O comprimento de um arco C1f:[a,b]→R2 é a integral da velocidade escalar:
L=∫ab∥f′(t)∥dt=∫abx′(t)2+y′(t)2dt.
(Motivação: num intervalo pequeno, M(t+h)≈M(t)+hf′(t), logo o arco é próximo de uma poligonal cujos comprimentos de segmento somam uma soma de Riemann de ∥f′∥, o Teorema 15.20.) Para uma curva polarr=r(θ), a velocidade r′u+rv tem componentes ortogonais, logo
L=∫θ1θ2r′(θ)2+r(θ)2dθ.
O comprimento não depende da parametrização (monótona, C1) escolhida: substituir t=φ(s) na integral (o Teorema 15.15) multiplica f′ por φ′ e dt por φ′−1.
Um arco da cicloide (raio R=1), o círculo rolante em t=2, e as duas retas guia do problema de fim de semana: a corda MC até o ponto de contato é normal à curva, e a corda MT até o topo do círculo é tangente.
উদাহরণ
Exemplo 24.10(Verificação de coerência: o círculo)
Para f(t)=(Rcost,Rsint) em [0,2π]: ∥f′∥=R, logo L=2πR — a definição devolve a circunferência. Teste de reparametrização: a aplicaçãog(t)=(Rcos2t,Rsin2t) em [0,π] desenha o mesmo círculo ao dobro da velocidade ∥g′∥=2R, e
∫0π2Rdt=2πR
de novo: metade do tempo, o dobro da velocidade, o mesmo comprimento — a invariância prometida na definição, observada uma vez em números. (Rodar g em todo o [0,2π] daria 4πR: uma curva percorrida duas vezes é duas vezes mais longa como percurso; o comprimento mede o caminho parametrizado, e a contabilidade honesta do intervalo faz parte do cálculo.) Para a astroide (cos3t,sin3t): ∥f′∥=3∣sintcost∣=23∣sin2t∣, e por simetria L=4∫0π/223sin2tdt=6: uma curva desenhada dentro do círculo unitário, de comprimento6<2π. O problema de fim de semana mede o arco mais famoso de todos.
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