Matemática do ensino médio · Grades 10–12

12Derivadas: um primeiro curso

Com que rapidez uma função varia? A resposta em um único ponto é a derivada, o número mais útil de toda a matemática aplicada. Este capítulo a constrói a partir das taxas de variação médias, calcula-a para as funções de referência e usa seu sinal para ler a variação de uma função. Tudo o que está aqui é estendido e aprofundado no Capítulo 22.

12.1 A taxa de variação média

Definição 12.1 (Taxa de variação média)

Seja $f$ definida em um intervalo $I$ e sejam $a \neq b$ em $I$ . A taxa de variação média de $f$ entre $a$ e $b$ é

\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

Ela é o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos $\bigl(a, f(a)\bigr)$ e $\bigl(b, f(b)\bigr)$ da curva.

Exemplo 12.2

Um carro percorre $140$ km entre 14h e 16h: sua velocidade média é $\frac{140}{2} = 70$ km/h. O velocímetro, porém, mostra a cada instante uma velocidade instantânea — e é exatamente essa noção que a derivada torna precisa.

12.2 A derivada em um ponto

Definição 12.3 (Derivada em um ponto)

Seja $f$ definida em um intervalo que contém $a$ . Para $h \neq 0$ , forme a taxa de variação média entre $a$ e $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Se $r(h)$ se aproxima de um único número fixo quando $h$ fica arbitrariamente próximo de $0$ , dizemos que $f$ é derivável em $a$ ; esse número é a derivada de $f$ em $a$ , escrita $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

Exemplo 12.4

Seja $f(x) = x^2$ e $a = 1$ . Para $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

Quando $h$ se aproxima de $0$ , isso se aproxima de $2$ : a função $x^2$ é derivável em $1$ e $f'(1) = 2$ . Note a estratégia: simplifique o quociente até $h$ não aparecer mais em nenhum denominador e só então faça $h \to 0$ .

Exemplo 12.5 (Um ponto sem derivada)

Seja $f(x) = \abs{x}$ e $a = 0$ . Então $\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{\abs h}{h}$ , que vale $1$ para $h > 0$ e $-1$ para $h < 0$ : nenhum número único é atingido, e $\abs x$ não é derivável em $0$ . Sua curva tem ali um bico.

12.3 A reta tangente

Definição 12.6 (Tangente)

Se $f$ é derivável em $a$ , a tangente à curva no ponto $A = \bigl(a, f(a)\bigr)$ é a reta que passa por $A$ com coeficiente angular $f'(a)$ . Sua equação é

y = f(a) + f'(a)(x - a).

A tangente é a posição-limite das secantes que passam por $A$ : quando $h \to 0$ , o segundo ponto $\bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ desliza pela curva rumo a $A$ , e o coeficiente angular da secante, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ , se aproxima de $f'(a)$ .

A secante por A e B = (a+h, f(a+h) ) tem coeficiente angular f(a+h)-f(a)/h. Quando B desliza rumo a A, a secante tomba sobre a tangente, cujo coeficiente angular é f'(a). — A secante por $A$ e $B = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr)$ tem coeficiente angular $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Quando $B$ desliza rumo a $A$ , a secante tomba sobre a tangente, cujo coeficiente angular é $f'(a)$ .

Exemplo 12.7

Para $f(x) = x^2$ em $a = 1$ : $f(1) = 1$ e $f'(1) = 2$ (Exemplo 12.4), de modo que a tangente é

y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .

É a reta $d_2$ encontrada por álgebra pura no Exercício 10.11.

12.4 Derivadas das funções de referência

Proposição 12.8

Nos seus domínios de derivabilidade:

(c)' = 0, \quad (x)' = 1, \quad (x^2)' = 2x, \quad (x^3)' = 3x^2, \quad \left(\frac1x\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt x\,)' = \frac{1}{2\sqrt x} \ (x > 0).

Mais geralmente, $(x^n)' = n\,x^{n-1}$ para todo inteiro $n \geq 1$ .

