Forma diferencial; integral de linha কী?

Exemplo 20.4 (Uma integral, duas parametrizações, uma armadilha de sinal)

Calcule $\int_\gamma x\,\dd y$ ao longo do semicírculo unitário superior de $(1, 0)$ a $(-1, 0)$. Com $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$, $t \in \intcc0\pi$:

Com a parametrização por gráfico $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$, $x$ indo de $1$ a $-1$ (atenção ao sentido!):

($x = \sin u$ a reduz a uma integral de Wallis). Mesmo valor, como a Proposição 20.2 garante — mas só porque os dois percursos vão de $(1,0)$ a $(-1,0)$; inverter o sentido troca o sinal. Fechar o caminho ao longo do eixo $x$ (em que $\dd y = 0$) não acrescenta nada, e o total $\frac\pi2$ é a área do semidisco: a primeira instância das fórmulas de área pelo bordo de Green–Riemann abaixo.