1الوسط بين النجمي وتكوّن النجوم

في كوكبة الثور، على بُعد نحو $140\,\mathrm{pc}$ من الشمس، تحجب بقعةٌ داكنة النجومَ التي خلفها. وحين نرصدها بمقراب راديوي مضبوط على خطوط أحادي أكسيد الكربون، يتبيّن أنها سحابة من الغاز البارد تفوق كتلتها كتلة الشمس بنحو عشرين ألف مرة، تتخللها خيوط؛ وفي أكثف عُقَدها تولد نجوم فتيّة، وحول أحدها، إتش إل الثور، يُظهر قرصٌ من الغبار نمطًا من الحلقات المضيئة والمظلمة قد تكون الكواكب آخذة في التكوّن فيه. لقد كانت الشمس والأرض وكل ذرّة في صخور هذا الكتاب يومًا في سحابة كهذه. يتتبّع هذا الفصل مادة نظام كوكبي من الغاز الرقيق بين النجوم إلى قرص حول نجم وليد: مِمّ يتكوّن الوسط بين النجمي، ولماذا تنهار سحابةٌ تسندها حرارتها الذاتية، وكم يستغرق الانهيار، وكيف يجمع النجم كتلته، ولماذا تنتهي المادة التي لا تسقط فيه إلى قرص.

ما تعرفه من قبل

يسطع النجم على النسق الرئيسي باندماج الهيدروجين إلى هيليوم في لبّه، ويصمد بضغطه أمام وزنه الذاتي؛ وموقعه في مخطط هرتزشبرونغ–راسل تحدده كتلته (الفيزياء، السنة الجامعية الثالثة). والجسم الذي يدور في مدار مغلق حول كتلة $M$ يخضع لقانون كبلر الثالث، $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ (الفيزياء، السنة الجامعية الأولى). والجسم الأسود الذي درجة حرارته $T$ يُصدر $\sigma T^4$ لكل وحدة مساحة (الفيزياء، السنة الجامعية الثانية). وفي غاز مثالي من $N$ جسيمًا يساوي متوسط الطاقة الحركية الانتقالية $\tfrac32 N k_{\mathrm B} T$. والفرسخ الفلكي، $3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$، هو وحدة المسافة في مجلد السنة الأولى.

1.1 المادة بين النجوم

ليس الفضاء بين النجوم فارغًا. فبالقرب من الشمس يحوي في المتوسط نحو ذرّة هيدروجين واحدة في كل سنتيمتر مكعب، أي كثافة كتلية قدرها $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$؛ أمّا الهواء الذي نتنفّسه فيحوي نحو $10^{19}$ ضعفًا من الجزيئات في الحجم نفسه (التمرين 1.1). وحين تتوزّع هذه المادة الرقيقة على المجرّة تبلغ مع ذلك $10\text{ ⁧إلى⁩ }15\,\%$ من كتلة قرص المجرّة.

تعريف 1.1 (الوسط بين النجمي، الغبار بين النجمي)

الوسط بين النجمي هو الغاز والغبار اللذان يملآن الفضاء بين نجوم المجرّة. والغبار بين النجمي هو جزؤه الموجود في حبيبات صلبة، يتراوح قطرها بين بضعة نانومترات ونحو ميكرومتر، مكوّنة من السيليكات ومركّبات الكربون، وفي المناطق الباردة من الجليد.

تركيبه هو التركيب المقيس في الشمس وفي النيازك: بالكتلة، $70.4\,\%$ هيدروجين و$28.1\,\%$ هيليوم و$1.5\,\%$ عناصر أثقل. ولا يوجد في الغبار سوى $0.5\text{ ⁧إلى⁩ }1\,\%$ من الكتلة، ومع ذلك يحتجز الغبار معظم بعض العناصر: فالغاز أفقر من الشمس في المغنيسيوم والسيليكون والحديد بعوامل تتراوح بين 10 و100، لأن هذه الذرّات محبوسة في الحبيبات، بينما لا يتجاوز نقص الكربون والنيتروجين والأكسجين عوامل بين 1.2 و3. والحبيبات هي أولى المواد الصلبة في نظام كوكبي مقبل؛ ويتتبّعها الفصل 2 لاحقًا.

1.1.1 خمسة أطوار

الغاز أبعد ما يكون عن التجانس. فهو يوجد في عدد قليل من الحالات المتمايزة، أو الأطوار، لكلٍّ منها مداه من درجة الحرارة والكثافة (الجدول أدناه). ونحو نصف كتلته في سحب لا تشغل إلا $1\text{ ⁧إلى⁩ }2\,\%$ من الحجم؛ والباقي، الدافئ أو الحار، يملأ الفضاء بينها.

الطور	درجة الحرارة ($\mathrm{K}$)	الكثافة $n$ ($\mathrm{cm}^{-3}$)
جزيئي	10–20	$10^2$–$10^6$
ذرّي بارد	50–100	20–50
ذرّي دافئ	6000–10 000	0.2–0.5
متأيّن دافئ	نحو 8000	0.2–0.5
متأيّن حار	نحو $10^6$	نحو 0.0065

يُخفي الجدول انتظامًا. فضغط الغاز المثالي هو $P = n k_{\mathrm B} T$، ولذلك يقيسه الجداء $nT$. فللغاز الذرّي البارد يبلغ $nT$ نحو $30\times75 \approx 2000$ (بوحدة $\mathrm{K}\,\mathrm{cm}^{-3}$)، وللغاز الذرّي الدافئ نحو $0.3\times8000 \approx 2400$، وللغاز الحار نحو $0.0065\times10^6 = 6500$: فالأطوار الثلاثة التي تتقاسم الفضاء بين السحب في الضغط نفسه تقريبًا، في حدود عامل صغير (الشكل أدناه). وحيث يتلامس غاز حار وغاز بارد عند ضغط متساوٍ، لا يدفع أحدهما الآخر بعيدًا؛ والغاز الذي يبرد عند ضغط ثابت تزداد كثافته بالنسبة نفسها فينتقل من الطور الدافئ إلى الطور البارد. أمّا السحب الجزيئية فتبلغ ضغوطًا أعلى بكثير، تصل إلى آلاف أضعافها في أجزائها الكثيفة: فهي متماسكة بجاذبيتها الذاتية، لا بضغط محيطها.

