Ideal কী?

অন্য নাম: ring kuosien

Definisi 1.25 Matematika Universitas — Tahun 2 · অধ্যায় 1 — Himpunan dan Struktur

Misalkan $A$ ring komutatif. Sebuah ideal $I \subseteq A$ adalah subgrup aditif dengan sifat $a x \in I$ untuk setiap $a \in A$ , $x \in I$ . Kernel morfisma ring adalah ideal; $I = A$ bila dan hanya bila $1 \in I$ , bila dan hanya bila $I$ memuat sebuah unit. Ideal yang dibangun oleh $x$ adalah $xA = \{xa\}$ (sebuah ideal utama).

উদাহরণ

Contoh 1.27 (FPB polinomial, dua jalan)

Hitung $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ di $\Q[X]$ . Lewat Euklides:

X^3 - 1 = X\,(X^2 - 1) + (X - 1), \qquad X^2 - 1 = (X + 1)(X - 1) + 0 ,

jadi FPB-nya $X - 1$ , dan penyulihan balik memberi relasi Bézout

X - 1 = 1\cdot(X^3 - 1) - X\cdot(X^2 - 1).

Lewat ideal: ideal $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ bersifat utama (Teorema 1.26); ia memuat $X - 1$ (lihat ungkapan di atas) dan termuat di $(X - 1)\Q[X]$ (kedua pembangunnya nol di $1$ , jadi keduanya kelipatan $X - 1$ ): maka pembangun moniknya adalah $X - 1$ . Pelajaran penutupnya: sudut pandang ideal mengenali FPB tanpa membagi — akar yang sama-sama dimiliki keduanya menempatkan idealnya, dan Euklides sekadar mengesahkannya.

Contoh 1.34 (Morfisma evaluasi dan kernelnya)

Ambil $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ dan evaluasi $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ . Karena $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

(hanya suku tetap dan suku linear $P$ yang bertahan). Karenanya $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : sebuah ideal utama, persis seperti diramalkan Teorema 1.26, dibangun oleh $X^2$ yang monik dan berderajat terkecil di dalam kernel — itulah polinomial minimal $A$ , bintang Bab 3. Petanya adalah aljabar komutatif berdimensi dua $\{aI + bA\}$ : morfisma evaluasi menciutkan $\R[X]$ yang berdimensi tak hingga menjadi aljabar kecil yang terhitungkan.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

Definisi 2.1 Matematika Universitas — Tahun 3 · অধ্যায় 2 — Ring dan Aritmetika

Sebuah ideal $I$ dari ring $A$ adalah subgrup aditif yang memenuhi $AI \subseteq I$ . Yang disebut ring kuosien $A/I$ adalah grup kuosien $(A, +)/I$ dengan perkalian $(a + I)(b + I) = ab + I$ : perkalian ini terdefinisi dengan baik, sebab mengubah $a$ menjadi $a + x$ dan $b$ menjadi $b + y$ ( $x, y \in I$ ) mengubah $ab$ sebesar $ay + xb + xy \in I$ . Proyeksi $\pi \colon A \to A/I$ adalah morfisma ring surjektif dengan kernel $I$ , dan kernel morfisma ring tidak lain adalah ideal.

উদাহরণ

Contoh 2.20 (Sebuah ring tanpa faktorisasi tunggal)

Tidak satu pun implikasi Euclid $\Rightarrow$ DIU $\Rightarrow$ DFT merupakan kesetaraan, dan kegagalan pada implikasi terakhir layak dilihat sekali secara lengkap. Di dalam

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

normanya multiplikatif dan $N(z) = 1$ jika dan hanya jika $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . Tinjau

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Keempat faktornya tak tereduksi: normanya $4, 9, 6, 6$ , dan faktorisasi sejati $z = z_1z_2$ akan memaksa $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — padahal $a^2 + 5b^2$ tak pernah sama dengan $2$ atau $3$ ( $b = 0$ menyisakan $2, 3$ yang bukan kuadrat; $\abs b \geq 1$ memberikan $\geq 5$ ). Namun $2$ tidak sekawan dengan $1 \pm \iu\sqrt5$ (normanya $4 \neq 6$ ): jadi ada dua faktorisasi $6$ atas unsur tak tereduksi yang benar-benar berbeda. Setara dengan itu, di sini tak tereduksi $\neq$ prima: $2$ membagi hasil kali $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ tetapi tidak membagi satu pun faktornya (lihat normanya lagi). Perbaikan kegagalan ini secara ideal — memfaktorkan ideal alih-alih unsur — adalah kelahiran teori bilangan aljabar; pada tingkat kita, contoh ini mengukur betapa istimewanya ring Euclid $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ pada bab ini.

প্রসঙ্গসহ পড়ো →

উদাহরণ

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