहाँ $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$): विमा $2$; और टोरस फलन $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$, $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$, टोरस के निकट $\mathcal C^\infty$ है (वहाँ $\rho \geq R - r > 0$) जिसमें $\nabla G \neq 0$ (उसका $z$-घटक $2z$ है, और जहाँ $z = 0$ वहाँ त्रिज्य घटक $2(\rho - R)\ne0$ है, क्योंकि $\abs{\rho - R} = r$): विमा $2$।

(ख) छोटे $\varepsilon$ के लिए $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ के ठीक $2$ संबद्ध घटक हैं (ऊपरी और निचली छिद्रित पालियाँ, प्रत्येक पथ-संबद्ध: वृत्तों और किरणों से जोड़िए)। यदि $C$ $0$ पर कोई $2$-उपबहुविध होता, तो कोई सीधाकरण $C\cap\Omega$ से किसी समतल के विवृत टुकड़े पर ऐसी समस्थितिकता देता जो $0$ को किसी बिंदु $p$ पर भेजती; पर $p$ के छोटे छिद्रित समतल-प्रतिवेशों का एक घटक होता है, और समस्थितिकताएँ छिद्रित प्रतिवेशों के घटकों की संख्या सुरक्षित रखती हैं: विरोधाभास।

हल — अभ्यास 20.2.

(क) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$। (ख) $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ पर: $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$, अतः स्पर्श समतल $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$ है: अर्थात् बाहरी विषुवत रेखा पर स्पर्शी ऊर्ध्वाधर समतल। (ग) कुंडली $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ वाला कोई अंतःस्थापित वक्र है: अतः $\varphi(t_0)$ पर स्पर्श रेखा $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$ है, जैसा प्रतिज्ञप्ति 20.6(2) निर्धारित करती है।

हल — अभ्यास 20.3.

(क) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$, $\det = 4(x^2 + y^2)$: अतः प्रमेय मूल बिंदु को छोड़कर प्रत्येक बिंदु पर लागू होती है। (ख) $f(-z) = f(z)$: $0$ के परितः सममित किसी भी समुच्चय पर कभी एकैकी नहीं; $\R^2\setminus\{0\}$ पर वह सर्वत्र स्थानीय अवकल समरूपता है फिर भी वैश्विक रूप से $2$-से-$1$। $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$ के निकट दोनों प्रतिलोम दोनों वर्गमूल शाखाएँ हैं: सम्मिश्र संकेतन में $w \mapsto \pm\sqrt w$ (मुख्य शाखा), अर्थात्

(ग) याकोबीय $r > 0$: अतः $\intoo0\infty\times\R$ पर स्थानीय अवकल समरूपता, पर $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ वही बिंदु देता है: अर्थात् स्थानीय रूप से व्युत्क्रमणीय (किसी अर्ध-समतल पर कोण $2\pi$ तक निर्धारित), और वैश्विक रूप से कभी नहीं।

हल — अभ्यास 20.4.

(क) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ तभी और केवल तभी लुप्त होता है जब $y = x^2$ और $x = y^2$, अर्थात् $x^4 = x$: $(0,0)$ और $(1,1)$ पर; और केवल $(0,0)$ $\mathcal C$ पर है ($F(1,1) = -1$)। अतः $\mathcal C\setminus\{0\}$ पर $F$ कोई निमज्जन है: इसलिए कोई $1$-उपबहुविध, जो जहाँ $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ हो वहाँ स्थानीय रूप से आलेख $y = \psi(x)$ है और जहाँ $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ हो वहाँ $x = \chi(y)$ (मूल बिंदु के बाहर कम से कम एक लागू होता है)।

(ख) $(\frac32, \frac32)$ पर: $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32) (1, 1) = \frac94(1,1)$: स्पर्श रेखा $x + y = 3$।

(ग) परिमेय प्राचलन $x = \frac{3t}{1 + t^3}$, $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ $t = 0$ पर वेग $(3, 0)$ के साथ $0$ से होकर जाता है; और $x \leftrightarrow y$ की अदला-बदली करने पर (वक्र सममित है, अथवा $1/t$ से पुनःप्राचलन कीजिए) वेग $(0, 3)$ के साथ $0$ से होकर जाता दूसरा $\mathcal C^1$ वक्र मिलता है। किसी $1$-उपबहुविध के लिए दो स्वतंत्र स्पर्श दिशाएँ असंभव हैं (उसकी स्पर्श समष्टि कोई रेखा है, प्रतिज्ञप्ति 20.6): अतः $\mathcal C$ मूल बिंदु पर कोई उपबहुविध नहीं है — अर्थात् कोई अनुप्रस्थ स्व-प्रतिच्छेदन।

हल — अभ्यास 20.5.