يكشف الغبار عن نفسه بثلاث طرائق. فهو يُعتم ضوء النجوم التي خلفه، ويُعتم الضوء الأزرق أكثر من الأحمر، فتبدو النجوم المرئية عبره أشدّ احمرارًا مما هي عليه. وهو يشعّ في الأشعة تحت الحمراء البعيدة وعند الأطوال الموجية المليمترية، بدرجة الحرارة البالغة بضع عشرات من الكلفنات التي يدفّئه إليها ضوء النجوم. وهو يحجب كل ما في داخل السحابة الكثيفة عن المقاريب البصرية، ولهذا تُرصد عملية تكوّن النجوم بالأطوال الموجية الراديوية وتحت الحمراء. أمّا الغاز فيُتتبَّع بخطوطه: الهيدروجين الذرّي بخطه الراديوي عند $21\,\mathrm{cm}$، والهيدروجين الجزيئي، الذي لا يكاد يشعّ حين يكون باردًا، بخطوط الجزيئات المرافقة له، وفي مقدمتها أحادي أكسيد الكربون.

1.2 السحب الجزيئية

الطور الأبرد والأكثف هو حيث تتكوّن النجوم.

تعريف 1.2 (السحابة الجزيئية، اللبّ الكثيف)

السحابة الجزيئية منطقةٌ من الوسط بين النجمي كثيفة ومعتمة بما يكفي لأن يكون معظم هيدروجينها في صورة جزيئات، $\ce{H2}$، يحميها الغبار من الأشعة فوق البنفسجية الصادرة عن النجوم والتي كانت ستفككها؛ ودرجة حرارتها نحو $10\,\mathrm{K}$ إلى $20\,\mathrm{K}$. واللبّ الكثيف تكثّفٌ متراصّ داخل سحابة جزيئية، لا يتجاوز قطره بضعة أعشار الفرسخ الفلكي، وتتراوح كثافته بين $10^4$ و$10^5$ جسيم في السنتيمتر المكعب، ويتكوّن منه نجم واحد أو مجموعة صغيرة من النجوم.

تنتظم السحب في تراتبية (الجدول أدناه). فالسحابة المظلمة مثل سحابة الثور تضمّ كُتلًا، وتضمّ الكتلُ لُبوبًا، وكل مستوى أكثف وأصغر وأهدأ من الذي فوقه: ففي اللبّ يتحرّك الغاز بسرعة لا تزيد على بضعة أعشار الكيلومتر في الثانية، وهي سرعة الصوت في غاز عند $10\,\mathrm{K}$. وتحوي منطقة الثور المرسومة بأحادي أكسيد الكربون نحو $2.4 \times 10^{4}$ كتلة شمسية من الغاز؛ ولم يتحوّل منها إلا $0.3\text{ ⁧إلى⁩ }1.2\,\%$ إلى النجوم الفتية المرصودة هناك، بمعدل نحو ثمانية نجوم كل مئة ألف سنة خلال ثلاثة ملايين السنة الأخيرة. فتكوّن النجوم بطيء ومُهدِر.

	السحب المظلمة	الكتل	اللبوب الكثيفة
الكتلة (كتل شمسية)	$10^3$–$10^4$	50–500	0.5–5
الحجم ($\mathrm{pc}$)	2–15	0.3–3	0.03–0.2
متوسط الكثافة ($\mathrm{cm}^{-3}$)	50–500	$10^3$–$10^4$	$10^4$–$10^5$
درجة حرارة الغاز ($\mathrm{K}$)	نحو 10	10–20	8–12
أمثلة	الثور، الذبابة	—	L1544، B68

لماذا السحب باردة إلى هذا الحد؟ يفقد الغاز طاقته بإصدار فوتونات تفلت منه، والجزيئات مُصدِرات كفوءة: فالتصادم يرفع جزيء أحادي أكسيد الكربون إلى مستوى دوراني أعلى، فيعود الجزيء إلى مستواه بإصدار فوتون بطول موجي مليمتري، ويغادر الفوتون السحابة حاملًا معه طاقة التصادم. والغبار، الذي يدفّئه ضوء النجوم الخافت النافذ إليه، يشعّ في الأشعة تحت الحمراء البعيدة. أمّا التسخين، بالأشعة الكونية وبضوء النجوم المرشَّح عبر الغبار، فضعيف؛ فيستقر التوازن قرب $10\,\mathrm{K}$. وفي غاز كهذا يكون الضغط الحراري صغيرًا، ويمكن للجاذبية أن تنتصر.

1.3 الانهيار الثقالي

السحابة توازنٌ بين طاقتين: الطاقة الحرارية لغازها، التي تدفع نحو الخارج، وطاقتها الثقالية، التي تشدّ نحو الداخل. والثانية تنمو مع الكتلة أسرع من الأولى؛ فما فوق كتلةٍ معيّنة تنتصر الجاذبية.

قضية 1.3 (الطاقة الثقالية لكرة متجانسة)

للكرة المتجانسة الكثافة، التي كتلتها $M$ ونصف قطرها $R$، طاقة كامنة ثقالية

$$U = -\frac{3}{5}\,\frac{G M^2}{R}.$$

يخضع الجسم المتجاذب ذاتيًا في حالة التوازن لمبرهنة الفيريال: بالمتوسط على الزمن، ضعف طاقته الحركية مضافًا إليه طاقته الثقالية يساوي صفرًا، $2K + U = 0$ (الفيزياء، السنة الجامعية الثالثة، حيث تُستنتج من معادلات الحركة). وللسحابة الساكنة تكون $K$ هي الطاقة الحرارية لجسيماتها. فإذا كان $2K > |U|$ تمدّد الغاز؛ وإذا كان $2K < |U|$ لم يبقَ للجاذبية توازنٌ يعارضها فتنكمش السحابة.

قضية 1.4 (معيار جينز)

تنهار سحابة متجانسة متساوية الحرارة، درجة حرارتها $T$ وكثافتها $\rho$، ومكوّنة من جسيمات متوسط كتلتها $\mu m_u$، تحت جاذبيتها الذاتية إذا تجاوزت كتلتها كتلة جينز

$$M_J = \left(\frac{5 k_{\mathrm B} T}{G\mu m_u}\right)^{3/2} \left(\frac{3}{4\pi\rho}\right)^{1/2},$$

أو، على نحو مكافئ، إذا تجاوز نصف قطرها طول جينز

$$R_J = \left(\frac{15 k_{\mathrm B} T}{4\pi G\mu m_u\,\rho}\right)^{1/2}.$$

هذا هو معيار جينز.

