Bilangan lilitan কী?

Untuk sebuah lintasan tertutup $\gamma$ dan $z \notin \operatorname{im}\gamma$, indeks itu adalah

Ia sebuah bilangan bulat: sebab dengan menetapkan $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$, fungsi $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ berturunan nol (sepenggal-sepenggal), sehingga konstan; lalu di $t = b$, $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$, sehingga $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$. Sebagai fungsi $z$, indeksnya kontinu pada $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (lewat kekonvergenan terdominasi), sehingga konstan pada setiap komponen terhubungnya, dan $0$ pada komponen yang tak terbatas (lewat ML: sebab integralnya menuju $0$ saat $z \to \infty$). Untuk lingkaran $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$ dengan $t \in \intcc0{2\pi}$: $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ bagi $z \in D(a,r)$ (hitunglah di $z = a$: $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$; lalu ketetapannya menyelesaikan sisanya).

Misalkan $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ kurva tertutup yang mulus. Yang disebut bilangan lilitan kurva itu di sekitar $a$ adalah