Demonstração. Cada demonstração segue a estratégia do Exemplo 12.4: simplificar a taxa e depois fazer $h \to 0$ . Fixe $a$ no domínio.

Constante e identidade. $\frac{c - c}{h} = 0$ e $\frac{(a+h) - a}{h} = 1$ para todo $h$ : os limites são $0$ e $1$ .

Quadrado. $\frac{(a+h)^2 - a^2}{h} = \frac{2ah + h^2}{h} = 2a + h \to 2a$ .

Cubo. $(a+h)^3 = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3$ , de modo que a taxa é $3a^2 + 3ah + h^2 \to 3a^2$ .

Inverso. Para $a \neq 0$ e $h$ pequeno o bastante para que $a + h \neq 0$ :

\frac{1}{h}\left(\frac{1}{a+h} - \frac{1}{a}\right) = \frac{1}{h} \cdot \frac{a - (a+h)}{a(a+h)} = \frac{-1}{a(a+h)} \xrightarrow[h \to 0]{} -\frac{1}{a^2}.

Raiz quadrada. Para $a > 0$ , multiplique pelo conjugado:

\frac{\sqrt{a+h} - \sqrt a}{h} = \frac{(a + h) - a}{h\,(\sqrt{a+h} + \sqrt a)} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt a} \xrightarrow[h \to 0]{} \frac{1}{2\sqrt a}.

Potência geral. O padrão $2a$ , $3a^2$ prossegue: ao expandir $(a+h)^n$ , todos os termos depois de $a^n + n\,a^{n-1}h$ carregam $h^2$ , de modo que a taxa tende a $n\,a^{n-1}$ . (Uma indução completa é dada no Capítulo 22.) ∎

12.5 Regras de derivação

Teorema 12.9 (Operações)

Sejam $u$ e $v$ deriváveis em $I$ e seja $\lambda \in \R$ . Então $u + v$ , $\lambda u$ e $uv$ são deriváveis em $I$ , assim como $\frac{u}{v}$ onde $v \neq 0$ , e

(u+v)' = u' + v', \qquad (\lambda u)' = \lambda u', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Demonstração das três primeiras regras. Fixe $a \in I$ e abrevie $\Delta u = u(a+h) - u(a)$ , $\Delta v = v(a+h) - v(a)$ .

Soma. A taxa de $u + v$ é $\frac{\Delta u + \Delta v}{h} = \frac{\Delta u}{h} + \frac{\Delta v}{h} \to u'(a) + v'(a)$ .

Múltiplo. A taxa de $\lambda u$ é $\lambda \frac{\Delta u}{h} \to \lambda u'(a)$ .

Produto. Some e subtraia o termo misto $u(a+h)\,v(a)$ :

\begin{align*} \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} &= \frac{u(a+h)v(a+h) - u(a+h)v(a) + u(a+h)v(a) - u(a)v(a)}{h}\\ &= u(a+h)\,\frac{\Delta v}{h} + v(a)\,\frac{\Delta u}{h}. \end{align*}

Quando $h \to 0$ : $\frac{\Delta v}{h} \to v'(a)$ , $\frac{\Delta u}{h} \to u'(a)$ e $u(a+h) \to u(a)$ (sua taxa tem limite, logo $\Delta u = h \cdot \frac{\Delta u}{h} \to 0$ ). A taxa, portanto, tende a $u(a)v'(a) + v(a)u'(a)$ .

A regra do quociente demonstra-se nas mesmas linhas; ela é admitida neste nível e demonstrada no Capítulo 22. ∎

Exemplo 12.10

Polinômio. $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 7x - 2$ :

f'(x) = 3 \times 3x^2 - 5 \times 2x + 7 = 9x^2 - 10x + 7 .

Quociente. $g(x) = \frac{2x+1}{x^2+1}$ : com $u = 2x + 1$ , $v = x^2 + 1$ ,

g'(x) = \frac{2(x^2+1) - (2x+1)\,2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x^2 - 2x + 2}{(x^2+1)^2}.

