Matemática do ensino médio · Grades 10–12

22Derivadas e convexidade

A derivada mede a taxa de variação instantânea de uma função; é o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Este capítulo revê e estende as regras de derivação, liga o sinal de $f'$ à variação de $f$ e apresenta a convexidade, governada pela segunda derivada.

22.1 A derivada

Definição 22.1 (Derivada em um ponto)

Seja $f$ definida em um intervalo $I$ e seja $a \in I$ . A função $f$ é derivável em $a$ se o quociente de diferenças

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

tem limite finito quando $h \to 0$ . Esse limite chama-se derivada de $f$ em $a$ e escreve-se $f'(a)$ . Se $f$ é derivável em todo ponto de $I$ , a função $f' \colon x \mapsto f'(x)$ é a derivada de $f$ .

Definição 22.2 (Reta tangente)

Se $f$ é derivável em $a$ , a tangente à curva de $f$ no ponto $(a, f(a))$ é a reta de equação

y = f(a) + f'(a)(x - a).

À medida que h diminui, a secante por A = (a, f(a)) e (a+h, f(a+h)) (laranja) gira rumo à tangente em A (vermelha): seu coeficiente angular f(a+h)-f(a)/h tende a f'(a). — À medida que $h$ diminui, a secante por $A = (a, f(a))$ e $(a+h, f(a+h))$ (laranja) gira rumo à tangente em $A$ (vermelha): seu coeficiente angular $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tende a $f'(a)$ .

Proposição 22.3

Uma função derivável em $a$ é contínua em $a$ . A recíproca é falsa.

Demonstração. Para $h \neq 0$ pequeno, $f(a+h) - f(a) = h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Quando $h \to 0$ , o lado direito tende a $0 \times f'(a) = 0$ , logo $f(a+h) \to f(a)$ . Para a recíproca, $x \mapsto \abs{x}$ é contínua em $0$ , mas seu quociente de diferenças em $0$ vale $\frac{\abs h}{h} = \pm 1$ conforme o sinal de $h$ , e não tem limite. ∎

22.1.1 Regras de derivação

Proposição 22.4 (Operações)

Sejam $u, v$ deriváveis em $I$ e $\lambda \in \R$ . Então $u + v$ , $\lambda u$ e $uv$ são deriváveis em $I$ , assim como $\frac{u}{v}$ onde $v \neq 0$ , e

(u+v)' = u' + v', \quad (\lambda u)' = \lambda u', \quad (uv)' = u'v + uv', \quad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

Demonstração da regra do produto. Escreva o quociente de diferenças de $uv$ em $a$ como

\frac{u(a+h)v(a+h) - u(a)v(a)}{h} = \frac{u(a+h) - u(a)}{h}\,v(a+h) + u(a)\,\frac{v(a+h) - v(a)}{h}.

Quando $h \to 0$ , $v(a+h) \to v(a)$ por continuidade (Proposição 22.3), de modo que o lado direito tende a $u'(a)v(a) + u(a)v'(a)$ . As outras regras se demonstram de modo análogo. ∎

Teorema 22.5 (Regra da cadeia)

Seja $u$ derivável em $I$ com valores em $J$ , e $g$ derivável em $J$ . Então $g \circ u$ é derivável em $I$ e

(g \circ u)' = (g' \circ u) \cdot u' .

Em particular, para $u$ derivável:

(u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \ (n \in \Z), \qquad \left(\sqrt{u}\right)' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \ (u > 0), \qquad \left(\eu^{u}\right)' = u'\,\eu^{u}.

Esboço da demonstração. Quando $u(a+h) \neq u(a)$ para $h$ pequeno, escreva

\frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{h} = \frac{g(u(a+h)) - g(u(a))}{u(a+h) - u(a)} \cdot \frac{u(a+h) - u(a)}{h}.

Quando $h \to 0$ , $u(a+h) \to u(a)$ , de modo que o primeiro fator tende a $g'(u(a))$ e o segundo a $u'(a)$ . (Uma demonstração completa precisa tratar o caso em que $u(a+h) = u(a)$ para $h$ arbitrariamente pequeno; esse ponto técnico é tratado na graduação.) ∎

Exemplo 22.6

As derivadas usuais, válidas nos domínios naturais:

(x^n)' = nx^{n-1}, \quad \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}, \quad (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\sin x)' = \cos x .

