विश्वविद्यालय रसायन विज्ञान — वर्ष 1 · Bachelor Year 1

1क्वांटम संख्याएँ और इलेक्ट्रॉनिक विन्यास

काँच की एक नली में कम दाब पर हाइड्रोजन भरिए, उसमें से विद्युत विसर्जन गुज़ारिए और गुलाबी चमक को प्रिज़्म से देखिए। प्रकाश इंद्रधनुष की तरह नहीं फैलता। वह चार तीखी रेखाओं में बँट जाता है — एक लाल, एक नीली-हरी, दो बैंगनी — और उनके बीच कुछ नहीं। गर्म ठोस हर तरंगदैर्घ्य पर चमकता है; हाइड्रोजन परमाणु केवल गिनी-चुनी तरंगदैर्घ्यों का उत्सर्जन करता है। इसकी व्याख्या, जो 1913 और 1926 के बीच मिली, यह है कि परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा कोई भी मान नहीं ले सकती: वह क्वांटित होती है। यह अध्याय इस क्वांटमीकरण के नियम उसी रूप में देता है जिसमें रसायनज्ञ उनका उपयोग करता है — चार क्वांटम संख्याएँ, भरने के तीन नियम — और उनसे हर परमाणु और आयन का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास निकालता है, जो अगले अध्याय की आवर्त सारणी की कुंजी है।

पहले से ज्ञात

पुस्तक 1 (कक्षा 10) ने पहले बीस तत्वों के इलेक्ट्रॉनों को कोशों और उपकोशों 1s, 2s, 2p, 3s, 3p में रखा था, और सबसे बाहरी कोश के इलेक्ट्रॉनों को संयोजकता इलेक्ट्रॉन कहा था। भौतिकी से हम ज्ञात मानकर यह लेते हैं कि तरंगदैर्घ्य $\lambda$ का प्रकाश ऊर्जा $E = h\nu = hc/\lambda$ वाले फ़ोटॉनों से बना होता है, जहाँ $h$ प्लांक स्थिरांक है और $c$ प्रकाश की चाल।

कम दाब वाले सोडियम स्ट्रीट लैंप। उनका प्रकाश लगभग एक ही नारंगी-पीली रेखा है: हाइड्रोजन की तरह, उत्तेजित सोडियम परमाणु भी केवल कुछ निश्चित ऊर्जाओं वाले फ़ोटॉन उत्सर्जित करता है।

1.1 क्वांटित ऊर्जाएँ: हाइड्रोजन का स्पेक्ट्रम

परिभाषा 1.1 (ऊर्जा स्तर, मूल अवस्था, उत्तेजित अवस्था)

परमाणु में बंधे इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा केवल कुछ निश्चित मान ले सकती है, जो परमाणु के ऊर्जा स्तर कहलाते हैं। ऊर्जा का शून्य तब लिया जाता है जब इलेक्ट्रॉन नाभिक से अनंत दूरी पर विरामावस्था में हो (परमाणु आयनित हो), इसलिए बंधे इलेक्ट्रॉन का हर स्तर ऋणात्मक होता है। सबसे निचला स्तर मूल अवस्था है; बाक़ी हर स्तर एक उत्तेजित अवस्था है।

परमाणु ऊर्जा $E_{\text{उच्च}}$ वाले स्तर से निचले स्तर $E_{\text{निम्न}}$ पर एक फ़ोटॉन उत्सर्जित करके जाता है, और निचले से ऊँचे स्तर पर एक फ़ोटॉन अवशोषित करके, जिसकी ऊर्जा है

h\nu = \frac{hc}{\lambda} = E_{\text{उच्च}} - E_{\text{निम्न}} .

अतः रेखाओं का स्पेक्ट्रम स्तरों के बीच के अंतरों का चित्र है।

प्रमेय 1.2 (हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर)

हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तर हैं

E_n = -\frac{E_R}{n^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots, \qquad E_R = 13.6\,\mathrm{eV},

जहाँ $E_R$ रिडबर्ग ऊर्जा है (नाभिक की गति के लिए संशोधित)। मूल अवस्था $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ है और परमाणु की आयनन ऊर्जा $E_R$ है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 1.3 (सूत्र कहाँ से आता है)

यह सूत्र प्रोटॉन के क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन का श्रोडिंगर समीकरण हल करने से निकलता है; वह हल, और उससे मिलने वाले तरंग-फलनों की आकृतियाँ, द्वितीय वर्ष के खंड में व्युत्पन्न की गई हैं। नील्स बोर ने यही स्तर 1913 में वृत्तीय कक्षाओं के एक सरल मॉडल से प्राप्त किए थे, जिसे अब छोड़ दिया गया है।

प्रतिज्ञप्ति 1.4 (रिडबर्ग सूत्र)

हाइड्रोजन द्वारा उत्सर्जित रेखाओं की तरंगदैर्घ्य ये हैं:

\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), \qquad n_2 > n_1 \ge 1, \qquad R_H = \frac{E_R}{hc},

जो स्तर $n_2$ से नीचे स्तर $n_1$ पर संक्रमण के लिए हैं। एक ही स्तर $n_1$ पर समाप्त होने वाली रेखाएँ एक श्रेणी बनाती हैं: लाइमन, $n_1 = 1$ के लिए (पराबैंगनी), बामर, $n_1 = 2$ के लिए (दृश्य), पाशन, $n_1 = 3$ के लिए (अवरक्त)।

