topology क्या है? — गणित

परिभाषा 25.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · 第 25 章 — दो चरों के फलन

$\R^2$ पर यूक्लिडीय मानक $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ लीजिए (अध्याय 23)। विवृत गोले, प्रतिवेश और $\R^2$ के विवृत उपसमुच्चय ठीक वैसे ही परिभाषित होते हैं जैसे अध्याय 12 में, अंतरालों के स्थान पर गोलों के साथ। कोई फलन $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ विवृत) $a \in U$ पर संतत कहलाता है जब

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

और एक चर वाली वही अनुक्रमीय अभिलक्षणता यहाँ भी चलती है। योग, गुणनफल, भागफल तथा एक चर वाले संतत फलनों के साथ संयोजन सांतत्य को बनाए रखते हैं; निर्देशांक प्रतिचित्रण संतत हैं, अतः $(x,y)$ के बहुपद भी।

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उदाहरण 25.2 (ध्रुवीय परिबंध — किसी सीमा को सिद्ध करने का साफ़ रास्ता)

दिखाइए कि $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (जहाँ $f(0,0) = 0$ ) मूल बिंदु पर संतत है। ध्रुवीय निर्देशांकों $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ में:

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

एक ऐसा परिबंध जो $\theta$ से स्वतंत्र है: पहुँचने की दिशा चाहे कोई भी हो, मान $0$ की ओर दबा दिए जाते हैं। $\theta$ में यही एकरूपता सारा दम है — $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ जैसा परिबंध (जिसमें $\rho$ बचता ही नहीं) कुछ भी सिद्ध नहीं करता, और सचमुच वही $g$ अगले उदाहरण का असंतत त्रिज्य फंदा है।

उदाहरण 25.3 (त्रिज्य फंदा)

मान लीजिए $(x,y) \neq (0,0)$ के लिए $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ और $f(0, 0) = 0$ । प्रत्येक अक्ष के सहारे $f = 0 \to 0$ ; पर विकर्ण $y = x$ के सहारे $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ । मूल बिंदु पर कोई सीमा नहीं: हर रेखा के सहारे पहुँचना, और हर रेखा पर एक ही सीमा पा लेना भी, पर्याप्त नहीं है (यहाँ रेखीय सीमाएँ आपस में नहीं मिलतीं; इससे बदतर उदाहरण हर रेखा पर मिलते हैं और फिर किसी परवलय पर विफल हो जाते हैं, अभ्यास 25.3)। हर चर में अलग-अलग सांतत्य पूरा सांतत्य नहीं देता।

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परिभाषा 6.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · 第 6 章 — सामान्य संस्थिति

किसी समुच्चय $X$ पर संस्थिति $X$ के उपसमुच्चयों का ऐसा कुल $\mathcal T$ है — जिनके अवयव विवृत समुच्चय कहलाते हैं — कि: $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; विवृत समुच्चयों का कोई भी सम्मिलन विवृत हो; और विवृत समुच्चयों का कोई भी परिमित प्रतिच्छेदन विवृत हो। युग्म $(X, \mathcal T)$ एक संस्थितिक समष्टि है। विवृत समुच्चयों के पूरक संवृत कहलाते हैं। $x$ का प्रतिवेश ऐसा समुच्चय है जो $x$ को अंतर्विष्ट करने वाले किसी विवृत समुच्चय को अंतर्विष्ट करता है।

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उदाहरण 6.2

(क) कोई मापीय समष्टि, जिसमें “विवृत” दूसरे वर्ष जैसा है (विवृत गोलों के सम्मिलन): यह मापीय संस्थिति है; भिन्न-भिन्न दूरियाँ एक ही संस्थिति दे सकती हैं (तुल्य दूरियाँ)। जिस समष्टि की संस्थिति किसी दूरी से आती हो वह मापीयकरणीय कहलाती है। (ख) विविक्त संस्थिति (सभी उपसमुच्चय) और अविविक्त संस्थिति $\{\varnothing, X\}$ । (ग) किसी अनंत समुच्चय पर सह-परिमित संस्थिति: विवृत $=$ रिक्त या सह-परिमित। यह मापीयकरणीय नहीं है, जैसा हम देखेंगे (अभ्यास 6.3)। (घ) $\R$ पर सामान्य संस्थिति; और $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ पर किरणों से जनित क्रम संस्थिति — जिससे “ $x_n \to +\infty$ ” साधारण अभिसरण का एक दृष्टांत बन जाता है।

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