Produto. $k(x) = x\sqrt x$ para $x > 0$ : $k'(x) = 1 \times \sqrt x + x \times \frac{1}{2\sqrt x} = \sqrt x + \frac{\sqrt x}{2} = \frac{3\sqrt x}{2}$ .

12.6 Sinal da derivada e variação

Teorema 12.11 (Derivada e variação)

Seja $f$ derivável em um intervalo $I$ .

Se $f' \geq 0$ em $I$ , então $f$ é crescente em $I$ .
Se $f' \leq 0$ em $I$ , então $f$ é decrescente em $I$ .
Se $f' > 0$ em $I$ (a não ser, talvez, em um número finito de pontos onde se anula), então $f$ é estritamente crescente em $I$ .

Demonstração. A intuição é clara — uma curva cujas tangentes apontam todas para cima tem de subir —, mas uma demonstração rigorosa exige o teorema do valor médio. O resultado é admitido neste nível; veja o Teorema 22.7. ∎

Proposição 12.12 (Extremos)

Se $f'$ muda de sinal em $a$ , de $+$ para $-$ , então $f$ tem um máximo local em $a$ ; de $-$ para $+$ , um mínimo local. Em um ponto assim, $f'(a) = 0$ e a tangente é horizontal.

Demonstração. Se $f' \geq 0$ em um intervalo que termina em $a$ e $f' \leq 0$ em um intervalo que começa em $a$ , então $f$ cresce até $f(a)$ e decresce em seguida (Teorema 12.11): $f(a)$ é o maior valor nas proximidades. Como $f'$ muda de sinal em $a$ e está definida ali, $f'(a) = 0$ . ∎

Método 12.13 (Estudar uma função)

Calcule $f'(x)$ e simplifique-a — de preferência até a forma fatorada.
Determine o sinal de $f'(x)$ em cada intervalo (se $f'$ for do segundo grau, use o Teorema 10.11).
Registre os resultados em um quadro de variação: uma linha para o sinal de $f'$ , uma linha de setas para $f$ e os valores de $f$ nos pontos de virada.
Conclua: extremos, número de soluções de $f(x) = k$ , desigualdades.

Exemplo 12.14

Estude $f(x) = x^3 - 3x + 1$ em $\R$ . Primeiro, $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : um trinômio do segundo grau com raízes $-1$ e $1$ , positivo fora delas. Assim, $f$ é crescente em $\intoc{-\infty}{-1}$ , decrescente em $\intcc{-1}{1}$ e crescente em $\intco{1}{+\infty}$ , com máximo local $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ e mínimo local $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ .

A curva de f(x) = x3 - 3x + 1 (): tangentes horizontais (laranja) no máximo local (-1, 3) e no mínimo local (1, -1), onde f' muda de sinal. — A curva de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (Exemplo 12.14): tangentes horizontais (laranja) no máximo local $(-1, 3)$ e no mínimo local $(1, -1)$ , onde $f'$ muda de sinal.

Exemplo 12.15 (Otimização)

Uma caixa aberta é feita a partir de uma folha $12 \times 12$ cm, cortando-se um quadrado de lado $x$ em cada canto e dobrando. Seu volume é $V(x) = x(12 - 2x)^2$ para $0 < x < 6$ . Expandindo, $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ , logo

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x - 2)(x - 6).

Em $\intoo{0}{6}$ , o fator $x - 6$ é negativo, de modo que $V'(x)$ tem o sinal de $-(x-2)$ : positivo antes de $2$ e negativo depois. O volume é máximo para $x = 2$ cm, dando $V(2) = 2 \times 8^2 = 128$ cm $^3$ .

12.7 Exercícios

Exercício 12.1 ★

Usando a definição (taxa de variação e depois $h \to 0$ ), calcule $f'(2)$ para $f(x) = x^2$ e depois $g'(1)$ para $g(x) = x^2 + 3x$ .

Solução

Solução de Exercício 12.1.

