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Exemplo 21.2 (A derivada, como matriz)

Seja $D(P) = P'$ em $\R_3[X]$. Na base monomial $(1, X, X^2, X^3)$: $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, $D(X^3) = 3X^2$, logo

Na base dividida $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$, cada vetor da base é levado no anterior ($D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$), e a matriz torna-se o deslocamento puro: uns na superdiagonal, zeros em todo o resto. Duas morais: a matriz pertence ao par (aplicação, base), e não à aplicação sozinha; e uma boa base torna a estrutura visível de relance — a forma de deslocamento mostra na hora que $D^4 = 0$ em $\R_3[X]$, cada potência da matriz empurrando a sua diagonal de uns um passo mais para fora.