A primeira demonstra-se por indução a partir da regra do produto, e as duas últimas no Capítulo 24.

22.2 Variação e extremos

Teorema 22.7 (Sinal da derivada e variação)

Seja $f$ derivável em um intervalo $I$ .

$f$ é crescente em $I$ se, e somente se, $f' \geq 0$ em $I$ .
$f$ é decrescente em $I$ se, e somente se, $f' \leq 0$ em $I$ .
Se $f' > 0$ em $I$ , exceto em um número finito de pontos onde se anula, então $f$ é estritamente crescente em $I$ .

Demonstração parcial. Se $f$ é crescente, todo quociente de diferenças $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ é $\geq 0$ , e passar ao limite dá $f'(a) \geq 0$ . As implicações recíprocas apoiam-se no teorema do valor médio, demonstrado na graduação; elas são admitidas neste nível. ∎

Definição 22.8 (Extremo local)

$f$ tem um máximo local em $a$ se $f(x) \leq f(a)$ para todo $x$ perto de $a$ ; os mínimos locais definem-se de modo simétrico.

Proposição 22.9 (Condição de primeira ordem)

Se $f$ é derivável em um intervalo aberto $I$ e tem um extremo local em $a \in I$ , então $f'(a) = 0$ . A recíproca é falsa ( $f(x) = x^3$ em $a = 0$ ).

Demonstração. Digamos que $a$ seja um máximo local. Para $h > 0$ pequeno, $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \leq 0$ , de modo que fazer $h \to 0^+$ dá $f'(a) \leq 0$ ; para $h < 0$ o quociente é $\geq 0$ , o que dá $f'(a) \geq 0$ . Logo $f'(a) = 0$ . ∎

Em um extremo local no interior de um intervalo aberto, a tangente (laranja) é horizontal: f'(a) = 0. Aqui f(x) = x3 - 3x, com máximo local em -1 e mínimo local em 1. — Em um extremo local no interior de um intervalo aberto, a tangente (laranja) é horizontal: $f'(a) = 0$ . Aqui $f(x) = x^3 - 3x$ , com máximo local em $-1$ e mínimo local em $1$ .

Método 22.10 (Quadro de variação)

Para estudar uma função $f$ : determine seu domínio e os limites na fronteira; calcule $f'$ e fatore-a; determine o sinal de $f'$ em cada subintervalo; registre tudo em um quadro de variação, marcando os extremos; deduza o número de soluções de $f(x) = k$ usando o teorema da bijeção (Teorema 21.15).

22.3 Convexidade

Definição 22.11 (Função convexa)

Uma função $f$ definida em um intervalo $I$ é convexa em $I$ se toda corda do seu gráfico fica acima do gráfico: para todos $a, b \in I$ e $t \in \intcc{0}{1}$ ,

f\bigl((1-t)a + t b\bigr) \leq (1-t) f(a) + t f(b).

Ela é côncava se vale a desigualdade contrária ( $-f$ convexa).

Uma função convexa: toda corda (vermelha) fica acima do gráfico, e o gráfico fica acima de cada uma de suas tangentes (laranja). O segmento tracejado mostra a diferença entre f ((1-t)a+tb ) e (1-t)f(a)+tf(b). — Uma função convexa: toda corda (vermelha) fica acima do gráfico, e o gráfico fica acima de cada uma de suas tangentes (laranja). O segmento tracejado mostra a diferença entre $f\bigl((1-t)a+tb\bigr)$ e $(1-t)f(a)+tf(b)$ .

Teorema 22.12 (Convexidade e derivadas)

Seja $f$ derivável em um intervalo $I$ . São equivalentes:

$f$ é convexa em $I$ ;
$f'$ é crescente em $I$ ;
o gráfico de $f$ fica acima de cada uma de suas tangentes.

Se $f$ é duas vezes derivável, isso também equivale a $f'' \geq 0$ em $I$ .