تعريف 1.5 (كتلة جينز، طول جينز)

كتلة جينز $M_J$ وطول جينز $R_J$ لغاز معلوم درجة الحرارة والكثافة هما الكتلة ونصف القطر اللذان تنهار فوقهما كرةٌ متجانسة من ذلك الغاز تحت جاذبيتها الذاتية (القضية 1.4).

تتناسب كتلة جينز مع $T^{3/2}$ ومع $\rho^{-1/2}$: فالغاز البارد الكثيف ينهار بأكبر سهولة. وفي السحابة الجزيئية يبلغ متوسط الكتلة لكل جسيم $\mu = 2.33$ وحدة كتلة ذرّية، أي هيدروجين جزيئي مع ذرّة هيليوم لكل خمسة جزيئات تقريبًا. وعند $10\,\mathrm{K}$ و$10^4$ جسيم في السنتيمتر المكعب، تكون $\rho = \mu m_u n = 3.87 \times 10^{-17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ و$M_J = 5.5$ كتلة شمسية، ضمن طول جينز قدره $0.13\,\mathrm{pc}$: وهما كتلة اللبّ الكثيف وحجمه. وعند متوسط كثافة السحابة المظلمة، $100$ جسيم في السنتيمتر المكعب، تكون كتلة جينز أكبر بعشر مرات، 55 كتلة شمسية، وتحوي سحابةٌ كتلتها $24\,000$ كتلة شمسية مثل سحابة الثور المئاتِ منها (الشكل أدناه).

السحابة التي تبدأ بالانهيار تزداد كثافة، وتتناقص كتلة جينز فيها تناسبًا مع $\rho^{-1/2}$ ما دامت باردة، وتبقى كذلك ما دامت قادرة على إشعاع حرارة الانضغاط. فتصبح أجزاء من السحابة غير مستقرة بذاتها وتنهار كلٌّ على حدة: إنّ السحابة تتشظّى. ولهذا تتكوّن النجوم في مجموعات، ولهذا كتلها صغيرة مقارنةً بالسحب التي تولّدها. ويتوقف التشظّي حين يصبح الغاز أكثف من أن يسمح لإشعاعه بالإفلات: فتُحبس حرارة الانضغاط، وترتفع درجة الحرارة، وتكفّ كتلة جينز عن التناقص.

كم يستغرق الانهيار؟ إذا كان الضغط مهملًا، سقطت كل قشرة من السحابة سقوطًا حرًّا نحو المركز.

قضية 1.6 (زمن السقوط الحر)

كرةٌ متجانسة كثافتها $\rho$، ساكنة في البدء وبلا ضغط، تنهار إلى مركزها في الزمن

$$t_{\mathrm{ff}} = \left(\frac{3\pi}{32\,G\rho}\right)^{1/2},$$

وهو مستقل عن نصف قطرها.

تعريف 1.7 (زمن السقوط الحر)

زمن السقوط الحر لغاز كثافته $\rho$ هو $t_{\mathrm{ff}} = (3\pi/32G\rho)^{1/2}$، وهو الزمن الذي تستغرقه كرةٌ متجانسة بتلك الكثافة لتنهار تحت جاذبيتها الذاتية وحدها.

يبلغ زمن السقوط الحر للبّ كثيف من $10^4$ جسيم في السنتيمتر المكعب $0.34\,\mathrm{Myr}$؛ ولسحابة مظلمة كاملة من $10^2$، $3.4\,\mathrm{Myr}$. ولو انهارت كل سحابة جزيئية في المجرّة خلال زمن سقوط حر وتحوّلت إلى نجوم، لكوّنت المجرّة النجوم أسرع بكثير مما تفعل: ففي سحابة الثور، لا يتجاوز الغاز الذي تحوّل فعلًا إلى نجوم خلال ثلاثة ملايين السنة الأخيرة نحو واحد في المئة من السحابة. فالسحب مكبوحة، بالحركات المضطربة وبالحقول المغناطيسية التي يجرّها معه الجزء المتأيّن من الغاز، ويتبدّد معظم غازها بفعل رياح النجوم الضخمة الأولى وضوئها قبل أن يتمكّن من الانهيار: ومن هنا الكفاءة المنخفضة المقيسة في سحابة الثور.

لمحة تاريخية — جيمس جينز

نشر جيمس جينز (1877–1946) عام 1902 تحليل استقرار غاز تحت جاذبيته الذاتية الذي تنحدر منه كتلة جينز وطوله. فقد درس نموّ موجات الكثافة الصغيرة في غاز متجانس لا نهائي ووجد أن الموجات الأطول من طول حرج لا يعارضها الضغط بل تنمو: فيتفكك الغاز إلى تكثّفات بذلك الحجم تقريبًا. ولا يختلف طوله الحرج عن نصف القطر المستنتج أعلاه إلا بعامل عددي؛ أمّا الفيزياء، أي الجاذبية في مواجهة الضغط الحراري، فهي نفسها.

1.4 النجوم الأوّلية

انهيار اللبّ ليس متجانسًا. فالمركز، الأكثف قليلًا، يسقط أولًا؛ ويتكوّن هناك جسم صغير كثيف حار ينمو بابتلاع الغاز الذي لا يكفّ عن الانهمار عليه.

تعريف 1.8 (النجم الأوّلي)

النجم الأوّلي نجمٌ في طور التكوّن لا يزال يكتسب معظم كتلته بمراكمة غاز لبّه الأم؛ وهو يسطع بالطاقة التي يحرّرها الغاز الساقط، لا بالاندماج النووي.

ما سرعة نموّ النجم الأوّلي؟ يحوي اللبّ القريب من الانهيار نحو كتلة جينز ويسقط في نحو زمن سقوط حر، فتصل الكتلة بمعدل من رتبة $M_J/t_{\mathrm{ff}}$.

