20अनुक्रम

हल — अभ्यास 20.1.

मान लीजिए $P(n)$ कथन $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है। आधार-स्थिति: $n = 0$ के लिए दोनों पक्ष $0$ हैं (रिक्त योग)। आगमन-चरण: मान लीजिए $P(n)$ है। तब

चूँकि $2n^2 + 7n + 6 = (n+2)(2n+3)$ है, यह $\frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}$ है, अर्थात् $P(n+1)$। आगमन द्वारा $P(n)$ सभी $n$ के लिए सही है।

हल — अभ्यास 20.2.

$a_{n+1} - a_n = \frac{n+2}{n+1} - \frac{n+1}{n} = \frac{n(n+2) - (n+1)^2}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)} < 0$: $(a_n)$ निरंतर ह्रासमान है।

$(b_n)$ के पद धनात्मक हैं और $\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{2^n} = \frac{2n}{n+1} \geq 1 \iff 2n \geq n+1 \iff n \geq 1$: $(b_n)$ वर्धमान है ($n \geq 2$ के लिए निरंतर)।

$c_{n+1} - c_n = (n+1)^2 - 10(n+1) - n^2 + 10n = 2n - 9$, जो $n \leq 4$ के लिए ऋणात्मक और $n \geq 5$ के लिए धनात्मक है: $(c_n)$ $c_5 = -25$ तक घटता है, जो उसका न्यूनतम है, और फिर बढ़ता है। वह एकदिष्ट नहीं है।

हल — अभ्यास 20.3.

हावी पद बाहर निकालिए:

संयुग्मी से गुणा कीजिए:

अंश और हर को $3^n$ से भाग दीजिए:

जहाँ $\abs{q} < 1$ के लिए $\lim q^n = 0$ का उपयोग हुआ है।

हल — अभ्यास 20.4.

$u_n = 5 + 3n \to +\infty$ और $v_n = 8 \cdot (1/2)^n = 2^{3-n} \to 0$। योग हैं

हल — अभ्यास 20.5.

चूँकि $-1 \leq \cos n \leq 1$ है,

और $\frac{n-1}{n+1} \to 1$, इसलिए संपीडन प्रमेय से सीमा $1$ है।

दूसरी सीमा के लिए लिखिए

क्योंकि $2 \leq k \leq n$ वाला हर गुणनखंड $\frac{k}{n}$ अधिक से अधिक $1$ है। चूँकि $\frac1n \to 0$ है, संपीडन प्रमेय $\frac{n!}{n^n} \to 0$ दे देती है। (सुझाया गया गुणोत्तर परिबंध भी चलता है: $k \leq n/2$ वाला हर गुणनखंड अधिक से अधिक $\frac12$ है, जिससे और प्रबल परिबंध $(1/2)^{\floor{n/2}}$ मिलता है।)

हल — अभ्यास 20.6.

1. $u_0 = 0 \in \intcc{0}{2}$। यदि $0 \leq u_n \leq 2$ हो, तो $2 \leq u_n + 2 \leq 4$, इसलिए $\sqrt{2} \leq u_{n+1} \leq 2$; विशेष रूप से $0 \leq u_{n+1} \leq 2$। आगमन से यह गुण सभी $n$ के लिए सही है।

2. $u_{n+1} - u_n = \sqrt{u_n + 2} - u_n$। $x \in \intcc{0}{2}$ के लिए $\sqrt{x+2} \geq x \iff x + 2 \geq x^2 \iff (2-x)(x+1) \geq 0$, जो सत्य है। अतः $(u_n)$ वर्धमान है।

3. वर्धमान और $2$ से ऊपर परिबद्ध होने के कारण $(u_n)$ किसी $\ell \in \intcc{0}{2}$ पर अभिसरित होता है। $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ में सीमा लेने पर (प्रतिचित्रण $x \mapsto \sqrt{x+2}$ संतत है) $\ell = \sqrt{\ell + 2}$ मिलता है, इसलिए $\ell^2 - \ell - 2 = 0$, अर्थात् $\ell \in \{-1, 2\}$। चूँकि $\ell \geq 0$ है, इसलिए $\lim u_n = 2$।

हल — अभ्यास 20.7.