Demonstração de (2) $\Rightarrow$ (3). Fixe $a \in I$ e ponha $g(x) = f(x) - f(a) - f'(a)(x-a)$ , a diferença entre a curva e a tangente em $a$ . Então $g$ é derivável e $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Se $f'$ é crescente, $g' \leq 0$ em $I \cap \intoc{-\infty}{a}$ e $g' \geq 0$ em $I \cap \intco{a}{+\infty}$ : $g$ decresce antes de $a$ e cresce depois, de modo que $g$ atinge seu mínimo $g(a) = 0$ , logo $g \geq 0$ . As demais implicações são admitidas neste nível; a equivalência com $f'' \geq 0$ segue do Teorema 22.7 aplicado a $f'$ . ∎

Definição 22.13 (Ponto de inflexão)

Um ponto em que a curva de $f$ atravessa a sua tangente é um ponto de inflexão. Para $f$ duas vezes derivável, os pontos de inflexão são os pontos em que $f''$ muda de sinal.

Exemplo 22.14

$f(x) = x^3$ tem $f''(x) = 6x$ : $f$ é côncava em $\intoc{-\infty}{0}$ , convexa em $\intco{0}{+\infty}$ , com ponto de inflexão na origem, onde a curva atravessa sua tangente (o eixo $x$ ).

O ponto de inflexão de x x3 na origem: a curva atravessa sua tangente (laranja), côncava à esquerda e convexa à direita. — O ponto de inflexão de $x \mapsto x^3$ na origem: a curva atravessa sua tangente (laranja), côncava à esquerda e convexa à direita.

Exemplo 22.15 (Desigualdades de convexidade)

A exponencial é convexa em $\R$ (sua segunda derivada é ela mesma, positiva). Sua tangente em $0$ é $y = 1 + x$ , de modo que

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{para todo } x \in \R .

Essas desigualdades da reta tangente são um produto padrão da convexidade.

Método 22.16 (Usar a convexidade)

Para demonstrar uma desigualdade $f(x) \geq ax + b$ : identifique a reta como tangente de uma $f$ convexa e invoque o Teorema 22.12(3).
Para localizar pontos de inflexão: resolva $f''(x) = 0$ e verifique que $f''$ muda de sinal ali.
Em um quadro de variação, a convexidade refina o esboço da curva (para que lado ela se curva).

22.4 Exercícios

Exercício 22.1 ★

Derive as funções seguintes em seus domínios:

f(x) = x^3 - 5x + 2, \quad g(x) = \frac{x}{x^2+1}, \quad h(x) = (2x+1)^5, \quad k(x) = \sqrt{x^2 + 1}.

Solução

Solução de Exercício 22.1.

$f'(x) = 3x^2 - 5$ .

Regra do quociente: $g'(x) = \dfrac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}$ .

Regra da cadeia com $u = 2x+1$ : $h'(x) = 5 \cdot 2 \cdot (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4$ .

Regra da cadeia com $u = x^2 + 1$ : $k'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Exercício 22.2 ★

Dê a equação da tangente à curva de $f(x) = x^2 - 3x + 1$ no ponto de abscissa $a = 2$ e determine a posição da curva em relação a essa tangente.

Solução

Solução de Exercício 22.2.

$f'(x) = 2x - 3$ , logo $f(2) = -1$ e $f'(2) = 1$ : a tangente é $y = -1 + (x - 2) = x - 3$ . A diferença é

f(x) - (x - 3) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 \geq 0 ,

de modo que a curva fica acima da tangente em toda parte, tocando-a apenas em $x = 2$ (como se esperava: $f$ é convexa).

Exercício 22.3 ★

Usando a definição de derivada, calcule

\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{100} - 1}{x} \qquad\text{e}\qquad \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4+h} - 2}{h}.

Solução

Solução de Exercício 22.3.

Os dois são quocientes de diferenças. Com $f(x) = (1+x)^{100}$ em $0$ : $f'(x) = 100(1+x)^{99}$ , de modo que o limite é $f'(0) = 100$ . Com $g(x) = \sqrt{x}$ em $4$ : $g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , de modo que o limite é $g'(4) = \frac14$ .

Exercício 22.4 ★★

Estude a função $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$ em seu domínio: limites, derivada, quadro de variação, extremos locais.

Solução

Solução de Exercício 22.4.

Domínio $\R \setminus \{1\}$ . Limites: em $\pm\infty$ , $f(x) \sim x \to \pm\infty$ ; em $1^\pm$ , o numerador $\to 4 > 0$ e o denominador $\to 0^\pm$ , de modo que $f \to \pm\infty$ ; a reta $x = 1$ é assíntota vertical.

f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}.

