प्रतिच्छेदन, सम्मिलन, पूरक क्या है? — गणित

परिभाषा 9.5 उच्च माध्यमिक गणित · 第 9 章 — प्रायिकता और प्रतिदर्शन

मान लीजिए $A$ और $B$ घटनाएँ हैं।

$A \cap B$ (“ $A$ और $B$ ”) तब घटित होती है जब दोनों घटित हों;
$A \cup B$ (“ $A$ या $B$ ”) तब घटित होती है जब कम से कम एक घटित हो;
पूरक $\bar A$ (“ $A$ नहीं”) ठीक तब घटित होती है जब $A$ घटित न हो;
$A$ और $B$ असंगत तब हैं जब वे एक साथ घटित नहीं हो सकतीं: $A \cap B = \varnothing$ ।

दो अतिव्यापी घटनाएँ: (A) + (B) में छायांकित प्रतिच्छेदन A ∩ B दो बार गिना जाता है, और यही योग के नियम में घटाव की व्याख्या करता है। — दो अतिव्यापी घटनाएँ: $\P(A) + \P(B)$ में छायांकित प्रतिच्छेदन $A \cap B$ दो बार गिना जाता है, और यही योग के नियम में घटाव की व्याख्या करता है।

示例

उदाहरण 9.7

$52$ पत्तों की एक मानक गड्डी से एक पत्ता निकालिए। मान लीजिए $A$ : “पत्ता पान का है” ( $13$ पत्ते) और $B$ : “पत्ता बादशाह है” ( $4$ पत्ते)। तब $A \cap B$ “पान का बादशाह” है ( $1$ पत्ता), और

\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.

पूरक का नियम प्रायः सबसे तेज़ रास्ता होता है: पत्ता पान का न होने की प्रायिकता $1 - \frac{13}{52} = \frac34$ है।

उदाहरण 9.9

एक कलश में $3$ लाल और $2$ नीली गेंदें हैं। एक गेंद निकालिए, उसे वापस रखिए, और फिर निकालिए। हर बार लाल (R) प्रायिकता $\frac35$ से और नीली (B) प्रायिकता $\frac25$ से मिलती है।

वापसी सहित दो बार निकालने का वृक्ष। चारों पथों की प्रायिकताओं का योग 1 है। — वापसी सहित दो बार निकालने का वृक्ष। चारों पथों की प्रायिकताओं का योग $1$ है।

एक ही रंग की दो गेंदें मिलने की प्रायिकता $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$ है; कम से कम एक नीली मिलने की प्रायिकता $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ है (पूरक का नियम)।

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