commutator কী?

Voorbeeld 1.30

Abelse groepen zijn oplosbaar. $p$-groepen zijn oplosbaar, met inductie op de orde: $Z(G) \neq \{e\}$ en $G/Z(G)$ is een kleinere $p$-groep. $S_3$ en $S_4$ zijn oplosbaar: $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$, waarbij $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ de viergroep van Klein van de dubbele transposities is (normaal in $S_4$: een vereniging van conjugatieklassen), met abelse quotiënten $\Z/2\Z$, $\Z/3\Z$, $V$. In Hoofdstuk 4 zal “de algemene vergelijking van graad $n$ is oplosbaar door worteltrekking” letterlijk betekenen: “$S_n$ is een oplosbare groep”. Vandaar het belang van de volgende definitie.