Para $f(x) = x^2$ em $a = 2$ :

\frac{(2+h)^2 - 4}{h} = \frac{4h + h^2}{h} = 4 + h \xrightarrow[h\to0]{} 4,

logo $f'(2) = 4$ . Para $g(x) = x^2 + 3x$ em $a = 1$ : $g(1) = 4$ e

\frac{(1+h)^2 + 3(1+h) - 4}{h} = \frac{5h + h^2}{h} = 5 + h \xrightarrow[h\to0]{} 5,

logo $g'(1) = 5$ .

Exercício 12.2 ★

Derive:

f(x) = 4x^3 - 2x^2 + x - 7, \qquad g(x) = 5\sqrt{x} + \frac{3}{x}, \qquad h(x) = (2x+1)(x^2 - 3) .

Solução

Solução de Exercício 12.2.

$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$ .

$g'(x) = \frac{5}{2\sqrt x} - \frac{3}{x^2}$ (em $\intoo{0}{+\infty}$ ).

$h'(x) = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x) = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$ (regra do produto).

Exercício 12.3 ★

Dê a equação da tangente à curva de $f$ no ponto de abscissa $a$ :

f(x) = x^2 - 3x, \ a = 2; \qquad f(x) = \frac1x, \ a = 1; \qquad f(x) = \sqrt x, \ a = 4 .

Solução

Solução de Exercício 12.3.

$f(x) = x^2 - 3x$ , $a = 2$ : $f(2) = -2$ , $f'(x) = 2x - 3$ , logo $f'(2) = 1$ ; tangente $y = -2 + (x - 2) = x - 4$ .

$f(x) = \frac1x$ , $a = 1$ : $f(1) = 1$ , $f'(1) = -1$ ; tangente $y = 1 - (x - 1) = 2 - x$ .

$f(x) = \sqrt x$ , $a = 4$ : $f(4) = 2$ , $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt4} = \frac14$ ; tangente $y = 2 + \frac14(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$ .

Exercício 12.4 ★

Derive os quocientes:

f(x) = \frac{x+2}{x-1}, \qquad g(x) = \frac{x^2}{x^2+1}, \qquad h(x) = \frac{1}{x^2 + x + 1} .

Solução

Solução de Exercício 12.4.

$f'(x) = \frac{(x-1) - (x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$ .

$g'(x) = \frac{2x(x^2+1) - x^2 \times 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

$h'(x) = -\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^2}$ (regra do quociente com $u = 1$ ).

Exercício 12.5 ★★

Estude a variação de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ em $\R$ (quadro de variação, extremos locais).

Solução

Solução de Exercício 12.5.

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$ : positiva fora de $\intcc{1}{3}$ e negativa dentro. Assim, $f$ é crescente em $\intoc{-\infty}{1}$ , decrescente em $\intcc{1}{3}$ e crescente em $\intco{3}{+\infty}$ , com máximo local $f(1) = 1 - 6 + 9 - 2 = 2$ e mínimo local $f(3) = 27 - 54 + 27 - 2 = -2$ .

Exercício 12.6 ★★

Estude a variação de $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x + 1}$ em $\intoo{-1}{+\infty}$ .

Solução

Solução de Exercício 12.6.

Em $\intoo{-1}{+\infty}$ :

f'(x) = \frac{2x(x+1) - (x^2+3)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{(x+3)(x-1)}{(x+1)^2}.

Para $x > -1$ , tanto $x + 3$ quanto $(x+1)^2$ são positivos, de modo que $f'(x)$ tem o sinal de $x - 1$ : $f$ é decrescente em $\intoc{-1}{1}$ e crescente em $\intco{1}{+\infty}$ , com mínimo $f(1) = \frac{4}{2} = 2$ .

Exercício 12.7 ★★

Seja $f(x) = x^2 - 4x + 5$ .

Encontre o ponto da curva onde a tangente é horizontal.
Encontre o ponto (ou os pontos) onde a tangente é paralela à reta $y = 2x + 1$ .

Solução

Solução de Exercício 12.7.

$f'(x) = 2x - 4$ .

