9प्रायिकता और प्रतिदर्शन

हल — समस्या 9.1.

1. $P(\text{बादशाह या पान}) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$: पान का बादशाह दोनों घटनाओं में बैठा है और उसे दो बार नहीं गिनना चाहिए — इसीलिए घटाव (प्रमेय 9.6)।

2. $P(\text{कोई चित नहीं}) = \left(\frac12\right)^3 = \frac18$, इसलिए $P(\text{कम से कम एक}) = \frac78$।

3. $P(RR) = \frac35 \times \frac24 = \frac{3}{10}$; $P(\text{प्रत्येक का एक}) = \frac35 \times \frac24 + \frac25 \times \frac34 = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac35$।

4. $P(BB) = \frac25 \times \frac14 = \frac1{10}$; और $\frac{3}{10} + \frac{6}{10} + \frac{1}{10} = 1$: वृक्ष के पत्तों का योग सदा $1$ होता है।

5. असंगत घटनाएँ $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 1.1 > 1$ मानती हैं: असंभव — कहीं से प्रायिकता गढ़ ली गई है।

6. (अधिकांश लोग, उन हज़ार पत्र-लेखकों सहित, कहते हैं “कोई अंतर नहीं पड़ता, 50–50”। अपना उत्तर प्रश्न 8 के लिए सँभालकर रखिए।)

7. कार दरवाज़े 1 के पीछे (प्रायिकता $\frac13$): संचालक दोनों में से कोई भी बकरी-दरवाज़ा खोल देता है; बदलने पर कार हाथ से निकल जाती है: हार। कार दरवाज़े 2 के पीछे ($\frac13$): संचालक को दरवाज़ा 3 खोलना ही पड़ता है; बदलने पर आप दरवाज़े 2 पर आ जाते हैं: जीत। कार दरवाज़े 3 के पीछे: सममित: जीत। कुल: $P(\text{बदलने पर जीत}) = \frac13 + \frac13 = \frac23$।

8. आपका पहला चुनाव प्रायिकता $\frac23$ से ग़लत होता है — और ठीक तभी संचालक की मजबूरी में खोली गई बकरी बची हुई दरवाज़े के पीछे कार छोड़ देती है: बदलना हर आरंभिक भूल को जीत में बदल देता है। $\frac23$, चाहे पहला अनुमान कुछ भी कहता रहा हो।

9. छह समसंभावी परिदृश्य: कार $1$, $2$ या $3$ के पीछे, और संचालक दरवाज़ा $2$ या $3$ खोलता है (आपका कभी नहीं)। उनमें से दो में कार दिख जाती है (कार 2 पर/खोला 2, कार 3 पर/खोला 3): वे हटा दिए जाते हैं। बचे हुए चार में — कार 1/खोला 2, कार 1/खोला 3, कार 2/खोला 3, कार 3/खोला 2 — बदलने पर अंतिम दो में जीत होती है: $\frac24 = \frac12$। अनजान संचालक के साथ 50–50 सही ही है: विरोधाभास पूरा का पूरा संचालक के ज्ञान में बसता है, जो परिदृश्यों को असमान रूप से छानता है।

10. आपके चुनाव में कार होने की प्रायिकता $\frac{1}{100}$ है; जानकार संचालक की $98$ खुलाइयाँ बची हुई $\frac{99}{100}$ को उस एक बंद दरवाज़े पर कीप की तरह उड़ेल देती हैं। बदलिए, और $100$ में $99$ बार जीतिए।

11. तीन पत्ते (एक इक्का, दो जोकर), एक मित्र जो झाँककर देख लेता है और आपके न चुने हुए दो में से हमेशा एक जोकर हटा देता है; $300$ दौर खेलिए, हमेशा बदलिए, और जीत दर्ज कीजिए। अपेक्षित आपेक्षिक बारंबारता $\frac23 \approx 0.667$, और उतार-चढ़ाव $\pm\frac{1}{\sqrt{300}} \approx 0.058$: लगभग $61\,\%$ और $72\,\%$ के बीच बदलने पर जीत की अपेक्षा कीजिए — किसी भी “50–50” से कोसों दूर।

12. समसंभावी रचनाएँ (बड़ा–छोटा): BB, BG, GB, GG। “कम से कम एक लड़का” BB, BG, GB रहने देता है: $P(\text{BB}) = \frac13$।