قضية 1.9 (معدل مراكمة النجم الأوّلي)

لتكن $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ سرعة الصوت متساوية الحرارة لغاز اللبّ. إن نسبة كتلة جينز إلى زمن السقوط الحر لا تتوقف على الكثافة، و

$$\frac{M_J}{t_{\mathrm{ff}}} \approx 10\,\frac{c_s^3}{G}:$$

فالنجم الأوّلي ينمو بمعدل من رتبة $c_s^3/G$، تحدّده درجة حرارة لبّه وحدها.

عند $10\,\mathrm{K}$ تكون $c_s = 0.19\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ ويبلغ $c_s^3/G$ $1.6 \times 10^{-6}$ كتلة شمسية في السنة: فنجم كالشمس يتجمّع في نحو $600\,000$ سنة، وهو زمن يضاهي زمن السقوط الحر للبّه. وفي لبّ أدفأ، عند $20\,\mathrm{K}$، يكون المعدل أعلى بعامل $2^{3/2} = 2.8$.

ما دام النجم الأوّلي يراكم المادة فهو يسطع بطاقة الغاز الساقط. فإذا نفد الغلاف، استمر في السطوع، دون اندماج بعد، بفضل انكماشه.

قضية 1.10 (الانكماش يمدّ النجم الفتي بالطاقة)

الكرة الغازية المتجاذبة ذاتيًا في حالة التوازن، إذا انكمشت ببطء، تُشعّ نصف الطاقة الثقالية التي تحرّرها وتحتفظ بالنصف الآخر حرارةً: فتزداد سخونة بينما تفقد الطاقة.

تعريف 1.11 (زمن كلفن–هلمهولتز)

زمن كلفن–هلمهولتز لنجم كتلته $M$ ونصف قطره $R$ وضياؤه $L$ هو $t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL)$، وهو رتبة قدر الزمن الذي يستطيع الانكماش وحده خلاله أن يمدّه بضيائه.

للشمس الحالية $t_{\mathrm{KH}} = 31\,\mathrm{Myr}$: وهو أقصر بكثير من عمرها، ولهذا لا بدّ للشمس من أن تحرق الهيدروجين. ولنجم فتيّ كتلته كتلة شمسية واحدة ونصف قطره ضعف نصف قطر الشمس وضياؤه ضعف ضيائها، يبلغ $8\,\mathrm{Myr}$ (التمرين 1.6). وينتهي الانكماش حين يصبح المركز حارًّا بما يكفي لأن يمدّ اندماجُ الهيدروجين النجمَ بضيائه: فيصل النجم إلى النسق الرئيسي (ما تعرفه من قبل).

تعريف 1.12 (نجم تي الثور، التدفّق ثنائي القطب)

نجم تي الثور نجمٌ فتيّ كتلته أقل من نحو كتلتين شمسيتين، طرح غلافه وأصبح مرئيًا لكنه لم يبلغ النسق الرئيسي بعد: فهو يسطع بالانكماش، ويتغيّر لمعانه، ويحيط به عادةً قرص لا يزال يراكم منه المادة. والتدفّق ثنائي القطب زوجٌ من النفاثات أو الرياح الغازية السريعة يقذفها نجم فتيّ في اتجاهين متعاكسين على طول محور دوران قرصه.

تحمل التدفّقات بعيدًا جزءًا من الزخم الزاوي للغاز الذي يغذّي به القرصُ النجمَ، وتُزيح الغلاف على طول المحور؛ ونجم إتش إل الثور، في نهاية مرحلته النجمية الأوّلية، يدفع تدفّقًا شديد التسدّد.

1.5 الأقراص

يدور اللبّ الكثيف ببطء: فعبر اللبّ تتغير سرعة الغاز ببضعة أعشار الكيلومتر في الثانية لكل فرسخ فلكي. وحين ينهار اللبّ يُحفظ زخمه الزاوي، فيصير الدوران البطيء سريعًا.

قضية 1.13 (نصف القطر الطارد المركزي)

الغاز الذي زخمه الزاوي النوعي $j$ (الزخم الزاوي لكل وحدة كتلة) والساقط نحو كتلة $M$ لا يستطيع بلوغ المركز: فهو يستقر على مدار دائري نصف قطره

$$r_c = \frac{j^2}{G M}.$$

الغاز الساقط على طول محور الدوران قليل الزخم الزاوي فيتجه مباشرة إلى النجم؛ أمّا الغاز الساقط في المستوي الاستوائي فيحتفظ بدورانه. والغاز الساقط من جهتين متقابلتين على مسارات مختلفة يتصادم فوق المستوي الاستوائي وتحته، فيفقد حركته الرأسية، ويتجمّع في قرص دوّار رقيق نصف قطره نحو $r_c$. وللبّ قطره $0.1\,\mathrm{pc}$ يدور دورة واحدة في نحو عشرين مليون سنة، يبلغ $r_c$ بضع مئات من الوحدات الفلكية (التمرين 1.11): وهو حجم الأقراص المرصودة.

تعريف 1.14 (القرص الكوكبي الأوّلي)

القرص الكوكبي الأوّلي (أو القرص النجمي الأوّلي) هو القرص المسطّح من الغاز والغبار الذي يدور دورانًا كبلريًا تقريبًا حول نجم فتيّ، والمكوّن من مادة لبّه الأم التي احتفظت بزخم زاوي أكبر من أن تسقط على النجم؛ وفيه تتكوّن الكواكب.

يسخّن النجمُ القرصَ. فالحبيبة على البُعد $r$ تمتص ضوء النجم على مقطعها العرضي وتُشعّ من سطحها كله.

قضية 1.15 (درجة حرارة حبيبة في ضوء النجم)

الحبيبة الصغيرة التي تسلك سلوك الجسم الأسود، على البُعد $r$ من نجم ضياؤه $L$ والمضاءة من جهة واحدة فقط، تستقر عند درجة الحرارة

$$T = \left(\frac{L}{16\pi\sigma r^2}\right)^{1/4},$$

التي تتناقص تناسبًا مع $r^{-1/2}$.

