23यूक्लिडीय समष्टियाँ

हल — अभ्यास 23.1.

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$; $\norm u = \norm v = 3$। दोनों सदिश लांबिक हैं: कोण $\frac\pi2$ है। कोशी–श्वार्ट्ज़: $\abs 0 \leq 9$, और वह भी आराम से।

हल — अभ्यास 23.2.

प्रमेय 23.4 की सर्वसमिका से दोनों वर्ग-मानकों का प्रसार कीजिए और जोड़िए: बीच के पद कट जाते हैं।

उच्चतम मानक: $x = (1, 0)$, $y = (0, 1)$ लीजिए। तब $\norm{x + y}_\infty = \norm{x - y}_\infty = 1$, और सर्वसमिका के लिए $1 + 1 = 2(1) + 2(1) = 4$ चाहिए होता: जो असत्य है। जो मानक समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका का उल्लंघन करता है, वह किसी अंतर्गुणन से नहीं आता।

हल — अभ्यास 23.3.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$.

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$; $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$, अतः $e_2 = \frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)$।

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot, e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12 (1,1,0) - \frac16(1,-1,2) = \bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$; प्रसामान्यन करने पर $e_3 = \frac{1}{\sqrt 3}(-1, 1, 1)$।

(जाँच: युग्मशः गुणन शून्य हैं; और हर एक का मानक $1$ है।)

हल — अभ्यास 23.4.

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$, आधार $\bigl((1,-1,0), (1,0,-1)\bigr)$। $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ के साथ: $p_F(x) = \langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$, अतः

$x = (1,2,3)$ के लिए: $p_F(x) = (2,2,2)$ और $d(x, F) = \norm{(1,2,3) - (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$।

हल — अभ्यास 23.5.

मान लीजिए $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha + \beta)$। जनकों के प्रति $x - p$ की लांबिकता:

अर्थात् $2\alpha + \beta = 5$ और $\alpha + 2\beta = 5$: $\alpha = \beta = \frac53$। अतः $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53, \frac{10}{3}\bigr)$ और

ग्राम–श्मिट अनावश्यक है, क्योंकि प्रक्षेप का परिभाषक गुण — $x - p \perp F$ — स्वयं किसी भी जनक कुल में गुणांकों पर एक रैखिक निकाय है (“प्रसामान्य समीकरण”)।

हल — अभ्यास 23.6.

$g = 1$ के साथ कोशी–श्वार्ट्ज़:

समानता तभी जब $f$ $1$ का अनुपाती हो, अर्थात् अचर हो। विविक्त रूप: $x = (a_1, \dots, a_n)$, $y = (1, \dots, 1)$ के साथ $\R^n$ में: $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$, और समानता तभी जब सभी $a_i$ बराबर हों।

हल — अभ्यास 23.7.

प्रमेय 23.10 से $E = F \oplus F^\perp$, अतः विमाएँ जुड़ती हैं: $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$। अंतर्विष्टता $F \subseteq (F^\perp)^\perp$ तुरंत दिखती है ($F$ के सदिश $F^\perp$ की हर चीज़ के लांबिक हैं)। विमाएँ: $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$; और बराबर (परिमित) विमाओं वाली अंतर्विष्टता समानता होती है (प्रमेय 19.14)।

हल — अभ्यास 23.8.

$A$: स्तंभ इकाई, सारणिक $+1$: अतः एक घूर्णन, जिसमें $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt2}$, $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$: $\theta = \frac\pi4$। इस प्रकार $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$।

$B$: सारणिक $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$: अतः एक परावर्तन $S_\theta$, जिसमें $\cos\theta = \frac35$, $\sin\theta = \frac45$; उसका अक्ष $x$-अक्ष के साथ कोण $\frac\theta2$ बनाता है, अर्थात् वह रेखा जिसकी दिशा $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ है — ठोस रूप से अक्ष $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$ है, क्योंकि $B(2,1)^{\mathsf T} = \frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$। परावर्तन होने के कारण $B^2 = I$।

हल — अभ्यास 23.9.

यह राशि समाकल-अंतर्गुणन वाले $C(\intcc{0}{1})$ में $\norm{f - (a + bX)}^2$ है: और वह ठीक लांबिक प्रक्षेप $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ पर न्यूनतम होती है (उदाहरण 23.12)। न्यूनतम है

प्रसार कीजिए: $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 - \frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$। अतः न्यूनतम $\dfrac{1}{180}$ के बराबर है।

हल — अभ्यास 23.10.

मान लीजिए $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (अर्थात् $u(y) = y$) और $x \in E$। तब अंतर्गुणन के संरक्षण का प्रयोग करते हुए ($\langle u(a), u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$):

अर्थात् $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ का हर सदिश हर अचल सदिश के लांबिक है।

अतः $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u - \mathrm{id})^{\perp}$, और कोटि–शून्यता तथा अभ्यास 23.7 से दोनों की विमा $\dim E - \dim\ker(u - \mathrm{id})$ है: इसलिए वे बराबर हैं। तब $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$।

हल — अभ्यास 23.11.

1. मान लीजिए किसी स्तंभ $c = (c_1, \dots, c_k)^{\mathsf T}$ के लिए $Gc = 0$। तब

   $$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2 = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$$

   अतः $\sum_i c_i v_i = 0$। यदि कुल स्वतंत्र है, तो यह $c = 0$ बाध्य कर देता है: अर्थात् $G$ व्युत्क्रमणीय है। विलोमतः कोई अतुच्छ संबंध $\sum_j c_j v_j = 0$ हर $v_i$ के साथ गुणन लेने पर अतुच्छ संबंध $Gc = 0$ दे देता है: अतः $G$ अव्युत्क्रमणीय। स्वतंत्रता $\iff \det G \neq 0$।

2. $\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd x = \frac{1}{i+j-1}$: $(1, X, X^2)$ का ग्राम आव्यूह ठीक हिल्बर्ट आव्यूह $H_3$ है, जिसका सारणिक $\frac1{2160}$ अध्याय 22 की सप्ताहांत समस्या में संगणित हुआ था: वह अशून्य है, अतः एकपदी स्वतंत्र हैं — जैसी अपेक्षा थी, पर अब एक संख्या से प्रमाणित।

हल — अभ्यास 23.12.

1. $A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$, अतः $u^2 = \mathrm{id}$: $u$ एक सममिति है, और प्रमेय 20.15 (2) $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ दे देता है।

2. मान लीजिए $u(x) = x$ और $u(y) = -y$। चूँकि $u$ अंतर्गुणन सुरक्षित रखता है,

   $$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$$

   अतः $\langle x, y\rangle = 0$: अर्थात् दोनों अभिलक्षणिक उपसमष्टियाँ लांबिक हैं, $F = \ker(u - \mathrm{id})$ के लिए $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$, और $u$ $F$ के सापेक्ष लांबिक सममिति है।

3. $R_\theta$ सममित है तभी जब $-\sin\theta = \sin\theta$, अर्थात् $\theta \in \{0, \pi\}$: अतः प्रतिचित्रण $\pm\mathrm{id}$ (तत्समक और केंद्रीय सममिति)। और हर $S_\theta$ सममित है: अर्थात् रेखा-परावर्तन। ये ठीक समतल की लांबिक सममितियाँ हैं, जिनमें $F$ पूरा समतल, $\{0\}$, अथवा परावर्तन-अक्ष होता है।