1. Tangente horizontal: $f'(x) = 0$ em $x = 2$ ; o ponto é $(2, f(2)) = (2, 1)$ (o vértice da parábola).

2. Paralela a $y = 2x + 1$ significa coeficiente angular $2$ : $2x - 4 = 2$ , logo $x = 3$ , o que dá o ponto $(3, f(3)) = (3, 2)$ .

Exercício 12.8 ★★

Um cercado retangular é construído encostado em um muro com $60$ m de cerca (três lados). Exprima a área em função da largura $x$ e use a derivada para encontrar as dimensões de área máxima. (Compare com o método do vértice do Capítulo 10.)

Solução

Solução de Exercício 12.8.

Com largura $x$ (dois lados cercados) e comprimento $60 - 2x$ : $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ em $\intoo{0}{30}$ . Então $A'(x) = 60 - 4x$ , positiva antes de $x = 15$ e negativa depois: a área é máxima para $x = 15$ , dando um cercado $15 \times 30$ m de área $450$ m $^2$ . A fórmula do vértice $\alpha = -\frac{60}{2 \times (-2)} = 15$ do Capítulo 10 dá a mesma resposta sem cálculo.

Exercício 12.9 ★★

Mostre que, para todo $x > 0$ , $\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2}$ , estudando a função $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ em $\intoo{0}{+\infty}$ .

Solução

Solução de Exercício 12.9.

Seja $f(x) = \frac{x+1}{2} - \sqrt x$ em $\intoo{0}{+\infty}$ . Então

f'(x) = \frac12 - \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{\sqrt x - 1}{2\sqrt x},

que tem o sinal de $\sqrt x - 1$ : negativa em $\intoo{0}{1}$ e positiva em $\intoo{1}{+\infty}$ . Assim, $f$ decresce e depois cresce, com mínimo $f(1) = 1 - 1 = 0$ . Logo $f(x) \geq 0$ para todo $x > 0$ , isto é, $\sqrt x \leq \frac{x+1}{2}$ , com igualdade somente em $x = 1$ .

Exercício 12.10 ★★

Uma lata cilíndrica deve conter $500$ cm $^3$ . Sua área total (dois discos mais a lateral) é $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ , com $\pi r^2 h = 500$ . Exprima $S$ em função apenas de $r$ e mostre que $S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}$ . Deduza o raio que minimiza a área, em forma exata.

Solução

Solução de Exercício 12.10.

De $\pi r^2 h = 500$ vem $h = \frac{500}{\pi r^2}$ , logo

S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S'(r) = 4\pi r - \frac{1000}{r^2}.

$S'(r) = 0$ quando $4\pi r^3 = 1000$ , isto é, $r^3 = \frac{250}{\pi}$ , logo $r = \sqrt[3]{250/\pi}$ ( $\approx 4.3$ cm). Como $S'(r) = \frac{4\pi r^3 - 1000}{r^2}$ é negativa antes desse valor e positiva depois, trata-se de um mínimo.

Exercício 12.11 ★★★

Quantas tangentes à parábola $y = x^2$ passam pelo ponto exterior $P(1, -3)$ ? Determine suas equações. (Chame de $a$ a abscissa do ponto de contato e imponha que a tangente em $a$ passe por $P$ .)

Solução

Solução de Exercício 12.11.

A tangente a $y = x^2$ no ponto de abscissa $a$ é $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ . Ela passa por $P(1, -3)$ quando $-3 = 2a - a^2$ , isto é, $a^2 - 2a - 3 = 0$ , cujas raízes são $a = 3$ e $a = -1$ ( $\Delta = 16$ ). Há, portanto, duas tangentes por $P$ :

y = 6x - 9 \quad (a = 3), \qquad y = -2x - 1 \quad (a = -1).

Exercício 12.12 ★★★

Seja $f(x) = x^3 - 3x + 1$ (veja o Exemplo 12.14). Usando o quadro de variação, determine o número de soluções da equação $f(x) = k$ conforme o valor do número real $k$ .

Solução

Solução de Exercício 12.12.