على بُعد $1\,\mathrm{au}$ من نجم كالشمس تكون الحبيبة عند $278\,\mathrm{K}$؛ وعلى $5.2\,\mathrm{au}$، حيث يدور المشتري، عند $122\,\mathrm{K}$. ويتكاثف جليد الماء حيث تكون الحبيبات أبرد من نحو $180\,\mathrm{K}$ (درجات حرارة التكاثف هي تلك الواردة في الفصل 2)، أي فيما وراء نحو $2.4\,\mathrm{au}$: وهي أول علامة على الحدّ، أي خط الثلج، الذي يفصل الكواكب الصخرية عن الجليدية. والقرص الحقيقي معتم، ومستواه الأوسط محميّ من ضوء النجم المباشر؛ لكن القضية تعطي رتبة القدر الصحيحة والميل الصحيح للطبقات السطحية التي يراها النجم.

الأقراص لا تدوم. فالفائض تحت الأحمر، أي توهّج الغبار الدافئ فوق ما يُصدره النجم وحده، يكشف إن كان للنجم قرص بعد. وعدّ النجوم التي لها هذا الفائض في عناقيد مختلفة الأعمار يعطي نسبة النجوم التي تحتفظ بقرصها بدلالة الزمن (الشكل أدناه): فلمعظم النجوم قرص عند الولادة، وقد فقده نصفها في نحو ثلاثة ملايين سنة، ولا يكاد أيٌّ منها يحتفظ به بعد ستة ملايين. والعمالقة الغازية، التي يجب أن تجمع غازها من القرص، لا بدّ أن تتكوّن خلال هذه الملايين القليلة من السنين.

في المختبر — الرؤية عبر الغبار بالموجات الراديوية

الغاز والغبار الباردان غير مرئيين للمقاريب البصرية، لكنهما يشعّان عند الأطوال الموجية المليمترية، حيث لا يكون الغلاف الجوي شفافًا إلا فوق المواقع المرتفعة الجافة. والطبق الراديوي الذي في حجم منزل لا يميّز إلا القليل عند هذه الأطوال الموجية، ولذلك يجمع الفلكيون أطباقًا كثيرة: ففي مقياس التداخل يقيس كل زوج من الهوائيات، يفصل بينهما خط قاعدي، مركّبةً واحدة من نمط سطوع السماء، ثم يجمّع حاسوب الصورة من مئات الأزواج التي تشكّلها نحو ثلاثين هوائيًا. ودقة التمييز هي دقة مقراب واحد بعرض أطول خط قاعدي: فبهوائيات موزّعة على $15\,\mathrm{km}$ صُوّر قرص إتش إل الثور بتفاصيل تبلغ بضع وحدات فلكية على $140\,\mathrm{pc}$. وينقل المشغّلون الهوائيات على ناقلات بين التشكيلات، ويجمع جهاز الترابط إشاراتها آنيًا.

1.6 التمارين

تمرين 1.1 ★

يبلغ متوسط الكثافة بين النجمية قرب الشمس $2.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}\,\mathrm{cm}^{-3}$. باعتبار كتلة ذرّة الهيدروجين $1.67 \times 10^{-24}\,\mathrm{g}$، احسب عدد ذرّات الهيدروجين في السنتيمتر المكعب. وقارنه بعدد الجزيئات في السنتيمتر المكعب من الهواء عند $101\,325\,\mathrm{Pa}$ و$288\,\mathrm{K}$ ($n = P/k_{\mathrm B}T$).

حل

حل التمرين 1.1.

$n = 2.7 \times 10^{-24}/1.67 \times 10^{-24} = 1.6$ ذرّة هيدروجين في السنتيمتر المكعب. وفي الهواء $n = P/k_{\mathrm B}T = 101325/(1.381 \times 10^{-23}\times288) = 2.55 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$، أي $2.5 \times 10^{19}$ جزيء في السنتيمتر المكعب: أكثر بنحو $1.6\times10^{19}$ مرة.

تمرين 1.2 ★

باستعمال القيمة $M_J = 5.46$ كتلة شمسية عند $10\,\mathrm{K}$ و$10^4$ جسيم في السنتيمتر المكعب، وقانون تغيّر $M_J$ مع الكثافة، احسب كتلة جينز عند $10\,\mathrm{K}$ و$10^2$ جسيم في السنتيمتر المكعب. كم كتلة جينز تحوي سحابة الثور، البالغة $24\,000$ كتلة شمسية؟

حل

حل التمرين 1.2.

$M_J \propto n^{-1/2}$: قسمة $n$ على 100 تضرب $M_J$ في 10، فتكون $M_J = 54.6$ كتلة شمسية عند $10^2$ جسيم في السنتيمتر المكعب. وتحوي السحابة $24\,000/54.6 \approx 440$ كتلة جينز: فلا يمكن أن تكون مستقرة ككلّ، ولا بدّ أن تتشظّى.

تمرين 1.3 ★

احسب سرعة الصوت متساوية الحرارة $c_s = (k_{\mathrm B}T/\mu m_u)^{1/2}$ في الغاز الجزيئي ($\mu = 2.33$، $m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) عند $10\,\mathrm{K}$ وعند $100\,\mathrm{K}$. كم تستغرق موجة صوتية لعبور لبّ نصف قطره $0.1\,\mathrm{pc}$ عند $10\,\mathrm{K}$، بملايين السنين؟

حل

حل التمرين 1.3.

$c_s = \sqrt{1.381 \times 10^{-23}\times10/(2.33\times1.661 \times 10^{-27})} = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $10\,\mathrm{K}$؛ وأكبر بعامل $\sqrt{10}$، أي $597\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$، عند $100\,\mathrm{K}$. ولعبور $0.1\,\mathrm{pc}$: $3.086 \times 10^{15}/189 = 1.63 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$، أي $0.52\,\mathrm{Myr}$.

تمرين 1.4 ★

احسب زمن السقوط الحر للبّ كثيف من $10^5$ جسيم في السنتيمتر المكعب ولسحابة مظلمة من $10^2$ ($\mu = 2.33$). أيّهما ينهار أسرع، وبأيّ عامل؟

حل

حل التمرين 1.4.