1. दो ख़ुराकों के बीच दवा का $40\%$ निकल जाता है, इसलिए मात्रा $u_n$ $0.6\,u_n$ बन जाती है; और अगली ख़ुराक $1$ मात्रक जोड़ देती है: $u_{n+1} = 0.6\,u_n + 1$।

2. $v_{n+1} = u_{n+1} - 2.5 = 0.6\,u_n + 1 - 2.5 = 0.6(u_n - 2.5) = 0.6\,v_n$: $(v_n)$ अनुपात $0.6$ और पहले पद $v_0 = 1 - 2.5 = -1.5$ वाला गुणोत्तर अनुक्रम है। अतः $v_n = -1.5 \times 0.6^n$ और

3. चूँकि $0.6^n \to 0$ है, इसलिए $u_n \to 2.5$: दवा की मात्रा $2.5$ मात्रकों पर स्थिर हो जाती है।

हल — अभ्यास 20.8.

1. $u_0 = 3 > 1$। यदि $u_n > 1$ हो, तो $u_n + 2 > 0$ और

आगमन से सभी $n$ के लिए $u_n > 1$ (और विशेष रूप से $u_n + 2 \neq 0$, इसलिए अनुक्रम भली-भाँति परिभाषित है)।

2. ऊपर वाली सर्वसमिका का उपयोग करने पर

इसलिए $(v_n)$ सार्व अंतर $\frac13$ वाला समांतर अनुक्रम है और $v_0 = \frac{1}{u_0 - 1} = \frac12$।

3. $v_n = \frac12 + \frac{n}{3}$, अतः $u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = 1 + \frac{6}{3 + 2n}$। चूँकि $v_n \to +\infty$ है, इसलिए $u_n \to 1$।

हल — अभ्यास 20.9.

1. $H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}$ $n$ पदों का योग है, और हर पद कम से कम $\frac{1}{2n}$ है; अतः $H_{2n} - H_n \geq n \cdot \frac{1}{2n} = \frac12$।

2. $k$ पर आगमन से: $H_{2^0} = H_1 = 1 \geq 1$। यदि $H_{2^k} \geq 1 + \frac{k}{2}$ हो, तो $n = 2^k$ के साथ बिंदु 1 लगाने पर

अनुक्रम $(H_n)$ वर्धमान है (हर क़दम $\frac{1}{n+1} > 0$ जोड़ता है) और उपअनुक्रम $H_{2^k}$ अपरिबद्ध है, इसलिए $(H_n)$ ऊपर परिबद्ध नहीं है। वर्धमान और अपरिबद्ध होने के कारण वह $+\infty$ की ओर जाता है (प्रमेय 20.18)।

हल — अभ्यास 20.10.

1. अनुक्रम $d_n = b_n - a_n$ $d_{n+1} - d_n = (b_{n+1} - b_n) - (a_{n+1} - a_n) \leq 0$ को संतुष्ट करता है, इसलिए $(d_n)$ ह्रासमान है; और चूँकि $d_n \to 0$ है, इसलिए सभी $n$ के लिए $d_n \geq 0$ मिलता है (किसी ऋणात्मक पद वाला ह्रासमान अनुक्रम सदा उससे नीचे ही रहता, जिससे सीमा $0$ असंभव हो जाती)। अतः $a_n \leq b_n$।

2. $a_n \leq b_n \leq b_0$ से वर्धमान अनुक्रम $(a_n)$ ऊपर परिबद्ध है, इसलिए वह किसी $\ell$ पर अभिसरित होता है। इसी तरह $(b_n)$, जो ह्रासमान है और $a_0$ से नीचे परिबद्ध, किसी $\ell'$ पर अभिसरित होता है। तब $\ell' - \ell = \lim (b_n - a_n) = 0$, इसलिए $\ell = \ell'$।

3. $(a_n)$ (निरंतर) वर्धमान है, क्योंकि $a_{n+1} - a_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0$। $(b_n)$ के लिए

इसलिए $(b_n)$ ह्रासमान है। अंत में $b_n - a_n = \frac{1}{n\,n!} \to 0$। दोनों अनुक्रम संलग्न हैं, अतः एक ही सीमा पर अभिसरित होते हैं।