O que é Função convexa?

Exemplo 22.14

$f(x) = x^3$ tem $f''(x) = 6x$: $f$ é côncava em $\intoc{-\infty}{0}$, convexa em $\intco{0}{+\infty}$, com ponto de inflexão na origem, onde a curva atravessa sua tangente (o eixo $x$).

Exemplo 22.15 (Desigualdades de convexidade)

A exponencial é convexa em $\R$ (sua segunda derivada é ela mesma, positiva). Sua tangente em $0$ é $y = 1 + x$, de modo que

Essas desigualdades da reta tangente são um produto padrão da convexidade.

Exemplo 14.20 (Desigualdades clássicas de convexidade)

$\exp$ é convexa ($\exp'' = \exp > 0$): a sua tangente em $0$ dá $\eu^x \geq 1 + x$ para todo $x$. $\ln$ é côncava: a sua tangente em $1$ dá $\ln x \leq x - 1$; as suas cordas dão, para $0 < a \leq b$, a desigualdade entre as médias geométrica e aritmética: tomando $t = \frac12$ na concavidade,

A desigualdade aritmético-geométrica geral é o Exercício 14.9.

Exemplo 14.21 (Uma desigualdade de convexidade do zero)

A função $f(t) = t\ln t$ é convexa em $\intoo{0}{+\infty}$: $f''(t) = \frac1t > 0$. A sua desigualdade do ponto médio, multiplicada por $2$, diz: para todos $a, b > 0$,

com igualdade se, e somente se, $a = b$ (convexidade estrita). Teste: $a = 1$, $b = 3$ dá $3\ln 3 = 3.296$ contra $4\ln 2 = 2.773$. Esta desigualdade inócua é o caso de dois pontos da comparação de entropia que reaparece com a desigualdade de Jensen (Exercício 14.9) e nas assintóticas da teoria da informação do volume do terceiro ano. A ideia de fechamento: para fabricar uma desigualdade, encontre uma função cuja segunda derivada tenha sinal e escreva o que a convexidade diz — a caracterização diferencial converte uma verificação de sinal em infinitas desigualdades.

Exemplo 14.24 (A desigualdade de Young a partir da concavidade)

Sejam $p, q > 1$ com $\frac1p + \frac1q = 1$. Para todos $a, b > 0$:

Demonstração por uma aplicação da concavidade de $\ln$ com pesos $\frac1p, \frac1q$ (a desigualdade de Jensen em dois pontos, como no Exercício 14.9):

e, sendo $\ln$ crescente, a desigualdade dos logaritmos se converte na afirmação; a igualdade vale se, e somente se, $a^p = b^q$ (concavidade estrita). O caso $p = q = 2$ é a desigualdade aritmético-geométrica $ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ disfarçada. A ideia de fechamento: a desigualdade de Young é a semente algébrica das desigualdades de Hölder e Minkowski do volume do segundo ano — um enunciado de concavidade sobre $\ln$, colhido para normas.