$\rho = 2.33\times1.661 \times 10^{-27}\times n$ حيث $n$ بوحدة $\mathrm{m}^{-3}$. فمن أجل $10^5$ جسيم في السنتيمتر المكعب، $\rho = 3.87 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$ و$t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32G\rho)} = 3.38 \times 10^{12}\,\mathrm{s} = 0.107\,\mathrm{Myr}$؛ ومن أجل $10^2$ تكون $\rho$ أصغر بعامل $1000$ و$t_{\mathrm{ff}}$ أطول بعامل $\sqrt{1000} = 31.6$، أي $3.38\,\mathrm{Myr}$. فاللبّ الكثيف ينهار أسرع بنحو 32 مرة.

تمرين 1.5 ★★

بيّن أنه يمكن كتابة $M_J$ على الصورة $M_J = 5^{3/2}\,(3/4\pi)^{1/2}\,c_s^3\,G^{-3/2}\rho^{-1/2}$. عند درجة حرارة ثابتة، بأيّ عامل يجب أن ترتفع كثافة اللبّ لتنخفض كتلة جينز إلى النصف؟ وعند كثافة ثابتة، بأيّ عامل تتغير كتلة جينز إذا سخن اللبّ من $10\,\mathrm{K}$ إلى $20\,\mathrm{K}$؟

حل

حل التمرين 1.5.

بما أن $k_{\mathrm B}T/(\mu m_u) = c_s^2$، فإن $(5k_{\mathrm B}T/G\mu m_u)^{3/2} = 5^{3/2}c_s^3G^{-3/2}$، ومنه الصيغة. وبما أن $M_J \propto \rho^{-1/2}$، فإن خفض $M_J$ إلى النصف يتطلب كثافة أعلى بأربع مرات. وبما أن $M_J \propto T^{3/2}$، فإن التسخين من $10\,\mathrm{K}$ إلى $20\,\mathrm{K}$ يضربها في $2^{3/2} = 2.83$.

تمرين 1.6 ★★

نجم فتيّ له كتلة الشمس، وضعف نصف قطرها وضعف ضيائها ($M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$، $R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$، $L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$). احسب زمن كلفن–هلمهولتز له بملايين السنين، وقارنه بأعمار الأقراص.

حل

حل التمرين 1.6.

$t_{\mathrm{KH}} = GM^2/(RL) = 6.674 \times 10^{-11}\times(1.989 \times 10^{30})^2/(2\times 6.96 \times 10^{8}\times2\times3.83 \times 10^{26}) = 2.48 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$، أي $7.8\,\mathrm{Myr}$. وهو أطول من عمر معظم الأقراص (يزول نصفها بعد نحو $3\,\mathrm{Myr}$): فالنجم لا يزال ينكمش حين يختفي قرصه.

تمرين 1.7 ★★

احسب معدل المراكمة $c_s^3/G$ لنجم أوّلي في لبّ عند $10\,\mathrm{K}$، بالكتل الشمسية في السنة، والزمن الذي يستغرقه لجمع كتلة شمسية واحدة. والأسئلة نفسها للبّ عند $20\,\mathrm{K}$.

حل

حل التمرين 1.7.

عند $10\,\mathrm{K}$، $c_s^3/G = 189^3/6.674 \times 10^{-11} = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$، أي $1.01 \times 10^{17}\times3.156 \times 10^{7}/1.989 \times 10^{30} = 1.6 \times 10^{-6}$ كتلة شمسية في السنة، وتستغرق الكتلة الشمسية الواحدة $0.62\,\mathrm{Myr}$. وعند $20\,\mathrm{K}$ يكون المعدل أعلى بعامل $2^{3/2} = 2.83$، أي $4.5 \times 10^{-6}$ كتلة شمسية في السنة، وتستغرق الكتلة الشمسية الواحدة $0.22\,\mathrm{Myr}$.

تمرين 1.8 ★★

باستعمال القضية 1.15 و$L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$، احسب البُعد عن الشمس، بالوحدات الفلكية، الذي تبلغ عنده الحبيبة $1300\,\mathrm{K}$، قرب درجة الحرارة التي تتكاثف عندها السيليكات الشائعة (الفصل 2)، واحسب درجة حرارة حبيبة على بُعد المشتري، $5.2\,\mathrm{au}$.

حل

حل التمرين 1.8.

$r = \sqrt{L/(16\pi\sigma)}/T^2$ مع $\sqrt{3.83 \times 10^{26}/(16\pi\times5.67 \times 10^{-8})} = 1.159 \times 10^{16}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}^{2}$: عند $1300\,\mathrm{K}$، $r = 6.86 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 0.046\,\mathrm{au}$، أي داخل مدار عطارد بكثير. وعند $5.2\,\mathrm{au}$، $T = 278/\sqrt{5.2} = 122\,\mathrm{K}$.

تمرين 1.9 ★★

يدور غاز قرص إتش إل الثور حول نجم كتلته نحو $1.3$ كتلة شمسية. احسب السرعة الكبلرية والدور المداري عند $100\,\mathrm{au}$. إذا كان عمر النظام مليون سنة، فكم دورة أتمّ الغاز عند $100\,\mathrm{au}$ منذ تكوّن النجم؟

حل

حل التمرين 1.9.

$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{6.674 \times 10^{-11}\times1.3\times1.989 \times 10^{30}/1.496 \times 10^{13}} = 3.40\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$P = 2\pi r/v = 2.77 \times 10^{10}\,\mathrm{s} = 877$ سنة (أو، على نحو مكافئ، $\sqrt{100^3/1.3}$ سنة). وفي مليون سنة يُتمّ الغاز $10^6/877 \approx 1140$ دورة: فالقرص قديم مقارنة بدورانه الذاتي، ولهذا تبدو حلقاته دوائر منتظمة.

تمرين 1.10 ★★★

أوجد الطاقة الثقالية لكرة نصف قطرها $R$ تتناقص فيها الكثافة وفق $\rho(r) = \rho_0 R/r$، وقارنها بطاقة كرة متجانسة لها الكتلة ونصف القطر نفساهما. هل يجعل تركّز الكتلة نحو المركز إسنادَ السحابة بطاقتها الحرارية أسهل أم أصعب؟

حل

حل التمرين 1.10.