उपपत्ति. फ़ोटॉन परमाणु द्वारा खोई गई ऊर्जा ले जाता है: $hc/\lambda = E_{n_2} - E_{n_1} = -E_R/n_2^2 + E_R/n_1^2 = E_R\,(1/n_1^2 - 1/n_2^2)$ । $hc$ से भाग देने पर सूत्र मिलता है। ∎

उदाहरण 1.5 (हाइड्रोजन की लाल रेखा)

संक्रमण $3 \to 2$ के लिए: $\Delta E = 13.6\,(1/4 - 1/9) = 1.89\,\mathrm{eV}$ । $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ लेकर ( $h$ , $c$ और $e$ के मानों से), $\lambda = 1240/1.89 = 656\,\mathrm{nm}$ : यही लाल रेखा है। बामर की अन्य रेखाएँ, $4 \to 2$ , $5 \to 2$ , $6 \to 2$ , क्रमशः 486, 434 और $410\,\mathrm{nm}$ पर पड़ती हैं; अगली रेखा, $7 \to 2$ , $397\,\mathrm{nm}$ पर, पहले ही पराबैंगनी में है। मापी गई तरंगदैर्घ्य, 656.3, 486.1, 434.0 और $410.2\,\mathrm{nm}$ , दो हज़ार में एक भाग से भी बेहतर मेल खाती हैं; बचा हुआ छोटा अंतर निर्वात के बजाय वायु में मापने से आता है।

हाइड्रोजन के ऊर्जा स्तर, E_n = -13.6\, eV/n2, पैमाने के अनुसार (रिडबर्ग स्थिरांक से परिकलित); स्तर n = 4, 5, … शून्य के ठीक नीचे सिमट जाते हैं। हर तीर एक उत्सर्जित फ़ोटॉन है; एक ही स्तर पर समाप्त होने वाले तीर एक श्रेणी बनाते हैं। — हाइड्रोजन के ऊर्जा स्तर, $E_n = -13.6\,\mathrm{eV}/n^2$ , पैमाने के अनुसार (रिडबर्ग स्थिरांक से परिकलित); स्तर $n = 4, 5, \dots$ शून्य के ठीक नीचे सिमट जाते हैं। हर तीर एक उत्सर्जित फ़ोटॉन है; एक ही स्तर पर समाप्त होने वाले तीर एक श्रेणी बनाते हैं।

रिडबर्ग सूत्र से परिकलित बामर रेखाएँ (निर्वात तरंगदैर्घ्य), दृश्य पट्टी पर। आगे की रेखाएँ पराबैंगनी में 364.7\, nm पर स्थित श्रेणी-सीमा की ओर सिमटती जाती हैं। — रिडबर्ग सूत्र से परिकलित बामर रेखाएँ (निर्वात तरंगदैर्घ्य), दृश्य पट्टी पर। आगे की रेखाएँ पराबैंगनी में $364.7\,\mathrm{nm}$ पर स्थित श्रेणी-सीमा की ओर सिमटती जाती हैं।

इतिहास — बोर का परमाणु, 1913

1913 में मैनचेस्टर में काम कर रहे 28 वर्षीय डेनिश भौतिकविद् नील्स बोर ने प्रस्ताव रखा कि हाइड्रोजन का इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर केवल कुछ निश्चित कक्षाओं में घूम सकता है, और प्रकाश तब उत्सर्जित होता है जब वह एक कक्षा से निचली कक्षा में कूदता है। उनके मॉडल ने बामर रेखाएँ ठीक-ठीक दीं, और $h$ , $e$ तथा इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान से रिडबर्ग स्थिरांक का मान भी। कक्षाएँ 1925–1926 की क्वांटम यांत्रिकी के आगे टिक नहीं पाईं, पर क्वांटित स्तर टिके रहे। बोर को 1922 में भौतिकी का नोबेल पुरस्कार मिला।

1.2 चार क्वांटम संख्याएँ

अनेक इलेक्ट्रॉनों वाले परमाणु में ऊर्जाएँ अब किसी एक सूत्र से नहीं मिलतीं, पर हर इलेक्ट्रॉन का वर्णन अब भी कुछ पूर्णांकों के एक छोटे समुच्चय से होता है: उसकी क्वांटम संख्याएँ।

परिभाषा 1.6 (क्वांटम संख्याएँ)

परमाणु में किसी इलेक्ट्रॉन की अवस्था चार संख्याओं से अंकित की जाती है:

मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1, 2, 3, \dots$ , जो मुख्यतः ऊर्जा और आकार तय करती है;
दिगंशी क्वांटम संख्या (या द्वितीयक क्वांटम संख्या) $l = 0, 1, \dots, n-1$ , जो आकृति तय करती है; $l = 0, 1, 2, 3$ को s, p, d, f लिखा जाता है;
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l = -l, -l+1, \dots, l$ , जो अभिविन्यास तय करती है ( $2l + 1$ मान);
चक्रण क्वांटम संख्या $m_s = +\tfrac12$ या $-\tfrac12$ , इलेक्ट्रॉन का एक आंतरिक गुण, जिसे ऊपर या नीचे की ओर तीर से दिखाया जाता है।

परिभाषा 1.7 (परमाण्वीय कक्षक, कोश, उपकोश)

परमाण्वीय कक्षक तीन संख्याओं $(n, l, m_l)$ से अंकित एक-इलेक्ट्रॉन अवस्था है; इसे एक खाने के रूप में बनाया जाता है, । समान $n$ वाले कक्षक एक इलेक्ट्रॉन कोश बनाते हैं; समान $n$ और $l$ वाले कक्षक एक उपकोश बनाते हैं, जिसका नाम $n$ और $l$ के अक्षर से रखा जाता है: 2p वह उपकोश है जिसमें $n = 2$ , $l = 1$ , और जो तीन कक्षकों ( $m_l = -1, 0, 1$ ) से बना है।