(क) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$: $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$। $M \in O_n$ और सममित $S$ के लिए $H = \frac12MS$ $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$ देता है: अतः $S_n$ पर आच्छादक।

(ख) $O_n = F^{-1}(I)$, जिसमें $F$ अपने प्रत्येक बिंदु पर कोई निमज्जन है ($S_n$ पर, जिसकी विमा $\frac{n(n+1)}2$ है): अतः विमा $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ का कोई उपबहुविध। संहत: संवृत ($F$ संतत) और परिबद्ध (स्तंभ इकाई सदिश हैं)। $I$ पर स्पर्श: $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$।

(ग) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (पक्षांतरण श्रेणी से होकर निकल जाता है; और क्रमविनिमेय आव्यूहों के चरघातांक गुणा हो जाते हैं, प्रमेय 19.8)।

हल — अभ्यास 20.6.

(क) व्युत्क्रमणीय $M$ के लिए $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ ($I$ के निकट $\det$ का प्रसार: $\prod(1 + \lambda_i)$ का रैखिक पद); और $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ के साथ: $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com} (M)^{\mathsf T}H\bigr)$, तथा यह सूत्र सघनता और सांतत्य से सभी $M$ तक बढ़ जाता है। $SL_n$ पर $\det M = 1$: $D\det(M) \ne 0$ ($H = M$ पर उसका मान $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$ है)।

(ख) $SL_n = \det^{-1}(1)$, जहाँ $\det$ कोई निमज्जन है (मान $\R$ में): अतः विमा $n^2 - 1$; और $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$।

(ग) $GL_n$ $M_n(\R)$ का कोई विवृत उपसमुच्चय है (अभ्यास 6.8): अतः पूरी विमा $n^2$ का कोई उपबहुविध (सीधाकरण: तत्समक चार्ट)।

हल — अभ्यास 20.7.

(क) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ और $x^2 + y^2 = 1$: $y = 2\lambda x$, $x = 2\lambda y$ $x^2 = y^2 = \frac12$ दे देते हैं। $xy$ के मान: $\pm\frac12$: अतः $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$ पर उच्चिष्ठ $\frac12$, और $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ पर निम्निष्ठ $-\frac12$ (प्रतिबंध समुच्चय संहत है: चरम विद्यमान हैं)।

(ख) सिंप्लेक्स के अंतःभाग पर ($p_i > 0$) प्रतिबंध $\sum p_i = 1$ के साथ $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ के लिए लाग्राँज: सभी $i$ के लिए $-\ln p_i - 1 = \lambda$: अतः सभी $p_i$ बराबर, $p_i = \frac1n$, $H = \ln n$ के साथ। संहत सिंप्लेक्स पर उच्चिष्ठ प्राप्त होता है; और यदि वह परिसीमा पर प्राप्त होता (कोई $p_i = 0$), तो बंटन $\leq n - 1$ बिंदुओं पर रहता और आगमन से $H \leq \ln(n-1) < \ln n$: अतः आंतरिक क्रांतिक बिंदु ही वैश्विक उच्चिष्ठ है — अर्थात् एकसमान अज्ञान एंट्रॉपी को अधिकतम कर देता है।

(ग) संहत दीर्घवृत्त पर $(x-1)^2 + y^2$ को न्यूनतम कीजिए: $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$। यदि $y \neq 0$ हो: $\lambda = 1$, तब $2(x - 1) = \frac x2$ $x = \frac43$, $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ देता है: दूरी$^2$ $= \frac19 + \frac59 = \frac23$। यदि $y = 0$ हो: $x = \pm2$, दूरियाँ $1$ और $3$। निकटतम बिंदु: $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$, दूरी $\sqrt{2/3} < 1$ पर। गुणक समीकरण कहता है कि $(1,0)$ से निकटतम बिंदु तक का रेखाखंड $\nabla$(दीर्घवृत्त) के समांतर है: अतः वह दीर्घवृत्त से लांबिक रूप से मिलता है, जैसा ज्यामिति माँगती है।

हल — अभ्यास 20.8.

