कोटि किसी रैखिक प्रतिचित्रण की কী?

उदाहरण 20.8 (माँग के अनुसार प्रतिचित्रण बनाना)

ऐसा $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ बनाइए कि $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ और $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$। पहले जाँच: कोटि–शून्यता $1 + 2 = 3$ माँगती है — जो संगत है, अतः कोई हल हो सकता है। अष्टि के अनुकूल कोई आधार चुनिए, जैसे $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (उदाहरण 19.7), और प्रतिबिंब निर्धारित कीजिए (प्रतिज्ञप्ति 20.2):

तब $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ और $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$; कोटि–शून्यता $\dim\ker u = 1$ बाध्य कर देती है, अतः अष्टि ठीक वही निर्धारित रेखा है। स्पष्ट रूप से, $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ का विघटन करने पर:

यह नुस्ख़ा सामान्यीकृत हो जाता है: निर्धारित अष्टि $N$ और निर्धारित प्रतिबिंब $I$ वाला रैखिक प्रतिचित्रण ठीक तब होता है जब $\dim N + \dim I = \dim E$ — आवश्यकता कोटि–शून्यता है, और पर्याप्तता यही रचना।

उदाहरण 20.10 (अंतर्वेशन, संरचनात्मक दृष्टि से)

भिन्न-भिन्न $x_0, \dots, x_n$ नियत कीजिए और $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ लीजिए: यह रैखिक है। उसकी अष्टि $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ मूल}\} = \{0\}$ है (उपप्रमेय 8.8)। विमाएँ बराबर हैं $n + 1$: अतः $u$ एक तुल्याकारिता है — अर्थात् लाग्रांज अंतर्वेशक (प्रमेय 8.23) का अस्तित्व और अद्वितीयता, दोनों एक ही पंक्ति में।

यही एक-पंक्ति वाला प्रतिरूप उन आँकड़ों को भी सँभाल लेता है जिनमें मान और अवकलज मिले-जुले हों: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ रैखिक है, और उसकी अष्टि में $\leq 3$ घात वाले वे बहुपद हैं जिनके $0$ और $1$ दोनों पर दुहरे मूल हों, अर्थात् जो $4$ घात वाले $X^2(X-1)^2$ से विभाज्य हों: केवल $P = 0$। विमाएँ फिर बराबर हैं: अतः आँकड़ों का हर चतुष्क $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ ठीक एक ही त्रिघातीय बहुपद से साकार होता है — यही एरमीट अंतर्वेशन है, जो कोई सूत्र लिखे जाने से पहले ही एक अष्टि-संगणना से मिल जाता है (अध्याय 22 की सप्ताहांत समस्या अपने सारणिक से मिलती है)।

उदाहरण 20.11 (कोटि–शून्यता काम पर: अंतर संकारक)

मान लीजिए $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) - P(X)$: यह रैखिक है। अष्टि: यदि $\Delta P = 0$, तो $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$, अतः $P - P(0)$ के अनंत कितने मूल हैं और वह शून्य हो जाता है (उपप्रमेय 8.8): अर्थात् $\ker\Delta$ अचरों की रेखा है। कोटि–शून्यता: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$। चूँकि अनचर $P$ के लिए $\deg \Delta P < \deg P$ (शीर्ष पद कट जाते हैं), अतः $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, जिसकी विमा ठीक $n$ है: इसलिए यह अंतर्विष्टता समानता है। निष्कर्ष, और वह भी किसी पूर्वप्रतिबिंब की संगणना के बिना: $\leq n - 1$ घात वाला हर बहुपद $Q$ किसी न किसी अंतर $Q = P(X+1) - P(X)$ के रूप में है — अर्थात् विविक्त प्रतिअवकलज का अस्तित्व है। (अध्याय 18 की सप्ताहांत समस्या से तुलना कीजिए, जहाँ $\Delta$ को द्विपद आधार में स्पष्ट रूप से उलटा गया था।)