22الأنظمة الجوية

صار التنبّؤ لأربعة أيام قادمة اليوم بدقّة التنبّؤ ليوم واحد قبل ثلاثين سنة، وأضاف كلّ عقد نحو يوم من التنبّؤ المفيد. ومع ذلك لا يُعوَّل على أيّ تنبّؤ بطقس يوم معيّن، في مكان معيّن، أبعد كثيرًا من عشرة أيام، ولن تدفع الحواسيب الأفضل وحدها ذلك الحدّ بعيدًا: فالغلاف الجوي يضخّم شكوكه الصغيرة. يصف هذا الفصل الأنظمة الجوية التي تتتبّعها التنبّؤات، أي جبهات العروض الوسطى ومنخفضاتها، وأمواج التيّار النفّاث والأعاصير المدارية، ثم الطريقة التي يُتنبّأ بها ولماذا يجب أن يتوقّف التنبّؤ عند حدّ ما.

ما تعرفه من قبل

من مجلّدات المدرسة: الكتل الهوائية، والجبهات، والجبهات الباردة والدافئة، والمنخفضات والمرتفعات الجوية، وخطوط تساوي الضغط والتنبّؤات الجوية؛ والإعصار المداري، وعينه وجدار عينه، وسلّم سافير–سيمبسون. من مجلد السنة الأولى: قوّة تدرّج الضغط، ومعامل كوريوليس $f = 2\Omega\sin\varphi$، والتوازن الجيوستروفي، والمنخفضات والمرتفعات، والخلايا الثلاث، والرياح الغربية والتيّارات النفّاثة. من كتب الفيزياء: المحرّكات الحرارية ومردود دورة كارنو. من الفصل 21: التشبّع، والمنحنى الأديباتي الرطب، و$\theta_e$، وعدم الاستقرار المشروط وCAPE.

22.1 الجبهات

رسمت مجلّدات المدرسة الجبهات خطوطًا على الخريطة. والجبهة هي الخطّ الذي يلتقي فيه حدّ مائل بين كتلتين هوائيتين بالأرض، ومن ذلك الميل يأتي طقسها.

تعريف 22.1 (السطح الجبهي؛ الجبهة الثابتة؛ الجبهة المسدودة)

السطح الجبهي لجبهة هو الحدّ المائل بين الكتلتين الهوائيتين، وترقد الكتلة الأكثف والأبرد تحته على شكل إسفين؛ والجبهة على الخريطة هي تقاطعه مع الأرض. والجبهة الثابتة جبهة تتحرّك ببطء شديد أو لا تتحرّك إطلاقًا. والجبهة المسدودة جبهة مركّبة من جبهتين، تتكوّن حين تلحق جبهة باردة بجبهة دافئة أو ثابتة.

تتكوّن الجبهة الثابتة حين لا تستطيع أيّ من الكتلتين دفع الأخرى، فتهبّ الرياح على امتداد الجبهة لا عبرها؛ وقد تبقى أيامًا، غائمة ممطرة، قبل أن تتحرّك من جديد جبهةً باردة أو دافئة. وعلى الخريطة تتناوب فيها المثلّثات الزرقاء للجبهة الباردة، المتّجهة نحو الهواء الدافئ، مع أنصاف الدوائر الحمراء للجبهة الدافئة، المتّجهة نحو الهواء البارد. أمّا الجبهة المسدودة فتُرسم بالبنفسجي مع الرمزين كليهما على الجانب نفسه. فحين يكون الهواء خلف الجبهة الباردة هو الأبرد، ينزلق تحت الجبهة الدافئة ويرفعها إلى الأعلى، وهذا انسداد بارد؛ وحين يكون الهواء أمام الجبهة الدافئة هو الأبرد، تصعد الجبهة الباردة فوقه، وهذا انسداد دافئ.

ما مدى انحدار السطح الجبهي؟ يجمع الجواب التوازن الهيدروستاتيكي إلى التوازن الجيوستروفي في مجلد السنة الأولى.