टिप्पणी 1.8 (आकृतियाँ)

s कक्षक गोलीय होता है; p कक्षक की एक अक्ष के अनुदिश दो पालियाँ होती हैं, और तीनों 2p कक्षक $x$ , $y$ और $z$ की दिशाओं में होते हैं। इन आकृतियों का गणितीय वर्णन — तरंग-फलन, उनके त्रिज्य और कोणीय भाग, उनके नोड — द्वितीय वर्ष के खंड का विषय है। इस पुस्तक में कक्षक एक खाना है जिसमें अधिक-से-अधिक दो इलेक्ट्रॉन रह सकते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 1.9 (उपकोश और कोश की धारिता)

दिगंशी संख्या $l$ वाले उपकोश में $2l + 1$ कक्षक होते हैं और उसमें $2(2l + 1)$ इलेक्ट्रॉन आ सकते हैं: s में 2, p में 6, d में 10, f में 14। कोश $n$ में $n^2$ कक्षक होते हैं और उसमें $2n^2$ इलेक्ट्रॉन आ सकते हैं।

उपपत्ति. किसी दिए गए $l$ के लिए $m_l$ वे $2l + 1$ मान लेता है जो $-l$ से $l$ तक हैं, और हर कक्षक में विपरीत चक्रण वाले दो इलेक्ट्रॉन रहते हैं (आगे प्रतिज्ञप्ति 1.12)। किसी दिए गए $n$ के लिए $l$ , $0$ से $n - 1$ तक जाता है, इसलिए कक्षकों की संख्या है

\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) = 2\,\frac{(n-1)n}{2} + n = n^2 ,

और इलेक्ट्रॉनों की संख्या $2n^2$ है: $n = 1$ से 4 के लिए 2, 8, 18, 32। ∎

उदाहरण 1.10 (तीसरा कोश)

$n = 3$ के लिए: $l = 0$ (3s, एक कक्षक), $l = 1$ (3p, तीन कक्षक), $l = 2$ (3d, पाँच कक्षक, $m_l = -2, \dots, 2$ ): कुल नौ कक्षक और अधिकतम 18 इलेक्ट्रॉन। 3d के किसी इलेक्ट्रॉन की क्वांटम संख्याएँ, उदाहरण के लिए, $(3, 2, -1, +\tfrac12)$ हो सकती हैं।

1.3 विन्यास बनाना

परिभाषा 1.11 (इलेक्ट्रॉनिक विन्यास)

किसी परमाणु या आयन का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास उसके भरे हुए उपकोशों की सूची है, हर उपकोश के इलेक्ट्रॉनों की संख्या घातांक के रूप में लिखी हुई: ऑक्सीजन के लिए $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^4$ । सबसे बड़े $n$ वाले इलेक्ट्रॉन, अपूर्ण भरे d या f उपकोश के इलेक्ट्रॉनों के साथ, संयोजकता इलेक्ट्रॉन हैं; शेष क्रोड इलेक्ट्रॉन हैं। विन्यास को संक्षेप में लिखने के लिए पिछली उत्कृष्ट गैस का विन्यास कोष्ठक में लिखा जाता है: ऑक्सीजन $[\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^4$ है।

तीन नियम मूल अवस्था का विन्यास देते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 1.12 (पाउली अपवर्जन सिद्धांत)

एक ही परमाणु के दो इलेक्ट्रॉनों की चारों क्वांटम संख्याएँ कभी समान नहीं होतीं। अतः एक कक्षक में अधिक-से-अधिक दो इलेक्ट्रॉन रहते हैं, और तब विपरीत चक्रणों के साथ: ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

प्रतिज्ञप्ति 1.13 (क्लेचकोव्स्की नियम)

किसी उदासीन परमाणु की मूल अवस्था में उपकोश $n + l$ के बढ़ते क्रम में भरे जाते हैं, और समान $n + l$ होने पर $n$ के बढ़ते क्रम में:

1\text{s},\ 2\text{s},\ 2\text{p},\ 3\text{s},\ 3\text{p},\ 4\text{s},\ 3\text{d},\ 4\text{p},\ 5\text{s},\ 4\text{d},\ 5\text{p},\ 6\text{s},\ 4\text{f},\ 5\text{d},\ 6\text{p},\ 7\text{s},\ 5\text{f},\ 6\text{d},\ 7\text{p}.

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 1.14 (एक आनुभविक नियम)

क्लेचकोव्स्की नियम (जिसे मडेलुंग नियम भी कहते हैं) प्रेक्षित विन्यासों का सारांश है, कोई मूलभूत नियम नहीं: यह बताता है कि नाभिकीय आवेश बढ़ने के साथ उपकोश किस क्रम में भरते हैं। अनेक इलेक्ट्रॉनों वाले परमाणु में इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं, इसलिए किसी उपकोश की ऊर्जा $l$ पर भी निर्भर करती है, केवल $n$ पर नहीं: 4s इलेक्ट्रॉन, जो अपना कुछ समय नाभिक के पास बिताता है, पोटैशियम और कैल्सियम में 3d से नीचे आ जाता है।

क्लेचकोव्स्की आरेख। समान n + l वाले उपकोश एक ही विकर्ण पर होते हैं; विकर्णों का क्रम से अनुसरण करने पर भरने का क्रम मिलता है: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, … — क्लेचकोव्स्की आरेख। समान $n + l$ वाले उपकोश एक ही विकर्ण पर होते हैं; विकर्णों का क्रम से अनुसरण करने पर भरने का क्रम मिलता है: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, …