Logo $f' > 0$ em $\intoo{-\infty}{-1}$ e $\intoo{3}{+\infty}$ , e $f' < 0$ em $\intoo{-1}{1}$ e $\intoo{1}{3}$ . A função cresce até um máximo local $f(-1) = -2$ , decresce até $-\infty$ , salta para $+\infty$ depois da assíntota, decresce até um mínimo local $f(3) = 6$ e depois cresce.

Exercício 22.5 ★★

Uma caixa sem tampa é feita a partir de uma folha quadrada de papelão de lado $30\,$ cm, recortando-se quadrados iguais de lado $x$ nos cantos e dobrando as laterais. Determine o $x$ que maximiza o volume da caixa.

Solução

Solução de Exercício 22.5.

Para $x \in \intoo{0}{15}$ , a caixa tem base quadrada de lado $30 - 2x$ e altura $x$ , de modo que

V(x) = x(30 - 2x)^2 .

$V'(x) = (30-2x)^2 + x \cdot 2(30-2x)(-2) = (30-2x)(30 - 2x - 4x) = (30-2x)(30-6x)$ . Em $\intoo{0}{15}$ , $30 - 2x > 0$ , de modo que $V'$ tem o sinal de $30 - 6x$ : positiva antes de $x = 5$ e negativa depois. O volume é máximo para $x = 5$ cm, dando $V(5) = 5 \times 20^2 = 2000\ \text{cm}^3$ .

Exercício 22.6 ★★

Seja $f(x) = x^4 - 4x^3 + 10$ .

Calcule $f''$ e determine os intervalos de convexidade e os pontos de inflexão de $f$ .
Mostre que a tangente no ponto de inflexão de abscissa $2$ atravessa a curva ali.

Solução

Solução de Exercício 22.6.

1. $f'(x) = 4x^3 - 12x^2$ e $f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x-2)$ . Assim, $f'' > 0$ em $\intoo{-\infty}{0}$ e em $\intoo{2}{+\infty}$ (convexa), e $f'' < 0$ em $\intoo{0}{2}$ (côncava). $f''$ muda de sinal em $0$ e em $2$ : os dois são pontos de inflexão.

2. Em $a = 2$ : $f(2) = 16 - 32 + 10 = -6$ , $f'(2) = 32 - 48 = -16$ , tangente $y = -6 - 16(x-2) = -16x + 26$ . A diferença é

g(x) = f(x) + 16x - 26 = x^4 - 4x^3 + 16x - 16 .

Como $g(2) = g'(2) = g''(2) = 0$ , $(x-2)^3$ divide $g$ ; a divisão dá $g(x) = (x-2)^3(x+2)$ . Perto de $x = 2$ , $x + 2 > 0$ , de modo que $g$ tem o sinal de $(x-2)^3$ : negativo antes de $2$ e positivo depois. A curva atravessa a tangente: $2$ é de fato um ponto de inflexão.

Exercício 22.7 ★★

Usando uma desigualdade da reta tangente, mostre que, para todo $x > 0$ ,

\sqrt{x} \leq \frac{x + 1}{2},

e identifique quando vale a igualdade. (Sugestão: a raiz quadrada é côncava.)

Solução

Solução de Exercício 22.7.

A função $f(x) = \sqrt{x}$ satisfaz $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ em $\intoo{0}{+\infty}$ : ela é côncava, de modo que seu gráfico fica abaixo de cada tangente. A tangente em $a = 1$ é

y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 1 + \tfrac12 (x-1) = \frac{x+1}{2},

donde $\sqrt{x} \leq \frac{x+1}{2}$ para todo $x > 0$ . A igualdade significa que a curva toca a tangente, o que só acontece no ponto de tangência $x = 1$ . (Equivalentemente: $\left(\sqrt x - 1\right)^2 \geq 0$ .)

Exercício 22.8 ★★★

Seja $f$ convexa e derivável em $\R$ , e suponha que $f'$ se anule em algum ponto $a$ . Mostre que $f(a)$ é o mínimo global de $f$ em $\R$ .

Solução

Solução de Exercício 22.8.

Pelo Teorema 22.12, o gráfico de uma função convexa e derivável fica acima de cada uma de suas tangentes. A tangente em $a$ é horizontal ( $f'(a) = 0$ ), de equação $y = f(a)$ . Logo $f(x) \geq f(a)$ para todo $x \in \R$ : $f(a)$ é o mínimo global.