قضية 22.2 (ميل السطح الجبهي)

ليفصل سطح جبهي هواءً باردًا عند درجة الحرارة $T_c$ عن هواء دافئ عند $T_w$، مع رياح جيوستروفية $v_c$ و$v_w$ على امتداد الجبهة. خذ المحور $x$ عبر الجبهة نحو الهواء البارد والمحور $y$ على امتدادها، بحيث تكون الثلاثية $(x, y, z)$ يمنى. عندئذ يرتفع السطح الجبهي نحو الهواء البارد بالميل

$$\tan\alpha \approx \frac{f\,\bar T\,(v_c - v_w)}{g\,(T_w - T_c)},$$

حيث $\bar T$ درجة الحرارة المتوسطة. فالسطح الجبهي المتوازن يحتاج إلى قفزة في الريح على امتداده، $v_c > v_w$: أي تدور الريح دورانًا إعصاريًّا عبر الجبهة.

مثال 22.3 (ميل نموذجي)

عند $45{}^{\circ}$ شمالًا، $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. وعبر جبهة فيها $\bar T = 280\,\mathrm{K}$، وفرق حرارة قدره $5\,\mathrm{K}$ وريح تتغيّر بمقدار $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على امتدادها، يكون $\tan\alpha = 1.03 \times 10^{-4} \times 280 \times 10/(9.81 \times 5) = 0.0059$، أي نحو 1 من 170: فيبلغ السطح الجبهي ارتفاع $1\,\mathrm{km}$ على بعد نحو $170\,\mathrm{km}$ من الجبهة على الأرض. وتغيّر أحدّ في الريح يعطي سطحًا أشدّ انحدارًا؛ وفرق أقوى في الحرارة يعطي سطحًا ألطف.

للجبهات الحقيقية ميول من هذه الرتبة، والإسفين الضحل يفسّر طقسها. فأمام الجبهة الدافئة ينزلق الهواء الدافئ صاعدًا على منحدر لطيف مئات الكيلومترات: فتصل السحب العالية، السمحاق والسمحاق الطبقي، أوّلًا، ثم الطبقي المتوسط، وتتكاثف السحب وتنخفض حتى يبدأ المطر قرب الجبهة. أمّا الجبهة الباردة، الأشدّ انحدارًا والأسرع، حتى ضعف سرعة الجبهة الدافئة، فترفع الهواء الدافئ فجأة: ركام وركام مزني، وزخّات، وهبّات وانخفاض مفاجئ في الحرارة، مع ضغط يكفّ عن الانخفاض ويبدأ بالارتفاع حين تمرّ الجبهة. والجبهة التي ينزل فيها الهواء الدافئ على السطح الجبهي بدل أن يصعد عليه تُسمّى جبهة هابطة.

22.2 الأعاصير خارج المدارية

تعريف 22.4 (الإعصار خارج المداري؛ نموذج الجبهة القطبية؛ التكوّن الإعصاري)

الإعصار خارج المداري إعصار من العروض الوسطى والعليا، كثيرًا ما يبلغ عرضه نحو $2000\,\mathrm{km}$، ويحوي عادةً جبهات، منها جبهة باردة تمتدّ مئات الكيلومترات نحو خطّ الاستواء. ونموذج الجبهة القطبية يصف حياته موجةً تنمو على الجبهة القطبية، الجبهة الطويلة بين الهواء القطبي والهواء المداري. والتكوّن الإعصاري هو نشوء إعصار أو اشتداده.

يتتبّع النموذج الإعصار عبر أربع مراحل، كما يرسمها الشكل أدناه. جبهة ثابتة تفصل هواءً باردًا يتحرّك غربًا على جانبها القطبي عن هواء دافئ يتحرّك شرقًا على جانبها الاستوائي. ويثني اضطرابٌ الجبهةَ إلى موجة؛ فينخفض الضغط عند قمّتها، ويتكوّن منخفض، وتتقدّم الجبهة شرق المنخفض نحو القطب جبهةً دافئة بينما تتقدّم الجبهة غربه نحو خطّ الاستواء جبهةً باردة. وبينهما يقع القطاع الدافئ. والجبهة الباردة أسرع من الدافئة، فيضيق القطاع الدافئ، وتلحق الجبهة الباردة بالدافئة قرب المنخفض: فيمتدّ الانسداد إلى الخارج من المركز، رافعًا الهواء الدافئ عن الأرض، ويمتلئ الإعصار، وقد انقطع عنه إمداد الهواء الدافئ، ويموت. وتُسمّى النقطة التي تلتقي فيها الجبهات الثلاث النقطة الثلاثية. وفي صور الأقمار الصناعية يُظهر الإعصار الناضج سحابة على شكل فاصلة، وشقًّا جافًّا من الهواء الصافي يلتفّ في جانبيه الجنوبي والشرقي.