$n$ पर आगमन; $n = 1$ तुच्छ। रेली फलन $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ संहत $S^{n-1}$ पर किसी $v_1$ पर अपना उच्चिष्ठ $\lambda_1$ प्राप्त कर लेता है; और लाग्राँज (प्रमेय 20.7, स्तर समुच्चय के रूप में गोलक) $2Av_1 = 2\lambda v_1$ दे देते हैं, तथा $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$। अधिसमतल $v_1^\perp$ $A$-निश्चर है (सममिति: $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$); प्रतिबंध सममित है, और आगमन $v_1^\perp$ का कोई लांबिक-प्रसामान्य अभिलक्षणिक आधार $v_2, \dots, v_n$ अभिलक्षणिक मानों $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$ के साथ दे देता है, जिनमें से प्रत्येक शेष लांबिक पूरक के गोलक पर $f$ का उच्चिष्ठ है। कूरां–फिशर ठीक अभ्यास 15.8 की भाँति निकलता है: $x = \sum c_iv_i$ का प्रसार कीजिए; किसी $k$-विमीय परीक्षण समष्टि को $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ से प्रतिच्छेदित कीजिए ($\R^n$ में विमा गणना) और $\min \leq \lambda_k$ पाइए, तथा $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ $\min = \lambda_k$ प्राप्त कर लेता है।

हल — अभ्यास 20.9.

प्रत्येक स्तंभ को इकाई मानक पर मापने से $\abs{\det}$ $\prod\norm{c_i}$ से भाग जाता है: अतः केवल यह सिद्ध करना पर्याप्त है कि जब सभी स्तंभ इकाई हों तब $\abs{\det M} \leq 1$, जिसमें बराबरी तभी और केवल तभी जब $M \in O_n$। फलन $\det$ संहत $(S^{n-1})^n$ पर संतत है: अतः वह किसी $M$ पर उच्चिष्ठ $m \geq \det I = 1 > 0$ प्राप्त कर लेता है। $i$-वें को छोड़कर सभी स्तंभ स्थिर रखने पर $\det$ $c_i$ में रैखिक है और उसका प्रवणक $\operatorname{com}(M)$ का $i$-वाँ स्तंभ है; $i$-वें गोलक पर लाग्राँज: $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$। सर्वसमिका $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,\delta_{ij}$ के रूप में पढ़ी जाती है, अर्थात् $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$; $j = i$ लेने पर: $\lambda_i = \det M = m \neq 0$, और तब $j \neq i$ $\langle c_i, c_j\rangle = 0$ दे देता है: अतः स्तंभ लांबिक-प्रसामान्य हैं, $M \in O_n$, $m = \abs{\det M} = 1$। इसलिए सदैव $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$, जिसमें बराबरी ठीक लांबिक स्तंभों के लिए (वापस मापन कीजिए): अर्थात् दी गई कोर लंबाइयों के लिए किसी समांतरषट्फलक का आयतन तब सबसे बड़ा होता है जब कोरें परस्पर लंब हों।

हल — अभ्यास 20.10.

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ $y \neq 0$ वाले प्रत्येक बिंदु के निकट काम करता है; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ $x \neq 0$ वाले प्रत्येक बिंदु के निकट; और $(1, 0)$ पर: $y \in \intoo{-1}1$ पर आलेख $x = \sqrt{1 - y^2}$, जो निर्देशांक बदलकर प्रमेय 20.3(3) है। कोई न कोई क्रमचय सदा काम करता है क्योंकि स्पर्श रेखा, एक-विमीय होने के कारण, एक साथ ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज नहीं हो सकती — पर वह दोनों में से कोई भी हो सकती है, अतः “आश्रित” निर्देशांक का कोई एक स्थिर चयन प्रत्येक बिंदु पर काम नहीं आता।

हल — अभ्यास 20.11.

(क) परिभाषक प्रतिचित्रण $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ संतत है: अतः $O_n = F^{-1}(0)$ संवृत है; और किसी लांबिक आव्यूह के स्तंभ इकाई सदिश हैं, अतः यूक्लिडीय (फ्रोबेनियस) मानक ठीक $\sqrt n$ है: परिबद्ध। इसलिए $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$ में हाइने–बोरेल से संहत।

(ख) $O_n$ अध्याय में अध्ययन किया गया स्तर समुच्चय $F = 0$ है: $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$, जो प्रत्येक $A \in O_n$ पर सममित आव्यूहों पर आच्छादक है (कोई सममित $S$ दिया हो, तो $H = \frac12AS$ लीजिए), अतः $O_n$ विमा $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ का कोई उपबहुविध है जिसमें

$A = I$ पर ये प्रतिसममित आव्यूह हैं।