Pelo Exemplo 12.14, $f$ cresce até o máximo local $f(-1) = 3$ , decresce até o mínimo local $f(1) = -1$ e depois cresce de novo; para $x$ positivo grande (resp. negativo grande em módulo), $x^3$ domina e $f$ assume valores arbitrariamente grandes (resp. pequenos). Lendo as retas horizontais $y = k$ sobre o quadro de variação:

$k > 3$ ou $k < -1$ : a reta encontra a curva uma só vez — $1$ solução;
$k = 3$ ou $k = -1$ : a reta toca um ponto de virada e cruza um outro ramo — $2$ soluções;
$-1 < k < 3$ : a reta cruza os três ramos — $3$ soluções.

12.8 Problema: Os três ofícios da tangente

Problema 12.1

Problema de fim de semana — o espelho parabólico demonstrado, a máquina de achar raízes de Newton e a viga mais forte que se tira de uma tora

Uma derivada traça tangentes; isso parece um talento modesto. Este problema mostra a tangente exercendo três ofícios ao mesmo tempo: ela demonstra o teorema do farol deixado pendente no Problema 10.1 (todo raio paralelo ao eixo de uma parábola reflete pelo foco), move o algoritmo de resolução de equações mais rápido em uso corrente — dentro de toda calculadora e de toda rede neural — e encontra a viga retangular mais forte que uma tora redonda pode render.

Parte I — Fluência com tangentes.

Derive $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ e $g(x) = x^3 - 12x$ (Teorema 12.9); e reobtenha $\left(x^2\right)'$ em $x = 1$ pela definição (taxa de variação e depois $h \to 0$ ).
Encontre a tangente a $y = x^3 - 12x$ em $a = 2$ . O que ela tem de especial e o que isso sinaliza (Proposição 12.12)?
Estabeleça a tangente geral à parábola $y = x^2$ no ponto $(a, a^2)$ :

$y = 2ax - a^2 .$
Onde essa tangente cruza o eixo $y$ ? Deduza a receita do desenhista: para traçar a tangente em um ponto $P$ de altura $h$ da parábola, ligue $P$ ao ponto do eixo situado à profundidade … abaixo da origem. Enuncie-a.
Monte o quadro de variação completo de $g(x) = x^3 - 12x$ (sinal de $g'$ , extremos locais e seus valores, Método 12.13).

Parte II — O teorema do espelho. Seja $P(a, a^2)$ um ponto da parábola $y = x^2$ (tome $a \neq 0$ ), $F\left(0, \frac14\right)$ o foco e $T$ o ponto onde a tangente em $P$ cruza o eixo $y$ (questão 4). Lembre-se, do Problema 10.1, que $PF = a^2 + \frac14$ .

Calcule a distância $FT$ .
Conclua que o triângulo $FPT$ é isósceles em $F$ . Que dois ângulos, portanto, são iguais?
O raio incidente que passa por $P$ , paralelo ao eixo, é paralelo à reta $(TF)$ (as duas são verticais). Usando ângulos alternos, mostre que a tangente em $P$ faz ângulos iguais com o raio vertical incidente e com o segmento $[PF]$ .
Física: a luz reflete numa curva como refletiria na sua tangente, saindo com o mesmo ângulo com que chegou (a lei da reflexão). Conclua o teorema do espelho: todo raio paralelo ao eixo reflete pelo foco — e, invertendo o tempo, uma lâmpada no foco emite um feixe paralelo. A antena e o farol do Problema 10.1 são agora teoremas.
Verifique numericamente o triângulo isósceles em $a = 1$ : calcule $T$ , $FP$ e $FT$ .

Parte III — A máquina de Newton. Para resolver $f(x) = 0$ , Newton propôs: parta de um palpite $x_0$ , siga a tangente em $x_0$ até o eixo e tome o ponto onde ela o corta como palpite seguinte.