प्रतिज्ञप्ति 1.15 (हुंड का नियम)

जब किसी उपकोश के इलेक्ट्रॉन समान ऊर्जा वाले कई कक्षकों में रखे जा सकते हैं, तब मूल अवस्था में समांतर चक्रणों की संख्या अधिकतम होती है: कोई भी कक्षक दोहरा भरने से पहले इलेक्ट्रॉन अलग-अलग कक्षकों में, ऊपर की ओर चक्रण के साथ, बैठते हैं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

परिभाषा 1.16 (अयुग्मित इलेक्ट्रॉन)

अयुग्मित इलेक्ट्रॉन वह इलेक्ट्रॉन है जो अपने कक्षक में अकेला हो। अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों वाली स्पीशीज़ चुंबक की ओर आकर्षित होती है (वह अनुचुंबकीय होती है, एक गुण जिसका अध्ययन भौतिकी में होता है)।

विधि 1.17 (मूल अवस्था का विन्यास लिखना)

परमाणु क्रमांक $Z$ वाले परमाणु का विन्यास लिखने के लिए:

$Z$ इलेक्ट्रॉनों को क्लेचकोव्स्की क्रम में उपकोशों में रखिए, अगले उपकोश से पहले हर उपकोश (2, 6, 10, 14) को भरते हुए;
परिणाम को $n$ के बढ़ते क्रम में लिखिए (3d को $n = 3$ के साथ रखते हुए), और पिछली उत्कृष्ट गैस के क्रोड से संक्षेप कीजिए;
अंतिम, अपूर्ण भरे उपकोश के खाने बनाइए और अयुग्मित इलेक्ट्रॉन गिनने के लिए हुंड का नियम लगाइए।

उदाहरण 1.18 (कार्बन, नाइट्रोजन, ऑक्सीजन, आयरन)

चार परमाणुओं के लिए यह विधि देती है:

परमाणु	विन्यास	अंतिम उपकोश	अयुग्मित
$\ce{C}$ ( $Z = 6$ )	$[\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^2$	2p:	2
$\ce{N}$ ( $Z = 7$ )	$[\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^3$	2p:	3
$\ce{O}$ ( $Z = 8$ )	$[\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^4$	2p:	2
$\ce{Fe}$ ( $Z = 26$ )	$[\ce{Ar}]\,3\text{d}^6 4\text{s}^2$	3d:	4

आयरन के लिए क्लेचकोव्स्की क्रम 4s ( $Z = 19, 20$ ) को 3d ( $Z = 21$ से 30) से पहले भरता है; पर विन्यास 3d को पहले रखकर लिखा जाता है।

क्वांटम खाने। हर खाना एक कक्षक है; हर तीर एक इलेक्ट्रॉन और उसका चक्रण है। नाइट्रोजन हुंड के नियम का पालन करता है; क्रोमियम के अपवादों में से एक है। — क्वांटम खाने। हर खाना एक कक्षक है; हर तीर एक इलेक्ट्रॉन और उसका चक्रण है। नाइट्रोजन हुंड के नियम का पालन करता है; क्रोमियम प्रतिज्ञप्ति 1.21 के अपवादों में से एक है।

1.4 आयन, अपवाद और सारणी की आकृति

प्रतिज्ञप्ति 1.19 (आयनों के विन्यास)

एकपरमाणुक ऋणायन का विन्यास परमाणु का विन्यास है जिसमें अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन क्लेचकोव्स्की क्रम के अगले स्थानों में जोड़े जाते हैं; मुख्य समूह के तत्व का धनायन सबसे बड़े $n$ वाले इलेक्ट्रॉन खोता है। संक्रमण धातु का धनायन अपने $n$ s इलेक्ट्रॉन अपने $(n-1)$ d इलेक्ट्रॉनों से पहले खोता है: $\ce{Fe^{2+}}$ का विन्यास $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^6$ है और $\ce{Fe^{3+}}$ का $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^5$ , न कि $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^4 4\text{s}^2$ ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 1.20 (भरने का क्रम हटाने का क्रम नहीं है)

पोटैशियम और कैल्सियम में 4s, 3d से पहले भरता है, फिर भी संक्रमण धातुओं के आयनों में वही पहले ख़ाली होता है। इसमें कोई विरोधाभास नहीं: उपकोशों की ऊर्जाओं का क्रम नाभिकीय आवेश और इलेक्ट्रॉनों की संख्या के साथ बदलता है, और संक्रमण धातु के परमाणु या आयन में 3d उपकोश 4s से नीचे होता है। क्लेचकोव्स्की नियम केवल उदासीन परमाणुओं का वर्णन करता है।

प्रतिज्ञप्ति 1.21 (प्रथम संक्रमण श्रेणी के दो अपवाद)

क्रोमियम और कॉपर के प्रेक्षित मूल अवस्था विन्यास हैं

\ce{Cr}: [\ce{Ar}]\,3\text{d}^5 4\text{s}^1, \qquad \ce{Cu}: [\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^1 ,

न कि क्लेचकोव्स्की नियम द्वारा अनुमानित $3\text{d}^4 4\text{s}^2$ और $3\text{d}^9 4\text{s}^2$ : आधा भरा या पूरा भरा d उपकोश विशेष रूप से स्थायी होता है, और 4s तथा 3d स्तर पास-पास हैं।

उदाहरण 1.22 (कॉपर और उसके आयन)