13. “बड़ी संतान लड़का है” BB, BG रहने देता है: $P(\text{BB}) = \frac12$। भिन्न सूचना भिन्न परिदृश्य-समुच्चय छानती है — ठीक वैसे ही जैसे दोनों मॉन्टी ने किया: आप क्या जानते हैं यह मायने रखता है, और कैसे जाना यह भी उतना ही।

14. तीनों एक जैसे: HHH, TTT: $\frac28 = \frac14$। दालम्बेर की त्रुटि: उनकी दोनों “स्थितियाँ” समसंभावी नहीं हैं — “तीनों एक जैसे नहीं” आठ में से छह परिणामों को एक गठरी में बाँध देती है। प्रतिज्ञप्ति 9.3 केवल समसंभावी परिणामों पर गिनती करता है।

15. प्रति खेल औसत जीत: $6 \times \frac16 + 3 \times \frac16 = 1.50$ यूरो, जबकि दाँव $2$ यूरो का है: प्रति खेल औसतन $0.50$ की हानि, और $600$ खेलों में लगभग $300$ यूरो। न्यायसंगत प्रीमियम औसत भुगतान के बराबर होता है: $1\,\% \times 10\,000 = 100$ यूरो; वास्तविक प्रीमियम में ख़र्च और सुरक्षा का अंतर जुड़ जाता है — बीमाकर्ता को बुरे वर्षों में भी जीवित रहना है, केवल औसत वर्षों में नहीं।

16. अंतराल: $0.5 \pm \frac{1}{\sqrt{100}} = \intcc{0.4}{0.6}$। $55$ चित ($0.55$): भीतर, कुछ ख़ास नहीं। $70$ चित ($0.70$): बहुत बाहर — सिक्के पर संदेह कीजिए।

17. $\frac{1}{\sqrt{1000}} \approx 0.032$: सचमुच $50\,\%$ वाला उम्मीदवार प्रायः $\intcc{0.468}{0.532}$ में सर्वेक्षित होता — और $0.52$ उसके भीतर आराम से बैठा है। सर्वेक्षण बढ़त का संकेत देता है पर सिद्ध कुछ नहीं करता: अंतर उसे निगल जाता है।

18. पहला प्रतिदर्श: अंतराल $0.04 \pm \frac{1}{20} = \intcc{0}{0.09}$; प्रेक्षित $0.07$ भीतर है: कोई निर्णय नहीं। दूसरा: $0.04 \pm \frac{1}{50} = \intcc{0.02}{0.06}$; प्रेक्षित $0.07$ बाहर पड़ता है: अब दावा गंभीर संदेह में है। वही आपेक्षिक बारंबारता, पर पैना यंत्र: यथार्थता $\sqrt n$ की तरह बढ़ती है।

19. उतार-चढ़ाव $\frac{1}{\sqrt n}$ की तरह सिकुड़ता है: प्रतिदर्श चौगुना कीजिए, शोर आधा हो जाएगा। अभिनति — ग़लत भीड़ से पूछना — किसी भी $n$ पर बची रहती है: बीस लाख ग़लत चुने गए मतपत्र ग़लत ही रहे (माध्यमिक विद्यालय खंड की “आँकड़े कैसे झूठ बोलते हैं” वाली सप्ताहांत समस्या)।

20. (क) गिनने से पहले जाँचिए कि परिणाम समसंभावी हैं — दालम्बेर यही भूल गए। (ख) वृक्ष शाखाओं के अनुदिश गुणा करते हैं; “कम से कम एक” पूरक के आगे हथियार डाल देता है। (ग) सूचना परिदृश्य छानती है, और उसका स्रोत छन्नी बदल देता है — जानकार मॉन्टी बनाम गिरा हुआ मॉन्टी, बड़ा-लड़का बनाम कोई-एक-लड़का। (घ) आपेक्षिक बारंबारताएँ $\frac{1}{\sqrt n}$ की चाल से प्रायिकताओं के पास पहुँचती हैं, इसलिए धैर्य से किया गया अनुकरण हर बहस सुलझा देता है — उस बहस को भी जिसमें दस हज़ार नाराज़ पत्र-लेखक हों।