Deduza a fórmula do método:

$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} .$
Rode-a em $f(x) = x^2 - 2$ a partir de $x_0 = 1$ : calcule $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ como frações exatas. Que sequência de dois mil anos — e que máquina do Problema 3.1 — você acabou de reconstruir? Demonstre a identidade por trás da coincidência:

$x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right).$
Resolva $x^3 = 100$ (a ultrapassagem dos planos de poupança do Problema 4.1): aplique dois passos de Newton a $f(x) = x^3 - 100$ a partir de $x_0 = 5$ (quatro casas decimais) e compare com o $\sqrt[3]{100}$ da calculadora.
Sabotagem: tente lançar o método em $f(x) = x^3 - 12x$ com $x_0 = 2$ . O que dá errado e por quê (questão 2)? Enuncie a ressalva prática.
Na questão 12 as casas decimais corretas foram mais ou menos $1 \to 3 \to 6$ . Compare com a bisseção (dividir um intervalo ao meio a cada passo) e diga em uma frase por que calculadoras, receptores de GPS e o treinamento de redes neurais rodam todos sobre a ideia de Newton.

Parte IV — A viga mais forte. Uma viga retangular de largura $w$ e altura $d$ é serrada de uma tora redonda de diâmetro $30$ cm, de modo que $w^2 + d^2 = 900$ . A rigidez de uma viga é proporcional a $w d^2$ (a altura conta duas vezes: as vigas ficam de pé!).

Exprima a rigidez em função apenas de $w$ : $S(w) = 900w - w^3$ , em que intervalo?
Derive, monte o quadro de variação e encontre os valores ótimos de $w$ e $d$ (valores exatos e depois em milímetros).
Mostre que as proporções ótimas satisfazem $d = w\sqrt2$ — a velha razão dos carpinteiros. (Bônus de tradição: dividir o diâmetro da tora em três partes iguais e levantar perpendiculares até o círculo constrói exatamente esse retângulo.)
A escolha ingênua é a viga quadrada ( $w = d$ ). Calcule sua rigidez e a da viga ótima, e dê o ganho do carpinteiro em porcentagem.
Final — os três ofícios da tangente, uma frase para cada: geometria (o teorema do espelho), cálculo numérico (a máquina de Newton), otimização (a viga), todos movidos pelo mesmo objeto. E o aviso adiante: o ano 12 acrescenta a convexidade — de que lado da curva fica a tangente — para aguçar os três.

Solução

Solução de Problema 12.1.

1. $f'(x) = 6x - 5$ ; $g'(x) = 3x^2 - 12$ . Pela definição: $\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = 2 + h \to 2$ : a derivada de $x^2$ em $1$ é $2$ .

2. $g(2) = 8 - 24 = -16$ e $g'(2) = 12 - 12 = 0$ : a tangente é a reta horizontal $y = -16$ . Uma tangente horizontal sinaliza um ponto crítico — aqui um mínimo local, como o quadro de variação da questão 5 confirma.

3. Coeficiente angular $2a$ em $(a, a^2)$ : $y = a^2 + 2a(x - a) = 2ax - a^2$ .

4. Em $x = 0$ : $y = -a^2$ : a tangente corta o eixo à profundidade $a^2$ abaixo da origem — exatamente tão abaixo de zero quanto $P$ está acima dele. Receita: para traçar a tangente em um ponto de altura $h$ , ligue-o ao ponto do eixo situado à profundidade $h$ abaixo da origem. (Nenhuma derivada é necessária na prancheta.)

5. $g'(x) = 3(x^2 - 4)$ : positiva em $\intoo{-\infty}{-2}$ , negativa em $\intoo{-2}{2}$ e positiva adiante. $g$ cresce até um máximo local $g(-2) = 16$ , cai até um mínimo local $g(2) = -16$ e depois cresce.

6. $F\left(0, \frac14\right)$ e $T(0, -a^2)$ : $FT = \frac14 + a^2$ .

7. $FP = a^2 + \frac14 = FT$ : isósceles em $F$ , logo os ângulos da base são iguais: $\widehat{FTP} = \widehat{FPT}$ .

8. O raio incidente em $P$ é vertical, portanto paralelo à reta $(TF)$ (o eixo $y$ ). A tangente $(TP)$ corta as duas paralelas, de modo que o ângulo entre o raio e a tangente é igual a $\widehat{FTP}$ (ângulos alternos) — que é igual a $\widehat{FPT}$ , o ângulo entre $[PF]$ e a tangente. Ângulos iguais dos dois lados da tangente em $P$ .