$\ce{Cu}$ का विन्यास $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^1$ है; $\ce{Cu+}$ का $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10}$ , बिना किसी अयुग्मित इलेक्ट्रॉन के; $\ce{Cu^{2+}}$ का $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^9$ , एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन के साथ। $\ce{Zn^{2+}}$ , $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10}$ , में कोई नहीं।

प्रतिज्ञप्ति 1.23 (विन्यास और आवर्त सारणी)

आवर्त सारणी का आवर्त $n$ , $n$ s के भरने से शुरू होता है और $n$ p के भरने पर समाप्त होता है। बीच में भरने वाले उपकोश, क्लेचकोव्स्की नियम के अनुसार, $(n-2)$ f और $(n-1)$ d हैं। अतः आवर्तों में क्रमशः $2, 8, 8, 18, 18, 32, 32$ तत्व होते हैं, और उत्कृष्ट गैसों के लिए $Z = 2, 10, 18, 36, 54, 86, 118$ ।

उपपत्ति. आवर्त 1 से 3 में केवल $n$ s (और $n$ p, जब $n \ge 2$ ) होते हैं: $2$ , फिर दो बार $2 + 6 = 8$ । आवर्त 4 और 5 में $(n-1)$ d जुड़ता है: $2 + 10 + 6 = 18$ । आवर्त 6 और 7 में $(n-2)$ f भी: $2 + 14 + 10 + 6 = 32$ । उत्कृष्ट गैसें हर आवर्त को बंद करती हैं: $2$ , $2 + 8 = 10$ , $18$ , $18 + 18 = 36$ , $54$ , $54 + 32 = 86$ , $118$ । ∎

आवर्त सारणी, भरे जा रहे अंतिम उपकोश के अनुसार रंगी हुई: s, p, d और f ब्लॉक। हर ब्लॉक की चौड़ाई उसके उपकोश की धारिता है: 2, 6, 10 और 14।

1.5 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

इनमें से कौन-से समुच्चय $(n, l, m_l, m_s)$ परमाणु के किसी इलेक्ट्रॉन का वर्णन कर सकते हैं? हर अस्वीकृति का कारण बताइए। (a) $(2, 2, 0, +\tfrac12)$ ; (b) $(3, 1, -1, -\tfrac12)$ ; (c) $(1, 0, 0, 0)$ ; (d) $(4, 3, -3, +\tfrac12)$ ; (e) $(3, 0, 1, -\tfrac12)$ ।

हल

हल — अभ्यास 1.1.

(a) असंभव: $l \le n - 1 = 1$ । (b) संभव (एक 3p इलेक्ट्रॉन)। (c) असंभव: $m_s = \pm\tfrac12$ । (d) संभव (एक 4f इलेक्ट्रॉन)। (e) असंभव: $l = 0$ के लिए $m_l$ केवल 0 हो सकता है।

अभ्यास 1.2 ★

उपकोशों 3d, 4f और 5p में, और कोश $n = 2$ में, कितने कक्षक हैं और अधिक-से-अधिक कितने इलेक्ट्रॉन?

हल

हल — अभ्यास 1.2.

3d: 5 कक्षक, 10 इलेक्ट्रॉन; 4f: 7 कक्षक, 14 इलेक्ट्रॉन; 5p: 3 कक्षक, 6 इलेक्ट्रॉन; कोश $n = 2$ : $n^2 = 4$ कक्षक, $2n^2 = 8$ इलेक्ट्रॉन।

अभ्यास 1.3 ★

$\ce{O}$ , $\ce{P}$ , $\ce{K}$ , $\ce{Ca}$ और $\ce{Br}$ ( $Z = 8, 15, 19, 20, 35$ ) के मूल अवस्था विन्यास पूरे और संक्षिप्त रूप में लिखिए, और हर एक के संयोजकता इलेक्ट्रॉनों की संख्या बताइए।

हल

हल — अभ्यास 1.3.

$\ce{O}$ : $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^4 = [\ce{He}]\,2\text{s}^2 2\text{p}^4$ , 6 संयोजकता इलेक्ट्रॉन। $\ce{P}$ : $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^6 3\text{s}^2 3\text{p}^3 = [\ce{Ne}]\,3\text{s}^2 3\text{p}^3$ , 5। $\ce{K}$ : $[\ce{Ar}]\,4\text{s}^1$ , 1। $\ce{Ca}$ : $[\ce{Ar}]\,4\text{s}^2$ , 2। $\ce{Br}$ : $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^2 4\text{p}^5$ , 7 (भरा हुआ 3d क्रोड का भाग है)।

अभ्यास 1.4 ★

नाइट्रोजन, सल्फ़र और क्लोरीन के संयोजकता उपकोशों के क्वांटम खाने बनाइए, और उनके अयुग्मित इलेक्ट्रॉन गिनिए।

हल

हल — अभ्यास 1.4.

$\ce{N}$ , 2p: , 3 अयुग्मित। $\ce{S}$ , 3p: , 2 अयुग्मित। $\ce{Cl}$ , 3p: , 1 अयुग्मित। हर स्थिति में 2s या 3s पूरा भरा है, ।

अभ्यास 1.5 ★★

$\ce{Na+}$ , $\ce{Mg^{2+}}$ , $\ce{Al^{3+}}$ , $\ce{F-}$ , $\ce{O^{2-}}$ , $\ce{Cl-}$ , $\ce{S^{2-}}$ और $\ce{Ca^{2+}}$ के विन्यास बताइए। हर एक किस उत्कृष्ट गैस का समइलेक्ट्रॉनी है?