ليست جبهات النموذج إلا الأثر السطحي للتيّارات الهوائية في الإعصار، التي يصفها علماء الأرصاد بثلاثة تيّارات: الحزام الناقل الدافئ، أي الهواء الرطب الذي يصعد من القطاع الدافئ أمام الجبهة الباردة؛ والحزام الناقل البارد على الجانب البارد من الجبهات؛ والتوغّل الجافّ، وهو تيّار من الهواء الآتي من أعالي التروبوسفير، وأحيانًا من أدنى الستراتوسفير، ينزل نحو السطح خلف الجبهة الباردة وينتشر قرب الأرض.

من أين تأتي طاقة الإعصار؟ لا من الحرارة الكامنة وحدها، كما في العاصفة الرعدية، بل من فرق الحرارة بين الهواء القطبي والهواء المداري. فالأعاصير في العروض الوسطى تشتدّ في المناطق الباروكلينية، حيث تتغيّر الحرارة أفقيًّا على سطح ضغط ثابت وتتغيّر الريح مع الارتفاع. والإعصار النامي يحمل الهواء الدافئ نحو القطب وإلى الأعلى والهواء البارد نحو خطّ الاستواء وإلى الأسفل: فيخفض مركز كتلة الغلاف الجوي ويحوّل طاقة الوضع إلى طاقة حركية لرياحه. ويدرس مجلد السنة الثالثة ذلك التحويل.

22.3 التيّارات النفّاثة وأمواج روسبي

لا تتوزّع الأعاصير عشوائيًّا. فالتيّار النفّاث القطبي، أي النواة السريعة للرياح الغربية فوق الجبهة القطبية، يرافق موقع المرتفعات والمنخفضات في العروض الوسطى وحركتها؛ ويبلغ أقصى سرعته على امتداد نُواه، أي المقاطع التي تبلغ فيها سرعة ريحه ذروتها، ولا يدور حول القطب حلقةً: بل يتعرّج.

تعريف 22.5 (موجة روسبي؛ الأخدود العلوي والحَيد العلوي)

موجة روسبي موجة في الجريان الغربي لأعالي التروبوسفير، أي سلسلة من الأخاديد والحيود طولها آلاف الكيلومترات وسعتها بين الشمال والجنوب كبيرة. والأخدود العلوي منطقة مستطيلة ذات ضغط منخفض نسبيًّا في مثل هذه الموجة، ينثني فيها الجريان نحو خطّ الاستواء؛ والحَيد العلوي منطقة مستطيلة ذات ضغط مرتفع نسبيًّا، ينثني فيها نحو القطب.

توجد أمواج روسبي لأن معامل كوريوليس يزداد نحو القطب. فالهواء المدفوع نحو القطب يجد $f$ أكبر، فيرتدّ نحو خطّ الاستواء محافظًا على دوّاميته المطلقة؛ والهواء المدفوع نحو خطّ الاستواء يرتدّ نحو القطب. والمعدّل الذي يزداد به $f$ شمالًا، $\beta = \mathrm{d}f/\mathrm{d}y = 2\Omega\cos\varphi/a$ حيث $a$ نصف قطر الأرض، يحدّد سرعتها. ويشتقّ مجلد السنة الثالثة، من حفظ الدوّامية، سرعة الطور لموجة طولها $\lambda$ في ريح غربية منتظمة $U$:

سلِّم بها هنا. فبالنسبة إلى الهواء، تتحرّك كلّ موجة روسبي غربًا، وكلّما طالت الموجة كانت أسرع؛ والريح تحملها شرقًا. فالأمواج القصيرة تحملها الريح شرقًا بسرعة الريح تقريبًا، والطويلة تنجرف ببطء، أو تثبت، أو حتى تتحرّك غربًا.