9. Pela lei da reflexão, o raio que chega verticalmente a $P$ sai pela reta que faz o ângulo igual do outro lado — pela questão 8, ao longo de $[PF]$ : pelo foco, qualquer que seja $a$ . Ao contrário, a luz nascida em $F$ sai de cada ponto do espelho paralela ao eixo. As antenas coletam, os faróis iluminam: demonstrado.

10. $a = 1$ : tangente $y = 2x - 1$ , $T(0, -1)$ ; $FP = \sqrt{1 + \left(1 - \frac14\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac54$ ; $FT = \frac14 + 1 = \frac54$ : isósceles, como prometido.

11. A tangente em $x_n$ é $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ ; ela cruza $y = 0$ onde $x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ .

12. $x_1 = 1 - \frac{-1}{2} = \frac32$ ; $x_2 = \frac32 - \frac{1/4}{3} = \frac{17}{12}$ ; $x_3 = \frac{577}{408}$ : as aproximações de $\sqrt2$ de Heron, isto é, a máquina de ponto fixo do Problema 3.1. Identidade: $x - \frac{x^2 - 2}{2x} = \frac{2x^2 - x^2 + 2}{2x} = \frac{x^2 + 2}{2x} = \frac12\left(x + \frac2x\right)$ — a receita de Heron é o método de Newton aplicado a $x^2 - 2$ , dois milênios antes.

13. $x_1 = 5 - \frac{125 - 100}{75} = \frac{14}{3} \approx 4.6667$ ; $x_2 \approx 4.6667 - \frac{1.63}{65.33} \approx 4.6417$ . Calculadora: $\sqrt[3]{100} = 4.6416\ldots$ — quatro casas decimais corretas em dois passos.

14. $f'(2) = 0$ : a tangente no ponto de partida é horizontal (questão 2) e nunca cruza o eixo — a fórmula divide por zero. Ressalva: comece Newton longe dos pontos críticos (e, mais geralmente, perto o bastante da raiz que se procura).

15. A bisseção ganha um dígito binário por passo; Newton praticamente dobra o número de dígitos corretos a cada passo ( $1 \to 3 \to 6$ aqui). Quando cada passo é caro — milhões de parâmetros, navegação em tempo real —, dobrar vence avançar a passinhos, e é por isso que a reta tangente roda dentro de tanto silício.

16. $d^2 = 900 - w^2$ , logo $S(w) = w(900 - w^2) = 900w - w^3$ , para $0 < w < 30$ .

17. $S'(w) = 900 - 3w^2 = 0$ em $w = \sqrt{300} = 10\sqrt3 \approx 17.3$ cm ( $S' > 0$ antes e $< 0$ depois: um máximo). Então $d = \sqrt{600} = 10\sqrt6 \approx 24.5$ cm.

18. $\frac{d^2}{w^2} = \frac{600}{300} = 2$ , logo $d = w\sqrt2$ : a altura é a largura vezes $\sqrt2$ — a razão do carpinteiro (e a construção do diâmetro dividido em terços a entrega com um compasso, sem álgebra na obra).

19. Viga quadrada: $w = d = \sqrt{450} \approx 21.2$ cm, rigidez $w^3 = 450^{3/2} \approx 9\,546$ . Viga ótima: $S = 10\sqrt3 \times 600 = 6\,000\sqrt3 \approx 10\,392$ . Ganho: cerca de $8.9\,\%$ mais rígida a partir da mesma tora — a derivada paga a serraria.

20. Geometria: os ângulos iguais da tangente transformaram um paraboloide em coletor de luz. Cálculo numérico: escorregar pelas tangentes resolve equações dobrando os dígitos. Otimização: uma derivada nula encontrou o retângulo mais forte da tora. Um objeto, três ofícios — e a convexidade do ano 12 dirá, além disso, de que lado de cada tangente a curva se encontra.