हल

हल — अभ्यास 1.5.

$\ce{Na+}$ , $\ce{Mg^{2+}}$ , $\ce{Al^{3+}}$ , $\ce{F-}$ , $\ce{O^{2-}}$ : $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^6$ , नियॉन के समइलेक्ट्रॉनी। $\ce{Cl-}$ , $\ce{S^{2-}}$ , $\ce{Ca^{2+}}$ : $[\ce{Ne}]\,3\text{s}^2 3\text{p}^6$ , आर्गन के समइलेक्ट्रॉनी।

अभ्यास 1.6 ★★

$\ce{Ti^{2+}}$ , $\ce{Mn^{2+}}$ , $\ce{Co^{2+}}$ , $\ce{Ni^{2+}}$ और $\ce{Zn^{2+}}$ ( $Z = 22, 25, 27, 28, 30$ ) के विन्यास लिखिए और हर एक के अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या बताइए।

हल

हल — अभ्यास 1.6.

4s इलेक्ट्रॉन पहले निकलते हैं (प्रतिज्ञप्ति 1.19)। $\ce{Ti^{2+}}$ के लिए $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^2$ , 2 अयुग्मित; $\ce{Mn^{2+}}$ के लिए $3\text{d}^5$ , 5; $\ce{Co^{2+}}$ के लिए $3\text{d}^7$ , 3 (); $\ce{Ni^{2+}}$ के लिए $3\text{d}^8$ , 2; $\ce{Zn^{2+}}$ के लिए $3\text{d}^{10}$ , 0।

अभ्यास 1.7 ★★

हाइड्रोजन के संक्रमण $4 \to 3$ में उत्सर्जित फ़ोटॉन की ऊर्जा और तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए। यह स्पेक्ट्रम के किस भाग में है? $E_R = 13.6\,\mathrm{eV}$ और $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ लीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.7.

$\Delta E = 13.6\,(1/9 - 1/16) = 13.6 \times 7/144 = 0.661\,\mathrm{eV}$ ; $\lambda = 1240/0.661 = 1876\,\mathrm{nm} \approx 1.88\,\text{µ}\mathrm{m}$ : अवरक्त (पाशन श्रेणी की पहली रेखा)।

अभ्यास 1.8 ★★

उन तत्वों को पहचानिए जिनके मूल अवस्था विन्यास इन पर समाप्त होते हैं: (a) $3\text{s}^2 3\text{p}^4$ ; (b) $4\text{s}^2 3\text{d}^{10} 4\text{p}^5$ ; (c) $5\text{s}^1$ ; (d) $4\text{s}^2 3\text{d}^3$ । (a) के अंतिम उपकोश के एक इलेक्ट्रॉन की चारों क्वांटम संख्याएँ बताइए।

हल

हल — अभ्यास 1.8.

(a) $[\ce{Ne}]\,3\text{s}^2 3\text{p}^4$ : सल्फ़र, $Z = 16$ । (b) $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^2 4\text{p}^5$ : ब्रोमीन, $Z = 35$ । (c) $[\ce{Kr}]\,5\text{s}^1$ : रुबिडियम, $Z = 37$ । (d) $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^3 4\text{s}^2$ : वैनेडियम, $Z = 23$ । सल्फ़र का एक 3p इलेक्ट्रॉन: उदाहरण के लिए $(3, 1, -1, +\tfrac12)$ ।

अभ्यास 1.9 ★★

क्लेचकोव्स्की नियम की सहायता से समझाइए कि पोटैशियम का उन्नीसवाँ इलेक्ट्रॉन 3d में नहीं बल्कि 4s में क्यों जाता है, और आवर्त 3 में 18 नहीं बल्कि 8 तत्व क्यों होते हैं।

हल

हल — अभ्यास 1.9.

4s के लिए $n + l = 4 + 0 = 4$ ; 3d के लिए $n + l = 3 + 2 = 5$ : 4s पहले आता है। 3p ( $n + l = 4$ ) के बाद अगला उपकोश 4s है ( $n + l = 4$ , बड़ा $n$ ), जो आवर्त 4 को खोलता है; 3d ( $n + l = 5$ ) 4s के बाद ही आता है। इसलिए आवर्त 3 में केवल 3s और 3p होते हैं: $2 + 6 = 8$ तत्व।

अभ्यास 1.10 ★★★

एक ही इलेक्ट्रॉन और आवेश $Ze$ वाले नाभिक से बने आयन के स्तर $E_n = -Z^2 E_R/n^2$ हैं (स्वीकृत)। $\ce{He+}$ ( $Z = 2$ ) के लिए आयनन ऊर्जा और संक्रमण $2 \to 1$ की तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए। हाइड्रोजन से तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.10.

आयनन ऊर्जा $Z^2E_R = 4 \times 13.6 = 54.4\,\mathrm{eV}$ , हाइड्रोजन की चार गुनी। $2 \to 1$ : $\Delta E = 54.4\,(1 - 1/4) = 40.8\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/40.8 = 30.4\,\mathrm{nm}$ , $121.6\,\mathrm{nm}$ वाली हाइड्रोजन रेखा से चार गुनी छोटी: हर ऊर्जा $Z^2 = 4$ से गुणा हो जाती है।

अभ्यास 1.11 ★★★

बताइए कि हर विन्यास मूल अवस्था है, उत्तेजित अवस्था है या असंभव, और क्यों: (a) $1\text{s}^2 2\text{s}^1 2\text{p}^1$ ; (b) $1\text{s}^2 2\text{s}^2 2\text{p}^7$ ; (c) $1\text{s}^2 2\text{p}^2$ ; (d) $[\ce{Ne}]\,3\text{s}^2 3\text{p}^3$ ; (e) $1\text{s}^3$ ।

हल

हल — अभ्यास 1.11.