مثال 22.6 (ثلاث موجات عند خطّ العرض 45 شمالًا)

مع $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ (يوم نجمي طوله $23.9345\,\mathrm{h}$) و$a = 6371\,\mathrm{km}$، يكون $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند $45{}^{\circ}$ شمالًا. وفي ريح غربية سرعتها $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، للموجة التي طولها $4000\,\mathrm{km}$ القيمة $\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ فتتحرّك شرقًا بسرعة $8.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وللتي طولها $6000\,\mathrm{km}$ القيمة $\beta/k^2 = 14.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ فتكاد لا تتحرّك، بسرعة $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ والتي طولها $8000\,\mathrm{km}$ تتحرّك غربًا بسرعة $11.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

أخاديد الأمواج الطويلة تتحرّك ببطء وتدوم طويلًا؛ أمّا الأمواج القصيرة التي تعبرها، أي الأخاديد القصيرة، فتحدث هواءً صاعدًا أمامها، على جانبها الشرقي، حيث ينخفض الضغط السطحي وتنشأ المنخفضات. والأخدود الذي يميل محوره من الجنوب الشرقي إلى الشمال الغربي علامة في الغالب على نظام ينشأ أو يشتدّ.

وأحيانًا يتوقّف النمط عن الحركة تمامًا.

تعريف 22.7 (الحجب الجوّي)

الحجب الجوّي نظام ضغط مرتفع كبير ومستمرّ وشبه ثابت، يقترن أحيانًا بمنخفض، يقطع الجريان الطبيعي للتيّار النفّاث نحو الشرق. وتكاد طرائق رصد الحجب كلّها تشترط أن يدوم خمسة أيام على الأقلّ.

يحرف الحجبُ التيّار النفّاث والأعاصير من حوله ويُبقي الطقس نفسه فوق المنطقة نفسها أيامًا: فالحجب تجلب موجات الحرّ والجفاف وحرائق الغابات وموجات البرد والفيضانات إلى العروض الوسطى. وفي أواخر يونيو وأوائل يوليو 2021 أدّى حجب قويّ إلى موجة الحرّ في شمال غرب المحيط الهادئ من أمريكا الشمالية، التي سبّبت أكثر من ألف وفاة. والعمليات الفيزيائية وراء الحجب لا تزال غير مفهومة جيّدًا، وتعجز النماذج العددية عن إعادة إنتاج تكرار حدوث الحجب ومدّة بقائها.

22.4 الأعاصير المدارية

ليس للأعاصير المدارية جبهات ولا فرق حرارة تتغذّى عليه. فهي تستمدّ طاقتها من المحيط الدافئ، عبر الحرارة الكامنة للماء الذي تبخّره، كما قاسها الفصل 21. وتساعد ستّة شروط على تكوّنها: ماء محيط لا تقلّ حرارته عن $26.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ حتى عمق من رتبة $50\,\mathrm{m}$؛ وغلاف جوي يبرد بسرعة كافية مع الارتفاع ليكون غير مستقرّ للحمل الرطب؛ وتروبوسفير أوسط رطب، حول $5\,\mathrm{km}$؛ وبعد لا يقلّ عن نحو $500\,\mathrm{km}$ عن خطّ الاستواء، لتستطيع قوّة كوريوليس إبقاء المنخفض في توازن؛ واضطراب سابق قرب السطح؛ وقصّ رأسي ضعيف للريح، أقلّ من نحو $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ بين السطح وأعالي التروبوسفير. وهي ضرورية لكنها غير كافية: فكثير من الاضطرابات التي تستوفيها لا تتطوّر أبدًا.

والإعصار المداري، متى تكوّن، محرّك حراري. فالهواء يلتفّ نحو الداخل فوق البحر عند حرارة شبه ثابتة، مكتسبًا حرارة ورطوبة من المحيط؛ وفي جدار العين يصعد أديباتيًّا؛ وفي التدفّق الخارج قرب التروبوبوز يفقد حرارة بالإشعاع عند حرارة منخفضة شبه ثابتة؛ ثم يهبط ثانية بعيدًا عن المركز، فيكمل دورة تشبه دورة كارنو. وشغل الدورة يدفع الرياح ضدّ احتكاك سطح البحر.

