अभिसारी अनुक्रम কী?

उदाहरण 20.22

मान लीजिए $u_0 = 2$ और $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ है। आगमन से जाँचा जा सकता है कि सभी $n$ के लिए $u_n \geq \sqrt{2}$ है ($x>0$ के लिए असमिका $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ के तुल्य है), और फिर यह कि $(u_n)$ ह्रासमान है, क्योंकि

ह्रासमान और नीचे परिबद्ध होने के कारण $(u_n)$ किसी $\ell \geq \sqrt{2}$ पर अभिसरित होता है, जिसे $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ को संतुष्ट करना ही चाहिए, अर्थात् $\ell^2 = 2$। अतः $u_n \to \sqrt{2}$। यही हीरोन की कलनविधि है, जिसे बेबीलोन वाले पहले से काम में ला रहे थे; उसका अभिसरण अत्यंत तेज़ है ($u_3$ ही $\sqrt 2$ को आठ दशमलव स्थानों तक दे देता है)।