(a) बेरिलियम की उत्तेजित अवस्था (मूल अवस्था $1\text{s}^2 2\text{s}^2$ )। (b) असंभव: 2p में अधिक-से-अधिक 6 इलेक्ट्रॉन आते हैं। (c) बेरिलियम की उत्तेजित अवस्था। (d) फ़ॉस्फ़ोरस की मूल अवस्था। (e) असंभव: s उपकोश में दो ही इलेक्ट्रॉन आते हैं (पाउली)।

अभ्यास 1.12 ★★★

आयरन(III) के लवण आयरन(II) के लवणों से अधिक प्रबलता से चुंबक की ओर आकर्षित होते हैं, और ज़िंक के लवण बिल्कुल नहीं। $\ce{Fe^{2+}}$ , $\ce{Fe^{3+}}$ , $\ce{Mn^{2+}}$ , $\ce{Cu^{2+}}$ और $\ce{Zn^{2+}}$ को अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या के क्रम में रखिए, और यह मानकर कि आकर्षण उस संख्या के साथ बढ़ता है, प्रेक्षण की व्याख्या कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.12.

$\ce{Fe^{3+}}$ $3\text{d}^5$ : 5; $\ce{Mn^{2+}}$ $3\text{d}^5$ : 5; $\ce{Fe^{2+}}$ $3\text{d}^6$ : 4; $\ce{Cu^{2+}}$ $3\text{d}^9$ : 1; $\ce{Zn^{2+}}$ $3\text{d}^{10}$ : 0। क्रम: $\ce{Fe^{3+}} = \ce{Mn^{2+}} > \ce{Fe^{2+}} > \ce{Cu^{2+}} > \ce{Zn^{2+}}$ । आयरन(III) में आयरन(II) से एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन अधिक है, इसलिए वह अधिक आकर्षित होता है; ज़िंक(II) में कोई नहीं, इसलिए वह आकर्षित नहीं होता।

1.6 समस्या: एक लैंप की रेखाएँ, और तीन चक्रणों वाला एक संसार

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — हाइड्रोजन लैंप की चार रेखाओं से आवर्तों की लंबाई तक, और यह कि यदि इलेक्ट्रॉन की तीन चक्रण अवस्थाएँ होतीं तो सारणी कैसी दिखती

पूरी समस्या में $E_R = 13.6\,\mathrm{eV}$ और $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ लीजिए। दृश्य पट्टी लगभग 400 से $700\,\mathrm{nm}$ तक फैली है।

भाग I — हाइड्रोजन लैंप।

हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जाएँ $E_1$ से $E_4$ तक परिकलित कीजिए।
संक्रमण $3 \to 2$ में उत्सर्जित फ़ोटॉन की ऊर्जा और तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए। उसका रंग क्या है?
संक्रमणों $4 \to 2$ , $5 \to 2$ और $6 \to 2$ की तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए।
हाइड्रोजन लैंप ठीक चार दृश्य रेखाएँ क्यों दिखाता है? उत्तर के समर्थन में $7 \to 2$ की तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए।
बामर श्रेणी की श्रेणी-सीमा परिकलित कीजिए।
लाइमन की पहली रेखा, $2 \to 1$ , की तरंगदैर्घ्य परिकलित कीजिए। वह दिखाई क्यों नहीं दे सकती?
मूल अवस्था वाले हाइड्रोजन परमाणु को आयनित कर सकने वाले फ़ोटॉन की अधिकतम तरंगदैर्घ्य क्या है?

भाग II — अवस्थाओं की गिनती।

$l$ और $m_l$ के वे मान सूचीबद्ध कीजिए जो $n = 3$ के लिए संभव हैं; कोश में कितने कक्षक हैं?
दिखाइए कि कोश $n$ में $2n^2$ इलेक्ट्रॉन आते हैं; $n = 4$ पर लागू कीजिए।
7p तक क्लेचकोव्स्की क्रम लिखिए।
सातों आवर्तों की लंबाइयाँ निकालिए।
समझाइए कि 3d उपकोश आवर्त 3 में क्यों नहीं आता।
उत्कृष्ट गैसों के परमाणु क्रमांक निकालिए।

भाग III — संक्रमण धातुएँ।

आयरन ( $Z = 26$ ) का विन्यास लिखिए और उसके 3d खाने बनाइए। कितने अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं?
यही प्रश्न $\ce{Fe^{2+}}$ और $\ce{Fe^{3+}}$ के लिए। दोनों में से किसका उपकोश आधा भरा है?
क्रोमियम का प्रेक्षित विन्यास $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^5 4\text{s}^1$ है। अनुमानित विन्यास से इसकी तुलना कीजिए, और हर एक में अयुग्मित इलेक्ट्रॉन गिनिए।
$\ce{Cu}$ , $\ce{Cu+}$ और $\ce{Cu^{2+}}$ के विन्यास बताइए।
$\ce{Cu+}$ और $\ce{Cu^{2+}}$ में से किसमें अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं?
$\ce{Sc^{3+}}$ , $\ce{Ti^{3+}}$ , $\ce{Mn^{2+}}$ ( $Z = 21, 22, 25$ ) में से किसमें सबसे अधिक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन हैं?