$M = \int_0^R 4\pi r^2\rho_0R/r\,\mathrm dr = 2\pi\rho_0R^3$، وداخل $r$ $m(r) = 2\pi\rho_0Rr^2$. ومع $\mathrm dm = 4\pi\rho_0Rr\,\mathrm dr$،

$$U = -\int_0^R \frac{G\,m(r)}{r}\,\mathrm dm = -8\pi^2G\rho_0^2R^2\int_0^R r^2\,\mathrm dr = -\frac{8\pi^2}{3}G\rho_0^2R^5 = -\frac23\,\frac{GM^2}{R},$$

باستعمال $\rho_0 = M/(2\pi R^3)$. وهي $\tfrac{2/3}{3/5} = 1.11$ ضعف قيمة الكرة المتجانسة: فالسحابة المركّزة أشدّ ارتباطًا وتحتاج إلى طاقة حرارية أكثر بنسبة $11\,\%$ لإسنادها؛ فهي تنهار بسهولة أكبر.

تمرين 1.11 ★★★

لبٌّ نصف قطره $0.1\,\mathrm{pc}$ يدور كجسم صلب بالسرعة الزاوية $\Omega = 1 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$. احسب دور دورانه، والزخم الزاوي النوعي $j = \Omega R^2$ للغاز عند خط استوائه، ونصف القطر الطارد المركزي لذلك الغاز حول نجم كتلته كتلة شمسية واحدة، بالوحدات الفلكية. لماذا يستقر الغاز الآتي من داخل اللبّ أقرب إلى النجم؟

حل

حل التمرين 1.11.

الدور $2\pi/\Omega = 6.28 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$، أي نحو $20\,\mathrm{Myr}$. ومع $R = 3.086 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$ يكون $j = \Omega R^2 = 9.52 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$r_c = j^2/(GM) = 9.07 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 6.83 \times 10^{13}\,\mathrm{m} = 457\,\mathrm{au}$. وفي الدوران الصلب ينمو $j = \Omega r^2$ مع مربع البُعد عن المحور: فالغاز الآتي من داخل اللبّ أقل زخمًا زاويًا، فيستقر أقرب إلى النجم.

تمرين 1.12 ★★★

نسب الأقراص في العناقيد الخمسة الأحدث في شكل القسم الأخير هي $0.85$ و$0.80$ و$0.65$ و$0.52$ و$0.12$ عند 0.3 و1.5 و2.3 و3.2 و$5.0\,\mathrm{Myr}$. وفّق باليد مستقيم مربعات صغرى $f = a - bt$ (احسب المتوسطات، ثم $\sum(t - \bar t)(f - \bar f)$ و$\sum(t - \bar t)^2$). عند أيّ عمر يبلغ النصف، ثم الصفر؟ ولماذا يكون المستقيم نموذجًا رديئًا بعد ذلك العمر؟

حل

حل التمرين 1.12.

$\bar t = 2.46$، $\bar f = 0.588$؛ $\sum(t - \bar t)^2 = 12.612$، $\sum(t - \bar t)(f - \bar f) = -2.018$، ومنه $b = 2.018/12.612 = 0.160$ لكل مليون سنة و$a = 0.588 + 0.160\times2.46 = 0.982$. يبلغ المستقيم $0.5$ عند $(0.982 - 0.5)/0.160 = 3.0\,\mathrm{Myr}$ والصفر عند $0.982/0.160 = 6.1\,\mathrm{Myr}$، كما في الشكل. ولا يمكن لنسبة أن تنزل تحت الصفر: فالعناقيد الأقدم، مثل NGC 1960 عند $30\,\mathrm{Myr}$، تحتفظ بنسبة صغيرة قرب الصفر لا يستطيع المستقيم وصفها.

1.7 مسألة: لبٌّ في سحابة ألدرا

مسألة 1.1

مسألة نهاية الأسبوع — كتلة لبّ كثيف واستقراره مقروءان من خريطة الغبار، وولادة نجمه الأوّلي، وحجم قرصه

سحابة ألدرا سحابة مظلمة متخيَّلة. تُظهر خريطة مليمترية لغبارها لبًّا مستديرًا نصف قطره $0.08\,\mathrm{pc}$، ومتوسط كثافته العمودية $N(\ce{H2}) = 1.5 \times 10^{22}$ جزيء هيدروجين في السنتيمتر المربع. ويعطي خطٌّ للأمونيا درجة حرارة الغاز، $10\,\mathrm{K}$، وتدرّجًا في السرعة قدره $0.4\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ لكل فرسخ فلكي عبر اللبّ، يُقرأ دورانًا صلبًا. استعمل $G = 6.674 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$ و$k_{\mathrm B} = 1.381 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}$ و$m_u = 1.661 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ و$1\,\mathrm{pc}$ $= 3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ و$1\,\mathrm{au}$ $= 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ وسنة طولها $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ و$M_\odot = 1.989 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ و$R_\odot = 6.96 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ و$L_\odot = 3.83 \times 10^{26}\,\mathrm{W}$ و$\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{K}^{-4}$؛ وكتلة جزيء الهيدروجين الواحد، بما فيها الهيليوم، هي $2.8\,m_u$، ومتوسط الكتلة لكل جسيم $2.33\,m_u$.

الجزء الأول — الكتلة والكثافة.

1. حوّل نصف قطر اللبّ إلى أمتار.
2. احسب كتلة العمود لكل متر مربع، $2.8\,m_u N$.
3. استنتج كتلة اللبّ، بالكيلوغرام وبالكتل الشمسية.
4. احسب حجمه ومتوسط كثافته.
5. احسب عدد الجسيمات في السنتيمتر المكعب.
6. هل هذا لبّ كثيف بمعنى جدول القسم الثاني؟

الجزء الثاني — الاستقرار.

7. احسب كتلة جينز لغاز اللبّ، بالكتل الشمسية.
8. كم كتلة جينز يحوي اللبّ؟ وهل هو مستقر؟
9. احسب طول جينز وقارنه بنصف قطر اللبّ.
10. كم كانت ستبلغ كتلة جينز لو كان الغاز عند $20\,\mathrm{K}$؟ وهل كان اللبّ سينهار عندئذ؟
11. احسب زمن السقوط الحر للبّ، بآلاف السنين.
12. قارنه بالزمن الذي تستغرقه موجة صوتية لعبور اللبّ. أيّ العمليتين أسرع، وماذا يعني ذلك؟

الجزء الثالث — النجم الأوّلي.

