全部书籍

专业

应用 关于 Coach 登录 开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 Nederlands 版。

Wiskunde · 术语表

什么是 Geparametriseerde boog？

又称： raaklijn

Definitie 18.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · 第 18 章 — Krommen

Een geparametriseerde boog van klasse Ck\mathcal{C}^k (k≥1k \geq 1) is een afbeelding γ ⁣:I→Rn\gamma \colon I \to \R^n van klasse Ck\mathcal{C}^k op een interval II. Een punt γ(t)\gamma(t) heet regulier wanneer γ′(t)≠0\gamma'(t) \neq 0, en de boog heet regulier wanneer al haar punten dat zijn. De rechte door γ(t)\gamma(t) met richting γ′(t)\gamma'(t) is de raaklijn in een regulier punt.

示例

Voorbeeld 18.4 (Snelheid verandert niets meetkundigs)

Parametriseer de eenheidscirkel met

γ(t)=(cos⁡t2, sin⁡t2),t∈[0, 2π].\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

De snelheid ∥γ′(t)∥=2t\norm{\gamma'(t)} = 2t groeit lineair, en toch is

L=∫02π2t  ⁣dt=2π,L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

dezelfde lengte als bij constante snelheid — zoals Stelling 18.7 belooft, via de parameterverandering t↦t2t \mapsto t^2. De raaklijn, de kromming berekend met Propositie 18.17 en elke andere meetkundige grootheid stemmen eveneens overeen; alleen t=0t = 0 verdient een blik, waar γ′(0)=0\gamma'(0) = 0 deze parametrisering irregulier maakt hoewel de baan een volmaakte cirkel is. Meetkundige uitspraken verdragen slechte parametriseringen slecht: parametriseer eerst opnieuw, besluit daarna.

在原文中阅读 →