भाग IV — तीन चक्रणों वाला संसार। एक ऐसे ब्रह्मांड की कल्पना कीजिए जहाँ $n$ , $l$ और $m_l$ हमारे ब्रह्मांड जैसे ही नियमों का पालन करते हैं, क्लेचकोव्स्की क्रम नहीं बदलता, अपवर्जन सिद्धांत लागू है, पर चक्रण संख्या $m_s$ तीन मान ले सकती है।

एक कक्षक में कितने इलेक्ट्रॉन आ सकते हैं? संख्या $l$ वाले उपकोश में? कोश $n$ में?
1s, 2s, 2p, 3s और 3p की धारिताएँ बताइए।
उत्कृष्ट गैस एक भरे हुए p उपकोश (पहली के लिए 1s) से आवर्त बंद करती है। पहली उत्कृष्ट गैस का परमाणु क्रमांक क्या है?
कौन-सा परमाणु क्रमांक, पहली उत्कृष्ट गैस के बाद केवल एक इलेक्ट्रॉन के साथ, क्षार धातु जैसा व्यवहार करेगा?
दूसरे आवर्त में कितने तत्व होंगे?
इस संसार की दूसरी उत्कृष्ट गैस का परमाणु क्रमांक परिकलित कीजिए।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$ , $E_2 = -3.40\,\mathrm{eV}$ , $E_3 = -1.51\,\mathrm{eV}$ , $E_4 = -0.85\,\mathrm{eV}$ । 2. $\Delta E = 3.40 - 1.51 = 1.89\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 1240/1.89 = 656\,\mathrm{nm}$ : लाल। 3. $4 \to 2$ : $2.55\,\mathrm{eV}$ , $486\,\mathrm{nm}$ (नीला-हरा); $5 \to 2$ : $2.86\,\mathrm{eV}$ , $434\,\mathrm{nm}$ (बैंगनी); $6 \to 2$ : $3.022\,\mathrm{eV}$ , $410\,\mathrm{nm}$ (बैंगनी)। 4. $7 \to 2$ : $3.12\,\mathrm{eV}$ , $397\,\mathrm{nm}$ , पहले ही पराबैंगनी; ऊँचे संक्रमण और भी छोटे हैं, और $3 \to 2$ बामर की सबसे लंबी तरंगदैर्घ्य है। लाइमन रेखाएँ सब पराबैंगनी में हैं और पाशन रेखाएँ सब अवरक्त में, इसलिए केवल चार रेखाएँ दिखती हैं। 5. $\infty \to 2$ : $3.40\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 365\,\mathrm{nm}$ । 6. $\Delta E = 13.6 \times 3/4 = 10.2\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = 122\,\mathrm{nm}$ : सुदूर पराबैंगनी, आँख को अदृश्य और काँच तथा वायु द्वारा अवशोषित। 7. फ़ोटॉन को कम-से-कम $13.6\,\mathrm{eV}$ लाना चाहिए: $\lambda \le 1240/13.6 = 91.2\,\mathrm{nm}$ । 8. $l = 0$ ( $m_l = 0$ ), $l = 1$ ( $m_l = -1, 0, 1$ ), $l = 2$ ( $m_l = -2, \dots, 2$ ): $1 + 3 + 5 = 9$ कक्षक। 9. $\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1) = n^2$ कक्षक, हर एक में दो इलेक्ट्रॉन: $2n^2$ ; $n = 4$ के लिए 32। 10. 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s, 4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p। 11. हर आवर्त $n$ s से $n$ p तक चलता है: 2, 8, 8, 18, 18, 32, 32। 12. 3d ( $n + l = 5$ ) 4s ( $n + l = 4$ ) के बाद आता है, और 4s आवर्त 4 को खोलता है। 13. $Z = 2, 10, 18, 36, 54, 86, 118$ । 14. $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^6 4\text{s}^2$ ; 3d: , 4 अयुग्मित इलेक्ट्रॉन। 15. $\ce{Fe^{2+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^6$ : 4 अयुग्मित; $\ce{Fe^{3+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^5$ : 5 अयुग्मित, आधा भरा उपकोश। 16. अनुमानित $3\text{d}^4 4\text{s}^2$ : 4 अयुग्मित; प्रेक्षित $3\text{d}^5 4\text{s}^1$ : 6 अयुग्मित (3d में 5, 4s में 1)। 17. $\ce{Cu}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10} 4\text{s}^1$ , $\ce{Cu+}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^{10}$ , $\ce{Cu^{2+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^9$ ।

18. $\ce{Cu^{2+}}$ , एक अयुग्मित इलेक्ट्रॉन के साथ; $\ce{Cu+}$ में कोई नहीं। 19. $\ce{Sc^{3+}}$ $[\ce{Ar}]$ : 0; $\ce{Ti^{3+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^1$ : 1; $\ce{Mn^{2+}}$ $[\ce{Ar}]\,3\text{d}^5$ : 5। सबसे अधिक $\ce{Mn^{2+}}$ में हैं। 20. हर कक्षक में तीन इलेक्ट्रॉन; हर उपकोश में $3(2l + 1)$ ; हर कोश में $3n^2$ । 21. 1s: 3; 2s: 3; 2p: 9; 3s: 3; 3p: 9। 22. पहला आवर्त 1s भरने पर बंद होता है: $Z = 3$ । 23. $Z = 4$ , उत्कृष्ट क्रोड के बाद 2s में एक इलेक्ट्रॉन। 24. 2s और 2p: $3 + 9 = 12$ तत्व। 25. $3 + 12 = 15$ : तीन-चक्रण संसार की दूसरी उत्कृष्ट गैस का परमाणु क्रमांक $Z = 15$ है।

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