قضية 22.8 (الشدّة الكامنة)

الشدّة الكامنة لإعصار مداري، أي أقصى سرعة ريح قرب السطح يستطيع المحيط والغلاف الجوي المحيطان به إدامتها، تُعطى تقريبًا بالعلاقة

$$V_{\max}^2 = \frac{C_k}{C_D}\,\frac{T_s - T_o}{T_o}\,\bigl(h_o^* - h^*\bigr),$$

حيث $T_s$ درجة حرارة سطح البحر، و$T_o$ درجة حرارة التدفّق الخارج، و$C_k/C_D$ نسبة معاملَي تبادل الإنثالبي والزخم بين البحر والهواء، وتؤخذ عادة 0.9، و$h_o^* - h^*$ زيادة $c_pT + gz + Lq$ عند التشبّع عند سطح البحر على قيمتها عند التشبّع في الهواء فوق الطبقة الحدّية (مسلَّم بها).

الكسر $(T_s - T_o)/T_o$ ليس مردود كارنو $(T_s - T_o)/T_s$ في كتب الفيزياء: بل هو أكبر منه بالعامل $T_s/T_o$، لأن الاحتكاك الذي يبدّد الشغل يسخّن الهواء المتدفّق نحو الداخل قرب سطح البحر، فيستعمل المحرّك تلك الحرارة ثانية. والعامل الأخير هو الوقود. ففي غلاف جوي مداري تتبع حرارته المنحنى الأديباتي الرطب لهواء طبقته الحدّية، تكون $h^*$ قيمة $c_pT + gz + Lq$ في ذلك الهواء، ويقيس $h_o^* - h^*$ مدى بعد الهواء فوق البحر عن التشبّع عند حرارة البحر:

حيث $T_a$ و$q_a$ درجة حرارة الهواء قرب السطح ورطوبته النوعية و$q_s^*$ الرطوبة النوعية المشبعة عند درجة حرارة سطح البحر.

مثال 22.9 (شدّة كامنة)

فوق بحر عند $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ يكون الهواء عند $1015\,\mathrm{hPa}$ في $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ مع رطوبة نسبية قدرها $80\,\%$، والتدفّق الخارج عند $200\,\mathrm{K}$، وهو متوسط سنوي نموذجي فوق المحيطات المدارية الدافئة. ووفق القضايا 21.5 و21.2، $e_s(29\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 41.0\,\mathrm{hPa}$، فيكون $q_s^* = 25.5\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$، وللهواء، مع $e = 0.8 \times 38.7\,\mathrm{hPa}$، القيمة $q_a = 19.2\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$. ومن ثَمّ $h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0063 = 16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$، والعامل $(T_s - T_o)/T_o$ هو $(302.15 - 200)/200 = 0.511$، و$V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.511 \times 16\,800} = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

تقترب أقوى العواصف من مثل هذه القيم: فقمّة سلّم سافير–سيمبسون، الفئة 5، تبدأ عند $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، وقد تجاوزت خمس عواصف حديثة $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. ومعظم العواصف نادرًا ما تبلغ شدّتها الكامنة: فالعواصف الحقيقية قلّما تكون في الحالة المستقرّة التي تفترضها النظرية، والنظرية تُغفل القصّ الرأسي للريح، والهواء الجاف المسحوب إلى العاصفة وهبوط الهواء من حولها، وكلّها تُضعف العاصفة.