Exercício 22.9 ★★★

Mostre que, entre todos os retângulos de perímetro fixo $p$ , o quadrado tem a maior área. Mostre em seguida que, entre todos os retângulos de área fixa $A$ , o quadrado tem o menor perímetro, e explique como as duas afirmações se relacionam.

Solução

Solução de Exercício 22.9.

Perímetro fixo. Um retângulo de lados $x$ e $\frac{p}{2} - x$ ( $0 < x < \frac p2$ ) tem área $S(x) = x\left(\frac p2 - x\right)$ . Então $S'(x) = \frac p2 - 2x$ anula-se em $x = \frac p4$ , sendo positiva antes e negativa depois: o máximo está em $x = \frac{p}{4}$ , onde os dois lados valem $\frac p4$ — um quadrado.

Área fixa. Lados $x$ e $\frac Ax$ dão perímetro $P(x) = 2\left(x + \frac Ax\right)$ , com $P'(x) = 2\left(1 - \frac{A}{x^2}\right)$ , negativa para $x < \sqrt A$ e positiva depois: mínimo em $x = \sqrt{A}$ , de novo um quadrado.

Relação. As duas afirmações são duais. Suponha que um retângulo não quadrado minimizasse o perímetro com área fixa $A$ ; o quadrado de mesmo perímetro teria área $> A$ pela primeira afirmação, e reduzi-lo por homotetia até a área $A$ diminuiria estritamente seu perímetro — contradizendo a minimalidade. Cada afirmação, portanto, implica a outra.

22.5 Problema: O cálculo do salva-vidas

Problema 22.1

Problema de fim de semana — o caminho de resgate mais rápido obedece à lei de Snell da luz, a convexidade certifica todo ótimo, e a lata de refrigerante ideal é exatamente tão alta quanto larga

Uma salva-vidas avista um banhista em apuros — na diagonal ao longo da praia, dentro d’água. Correr é mais rápido que nadar: a linha reta não é o caminho mais rápido. O trajeto que minimiza o tempo se dobra na beira d’água, e sua lei de refração é precisamente a lei pela qual a luz se refrata ao entrar na água: a natureza também deriva. Este problema treina a regra da cadeia (Teorema 22.5), executa o resgate, colhe as desigualdades da convexidade (Teorema 22.12) e projeta uma lata.

Parte I — Fluência com a regra da cadeia.

Derive: $\left(3x^2 + 1\right)^5$ ; $\sqrt{x^2 + 9}$ ; $\dfrac{1}{x^2 + 1}$ .
Dê a tangente a $y = \sqrt{x^2 + 9}$ em $x = 4$ .
Monte o quadro de variação de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ em $\R$ (extremos incluídos).
Para $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ : quadro de variação e quadro de convexidade ( $g''$ ), com o ponto de inflexão (Definição 22.13).
Calcule a tangente a $g$ em seu ponto de inflexão e mostre que $g(x) - (\text{tangente}) = (x - 1)^3$ : o que a mudança de sinal diz sobre o modo como a tangente encontra a curva em uma inflexão?

Parte II — O resgate. Beira d’água ao longo do eixo $x$ ; a salva-vidas está na areia, em $A(0, 30)$ , e o banhista espera em $B(40, -20)$ (em metros). Ela corre a $5$ m/s na areia, nada a $2$ m/s e entra na água em um ponto $(x, 0)$ à sua escolha.

Modelagem: exprima o tempo total de resgate $T(x)$ e diga por que só $x \in \intcc{0}{40}$ merece consideração.
Derive $T$ (a regra da cadeia em ação — duas vezes).
Seja $\theta_1$ o ângulo do trecho de corrida com a perpendicular à beira d’água, e $\theta_2$ o do trecho de natação. Mostre que $\sin\theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 900}}$ e que a condição $T'(x) = 0$ se lê