13. احسب سرعة الصوت في اللبّ.
14. احسب معدل المراكمة $c_s^3/G$، بالكتل الشمسية في السنة.
15. احسب الزمن اللازم لجمع كتلة شمسية واحدة بهذا المعدل.
16. إذا انتهى ثلث اللبّ إلى نجوم، فكم نجمًا كتلته كتلة شمسية واحدة يمكن أن يكوّن؟
17. بعد زوال الغلاف تصبح للنجم كتلة شمسية واحدة وثلاثة أنصاف أقطار شمسية وأربعة أضعاف ضياء الشمس. احسب زمن كلفن–هلمهولتز له.
18. هل هو أطول من زمن المراكمة أم أقصر؟ وأيّ نوع من النجوم يكون عندئذ؟

الجزء الرابع — القرص.

19. حوّل تدرّج السرعة إلى سرعة زاوية $\Omega$، بوحدة $\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.
20. احسب الزخم الزاوي النوعي $j = \Omega R^2$ للغاز عند خط استواء اللبّ.
21. احسب نصف قطره الطارد المركزي حول نجم كتلته كتلة شمسية واحدة، بالوحدات الفلكية.
22. احسب درجة حرارة حبيبة على بُعد $1\,\mathrm{au}$ وعلى بُعد $30\,\mathrm{au}$ من نجم ضياؤه ضياء شمسي واحد.
23. أين يقع خط الثلج في هذا القرص، إذا كان جليد الماء يبقى دون $180\,\mathrm{K}$؟
24. اذكر الزمن اللازم لتجميع نجم السؤال 15، وهو الرقم الأساسي في هذه المسألة، بآلاف السنين، وقارنه بزمن السقوط الحر في السؤال 11.

حل

حل المسألة 1.1.

1. $R = 0.08\times3.086 \times 10^{16} = 2.469 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$.

2. $N = 1.5 \times 10^{26}\,\mathrm{m}^{-2}$، ومنه $2.8\times1.661 \times 10^{-27}\times1.5 \times 10^{26} = 0.698\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}$.

3. $M = 0.698\times\pi R^2 = 0.698\times1.915 \times 10^{31} = 1.34 \times 10^{31}\,\mathrm{kg}$، أي $6.7$ كتلة شمسية.

4. $V = \tfrac43\pi R^3 = 6.30 \times 10^{46}\,\mathrm{m}^{3}$ و $\rho = M/V = 2.12 \times 10^{-16}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}$.

5. $n = \rho/(2.33m_u) = 5.48 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$، أي $5.5 \times 10^{4}$ جسيم في السنتيمتر المكعب.

6. نعم: كثافته بين $10^4$ و$10^5$، ونصف قطره بين 0.03 و$0.2\,\mathrm{pc}$؛ أمّا كتلته، 6.7 كتلة شمسية، فعند الحدّ الأعلى لمدى اللبوب.

7. $M_J = 5.46\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 2.33$ كتلة شمسية.

8. $6.7/2.33 = 2.9$ كتلة جينز: فاللبّ غير مستقر وينهار.

9. $R_J = 0.1316\times(10^4/5.48 \times 10^{4})^{1/2} = 0.056\,\mathrm{pc}$، وهو أصغر من نصف القطر، $0.08\,\mathrm{pc}$: والخلاصة نفسها.

10. $2^{3/2}\times2.33 = 6.6$ كتلة شمسية: أي كتلة اللبّ تقريبًا. فعند $20\,\mathrm{K}$ يكون اللبّ على الحدّ؛ فالبرودة هي ما يجعله ينهار.

11. $t_{\mathrm{ff}} = \sqrt{3\pi/(32\times6.674 \times 10^{-11}\times2.12 \times 10^{-16})} = 4.56 \times 10^{12}\,\mathrm{s}$، أي نحو $145\,000$ سنة.

12. $R/c_s = 2.469 \times 10^{15}/189 = 1.31 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$، أي $414\,000$ سنة: أطول بثلاث مرات من السقوط الحر. فلا تستطيع موجة ضغط عبور اللبّ قبل أن ينهار؛ ولا يستطيع الضغط أن يستجيب بسرعة كافية لإيقاف الانهيار.

13. $c_s = 189\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ (التمرين 1.3).

14. $c_s^3/G = 1.01 \times 10^{17}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{-1}$، أي $1.6 \times 10^{-6}$ كتلة شمسية في السنة.

15. $1/1.6 \times 10^{-6} = 624\,000$ سنة.

16. ثلث 6.7 هو $2.2$: نجمان كتلة كلٍّ منهما كتلة شمسية واحدة.

17. $t_{\mathrm{KH}} = GM_\odot^2/(3R_\odot\times4L_\odot) = 8.25 \times 10^{13}\,\mathrm{s}$، أي $2.6\,\mathrm{Myr}$.

18. أطول، أربعة أضعاف زمن المراكمة: فحين تتوقف المراكمة يكون النجم لا يزال ينكمش ويسطع دون اندماج؛ إنه نجم تي الثور، لم يبلغ النسق الرئيسي بعد.

19. $\Omega = 0.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}/3.086 \times 10^{16}\,\mathrm{m} = 1.30 \times 10^{-14}\,\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}$.

20. $j = 1.30\times10^{-14}\times(2.469 \times 10^{15})^2 = 7.90 \times 10^{16}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}$.

21. $r_c = j^2/(GM_\odot) = 6.24 \times 10^{33}/1.327 \times 10^{20} = 4.70 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$، أي $314\,\mathrm{au}$: أكبر من قرص إتش إل الثور، كما هو متوقع لغاز آتٍ من حافة اللبّ.

22. $T = (L/16\pi\sigma r^2)^{1/4} = 278\,\mathrm{K}$ عند $1\,\mathrm{au}$، و$278/\sqrt{30} = 51\,\mathrm{K}$ عند $30\,\mathrm{au}$.

23. $r = 1.159 \times 10^{16}/180^2 = 3.58 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$، أي $2.4\,\mathrm{au}$، كما في النص.

24. يستغرق النجم ذو الكتلة الشمسية الواحدة $624\,$ ألف سنة ليتجمّع، أي نحو أربعة أضعاف زمن السقوط الحر للبّه ($145\,000$ سنة): فالغاز الخارجي لا يصل إلى النجم الأوّلي إلا تدريجيًا، من الداخل إلى الخارج.