22.5 التنبّؤ العددي بالطقس

تعريف 22.10 (التنبّؤ العددي بالطقس؛ تمثيل البيانات؛ التنبّؤ التجميعي؛ حدّ قابلية التنبّؤ)

التنبّؤ العددي بالطقس هو التنبّؤ بالحاسوب: تُكامل المعادلات التي تحكم حركة الغلاف الجوي وطاقته وماءه تقدّمًا في الزمن من حالته المرصودة. وتمثيل البيانات يجمع أحدث الأرصاد إلى تنبّؤ قصير المدى انطلق من أرصاد سابقة للحصول على أفضل تقدير للحالة الراهنة، أي التحليل، الذي ينطلق منه التنبّؤ. والتنبّؤ التجميعي مجموعة من التنبّؤات تُشغَّل من حالات ابتدائية مختلفة قليلًا، وبصيغ مختلفة قليلًا من النموذج، لإظهار مدى الطقس الممكن واحتماله. وحدّ قابلية التنبّؤ هو الزمن الذي لا يعود بعده التنبّؤ بحالة الطقس أفضل من تخمين مستمدّ من المناخ، لأن أخطاء الحالة الابتدائية نمت حتى صارت بحجم الفروق بين أيّ حالتين للغلاف الجوي.

حُسب أوّل تنبّؤ عددي عام 1950 على حاسوب إنياك، أحد أوائل الحواسيب الإلكترونية. ونموذج عالمي اليوم يقسم الغلاف الجوي إلى شبكة من خلايا عرض كلّ منها بضعة كيلومترات وينطلق من تحليل يمزج أرصادًا من محطّات الأرصاد والطائرات والمسابير اللاسلكية والسفن والعوّامات، وفوق كلّ شيء الأقمار الصناعية، التي تقدّم أكبر إسهام في مهارة التنبّؤات العالمية. وفي أحد مراكز التنبّؤ الكبرى تضمّ المجموعة 51 عضوًا، تشغيلًا ضابطًا و50 تشغيلًا مضطربًا، بدقّة نحو $9\,\mathrm{km}$، تُشغَّل مرّتين في اليوم حتى 15 يومًا مقبلة.

لماذا نُحدث اضطرابًا في تنبّؤ كان يمكن أن ينطلق من أفضل تحليل؟ لأن الغلاف الجوي فوضوي، حسّاس لحالته الابتدائية. ونظام من ثلاثة متغيّرات، نُشر عام 1963، يبيّن ذلك على أصغر مقياس.

قضية 22.11 (نظام لورنتز)

للنظام

$$\dot x = \sigma(y - x), \qquad \dot y = x(r - z) - y, \qquad \dot z = xy - bz,$$

مع $\sigma = 10$ و$r = 28$ و$b = 8/3$، الخصائص الآتية.

1. نقاطه الثابتة هي الأصل و$C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{b(r - 1)}, \pm\sqrt{b(r - 1)}, r - 1\bigr) = (\pm 8.49, \pm 8.49, 27)$.
2. كلّ حجم في فضاء طوره يتقلّص بالشكل $\mathrm{e}^{-(\sigma + 1 + b)t}$: فتنتهي مساراته على مجموعة حجمها صفر، هي الجاذب.
3. على الجاذب، يتباعد مساران يبدآن على مسافة صغيرة $\delta_0$ أحدهما من الآخر، في المتوسط، بالشكل $\delta(t) \approx \delta_0\,\mathrm{e}^{\lambda t}$، مع $\lambda = 0.906$، حتى تبلغ $\delta$ حجم الجاذب (محسوب، ومسلَّم به). فالأخطاء الصغيرة تتضاعف كلّ $\ln 2/\lambda = 0.77$ وحدة زمنية.

تبيّن الأشكال معنى القضية. فتشغيلان يبدآن على بعد $10^{-5}$ أحدهما من الآخر يتبع أحدهما الآخر نحو خمس عشرة وحدة زمنية، ثم يفترقان نهائيًّا: كلّ منهما لا يزال يبدو مسارًا معقولًا للنظام، لكنهما لم يعودا المسار نفسه. وبأخذ المتوسط على 200 زوج من التشغيلات بدأت على بعد $10^{-8}$، تنمو المسافة أُسّيًّا بالمعدّل $\lambda$، أي خطًّا مستقيمًا على مقياس لوغاريتمي، حتى تتشبّع عند حجم الجاذب. وأيًّا كان الخطأ الابتدائي، فهو يبلغ ذلك الحجم: والخطأ الابتدائي الأصغر لا يفعل إلا أن يؤخّر اللحظة، بمقدار $\ln 10/\lambda = 2.5$ وحدة زمنية لكلّ تخفيض بعشرة أضعاف.