$\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$

— a lei de Snell, com as duas velocidades no lugar das velocidades da luz no ar e na água.
O segmento reto $[AB]$ cruza a beira d’água em $x = 24$ . Calcule $T(24)$ , $T(40)$ (correr pela praia e depois nadar em linha reta) e $T(0)$ : a reta geométrica é a mais rápida? Alguma das estratégias extremas é?
Localize o ponto ótimo de entrada por dicotomia em $T'$ (ele é $\approx 33.7$ m): dê $x^*$ com precisão de metros e o tempo recorde $T(x^*)$ com precisão de décimos de segundo. Quanto a curvatura ótima economiza em relação à linha reta?
Por que o ponto crítico é um mínimo global? (Cada parcela de $T$ é convexa — admita que uma soma de funções convexas é convexa — e aplique o Exercício 22.8.)
O princípio de Fermat afirma que a luz percorre sempre o caminho de menor tempo. Deduza por que um raio de luz se dobra exatamente na superfície ao entrar na água (onde a luz é mais lenta) e nomeie a observação cotidiana que isso explica sobre um lápis dentro de um copo com água.

Parte III — A colheita da convexidade.

Mostre que $x \mapsto x^2$ é convexa e demonstre duas vezes a desigualdade do ponto médio $\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \frac{a^2 + b^2}{2}$ : uma vez pela convexidade, outra expandindo $(a - b)^2 \geq 0$ .
Deduza que a média quadrática $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ domina a média aritmética e monte a cadeia completa da série — harmônica $\leq$ geométrica $\leq$ aritmética $\leq$ quadrática —, verificando as quatro em $a = 2$ , $b = 8$ .
Tangente por baixo da curva: $x \mapsto \frac1x$ é convexa em $\intoo{0}{+\infty}$ ; escreva sua tangente em $1$ e deduza a desigualdade $\frac1x \geq 2 - x$ para todo $x > 0$ . Onde ela é igualdade?
Inflexão em campo: durante uma epidemia, o número acumulado de casos segue uma curva em S. O que acontece no seu ponto de inflexão, e por que essa data é a que os epidemiologistas aguardam? Relacione com o sinal da segunda derivada de cada lado.

Parte IV — A lata ideal. Uma lata cilíndrica deve conter $V = 330$ cm $^3$ com o mínimo de metal: superfície $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ , com a restrição $\pi r^2 h = V$ .

Exprima $S(r) = 2\pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$ , derive e calcule o raio e a altura ótimos para $V = 330$ (com precisão de milímetros).
Demonstre a elegante lei geral: no ótimo, $h = 2r$ — a lata ideal é exatamente tão alta quanto larga.
Verifique que $S''(r) > 0$ e conclua (de novo pelo Exercício 22.8) que o ótimo é global. As latas de refrigerante reais são visivelmente mais altas que largas: aponte uma razão não matemática.
Final — a linha de montagem da otimização: modelar, perguntar à derivada, resolver os pontos críticos, certificar com convexidade ou com um quadro, interpretar. Percorra a lista para a salva-vidas, para a lata e para a viga mais forte do ano 11 (Problema 12.1) — e diga o que o princípio de Fermat afirma sobre quem mais percorre essa mesma linha de montagem.

Solução

Solução de Problema 22.1.

1. $30x\left(3x^2 + 1\right)^4$ ; $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ ; $-\dfrac{2x}{\left(x^2 + 1\right)^2}$ .

2. $y(4) = 5$ , coeficiente angular $\frac45$ : tangente $y = 5 + \frac45(x - 4)$ , isto é, $y = \frac45 x + \frac95$ .

3. $f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$ : negativa, positiva, negativa ao atravessar $-1$ e $1$ : mínimo $f(-1) = -\frac12$ , máximo $f(1) = \frac12$ , com assíntota horizontal $0$ dos dois lados.

4. $g'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ : crescente, decrescente, crescente ao atravessar $0$ e $2$ ; máximo local $g(0) = 4$ , mínimo local $g(2) = 0$ . $g''(x) = 6x - 6$ : côncava antes de $1$ e convexa depois: inflexão em $(1, 2)$ .

5. Tangente em $1$ : coeficiente angular $g'(1) = -3$ : $y = 2 - 3(x - 1) = -3x + 5$ . Diferença: $x^3 - 3x^2 + 4 - (-3x + 5) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3$ , que muda de sinal em $1$ : a tangente atravessa a curva — o comportamento característico de um ponto de inflexão, em que a curva troca de lado.

6. $T(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 900}}{5} + \dfrac{\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}{2}$ . Entrar antes de $0$ ou depois de $40$ alonga os dois trechos: não faz sentido.

7. $T'(x) = \dfrac{x}{5\sqrt{x^2 + 900}} - \dfrac{40 - x}{2\sqrt{(40 - x)^2 + 400}}$ .

8. No triângulo da corrida, o lado ao longo da praia mede $x$ e a hipotenusa $\sqrt{x^2 + 900}$ : o seno do ângulo com a perpendicular é exatamente o quociente deles (cateto oposto sobre hipotenusa); do mesmo modo, $\sin\theta_2 = \frac{40 - x}{\sqrt{(40-x)^2 + 400}}$ . Então $T'(x) = 0$ lê-se $\frac{\sin\theta_1}{5} = \frac{\sin\theta_2}{2}$ — a lei de Snell com velocidades $5$ e $2$ .

9. $T(24) \approx 20.5$ s; $T(40) = 10 + 10 = 20$ s; $T(0) = 6 + \sqrt{2000}/2 \approx 28.4$ s. A linha reta perde até para “correr o caminho todo e depois nadar em linha reta” — e as duas perdem para o trajeto refratado.

10. A dicotomia em $T'$ (negativa em $24$ , positiva em $40$ ) converge para $x^* \approx 34$ m, com $T(x^*) \approx 19.5$ s: cerca de um segundo mais rápido que a linha reta — a diferença entre um resgate e uma tragédia.

11. O tempo de cada trecho é função convexa de $x$ (um ramo de $\sqrt{\text{trinômio}}$ ), de modo que $T$ é convexa, e um ponto crítico de uma função convexa e derivável é seu mínimo global (Exercício 22.8): $x^*$ não é apenas estacionário, é imbatível.

12. A luz é mais lenta na água; pelo princípio de Fermat, o caminho ar-água mais rápido se dobra na superfície exatamente segundo a lei de Snell — assim, os raios de um lápis submerso chegam ao olho dobrados e o cérebro, que extrapola em linha reta, vê o lápis quebrado na linha d’água.

13. $(x^2)'' = 2 > 0$ : convexa. Convexidade no ponto médio: $f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{f(a) + f(b)}{2}$ , que é a afirmação. Na mão: $\frac{a^2 + b^2}{2} - \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{(a - b)^2}{4} \geq 0$ .

14. Extraindo raízes quadradas (função crescente) na questão 13: $\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ . Cadeia completa em $2, 8$ : harmônica $\frac{2 \cdot 16}{10} = 3.2$ ; geométrica $\sqrt{16} = 4$ ; aritmética $5$ ; quadrática $\sqrt{34} \approx 5.83$ : cada média se curva diante da seguinte.

15. Tangente a $\frac1x$ em $1$ : valor $1$ , coeficiente angular $-1$ : $y = 2 - x$ . Curvas convexas ficam acima de suas tangentes (Teorema 22.12): $\frac1x \geq 2 - x$ para todo $x > 0$ , com igualdade exatamente no ponto de contato $x = 1$ .

16. Na inflexão, o número diário de casos (a derivada) atinge o pico: o crescimento deixa de acelerar e começa a desacelerar — o primeiro sinal matemático de que a onda está virando, muito antes de os próprios números caírem. Antes dela, $f'' > 0$ (cada dia pior que o anterior); depois dela, $f'' < 0$ (ainda crescendo, mas mais devagar).

17. $S'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$ dá $r^3 = \frac{V}{2\pi} = \frac{330}{2\pi}$ : $r \approx 3.74$ cm, e $h = \frac{330}{\pi r^2} \approx 7.49$ cm.

18. $h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$ no ótimo: a altura é igual ao diâmetro, qualquer que seja o volume.

19. $S''(r) = 4\pi + \frac{4V}{r^3} > 0$ : convexa, de modo que o raio crítico é o mínimo global. As latas reais são mais altas para a pegada, o empilhamento, a presença na prateleira e o metal mais grosso do topo e do fundo — a otimização sempre minimiza exatamente o que se escreveu, e não o que se quis dizer.

20. Salva-vidas: modelar $T(x)$ , derivar, Snell, convexidade, um segundo economizado. Lata: modelar $S(r)$ , derivar, $h = 2r$ , convexidade, metal economizado. Viga (Problema 12.1): modelar $S(w)$ , derivar, $d = w\sqrt2$ , quadro, rigidez conquistada. E, pelo princípio de Fermat, a própria luz percorre essa linha de montagem em cada superfície que encontra — a natureza foi a primeira otimizadora.