يسلك الغلاف الجوي المسلك نفسه، بمتغيّرات أكثر بكثير وبأخطاء تنمو بمعدّلات مختلفة على مقاييس مختلفة. فمن تنبّؤات ثمانينيات القرن العشرين، وُجد أن الأخطاء الصغيرة تتضاعف في نحو 2.4 يوم، وأن التنبّؤ الموثوق بحالة الطقس يتوقّف دون نحو عشرة أيام. والتجارب التي تقلّص شكّ الحالة الابتدائية اليوم، مع نموذج مفترض كاملًا، تجد أن الشروط الابتدائية الكاملة لن تضيف إلا أربعة إلى خمسة أيام، وأن تخفيضًا بنسبة 90 في المئة يعطي معظم ذلك سلفًا: فكلّما صغرت الأخطاء، نمت أسرع، عبر تحرّر الحرارة الكامنة في الحمل، على مقاييس أصغر ممّا يستطيع التنبّؤ تمييزه. ويقع حدّ قابلية التنبّؤ في العروض الوسطى حول أسبوعين. والتنبّؤات تكسب نحو يوم كلّ عقد لأن الأرصاد وتمثيل البيانات والنماذج الأفضل تقرّبها من ذلك الحدّ؛ لكنها لا تستطيع تجاوزه.

والتنبّؤ التجميعي يحوّل هذا إلى أداة. فأعضاؤه ينطلقون من تحليلات تختلف بقدر ما يكون التحليل نفسه غير مؤكّد؛ فما داموا متّفقين، يكون التنبّؤ حادًّا؛ وحين يتباعدون، يجب أن يقول التنبّؤ ذلك، فيعطي احتمالات. ويُسمّى التنبّؤ موثوقًا حين تقع الأحداث التي يعلنها باحتمال $70\,\%$ في $70\,\%$ من الحالات.

في المختبر — يوم في مركز للتنبّؤ

في مركز عالمي للتنبّؤ يدور اليوم حول موعدين، الساعة 00 والساعة 12 بالتوقيت العالمي المنسّق. فتصل الأرصاد الصالحة حول كلّ موعد بالملايين، من الأقمار الصناعية والمسابير اللاسلكية والطائرات والسفن والعوّامات ومحطّات الأرصاد؛ ويمزجها تمثيل البيانات مع التنبّؤ القصير السابق في التحليل. وتنطلق النماذج منه، والتنبّؤ التجميعي كذلك، وتصل التنبّؤات إلى مستعمليها بعد ساعات عدّة، بعد أن تكون الحواسيب الفائقة قد حسبت 15 يومًا مقبلة. ثم يقارن المتنبّئون التشغيلات، ويتحقّقون منها في ضوء أحدث الأرصاد وصور الأقمار الصناعية، ويتتبّعون الأعاصير والجبهات، ويحوّلون احتمالات التنبّؤ التجميعي إلى إنذارات وتنبّؤات.

التمارين

معطيات التمارين، ما لم يُذكر غير ذلك: $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$a = 6371\,\mathrm{km}$، و$g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$، و$c_p = 1004.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$، و$L = 2.501 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$، وضغط البخار المشبع الوارد في تمارين الفصل 21.

تمرين 22.1 ★

عند $50{}^{\circ}$ شمالًا تفصل جبهة باردة هواءً عند $275\,\mathrm{K}$ عن هواء عند $281\,\mathrm{K}$، وتتغيّر الريح على امتدادها بمقدار $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (أ) احسب $f$. (ب) احسب ميل السطح الجبهي، بالصيغة 1 من $N$. (ج) على أيّ مسافة خلف الجبهة على الأرض يبلغ السطح الجبهي ارتفاع $1\,\mathrm{km}$؟ (د) ماذا يحدث للميل إذا تضاعف فرق الحرارة مع بقاء تغيّر الريح نفسه؟

حل

حل التمرين 22.1.

(أ) $f = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \sin50{}^{\circ} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) مع $\bar T = 278\,\mathrm{K}$، يكون $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 278 \times 15/(9.81 \times 6) = 0.00791$، أي نحو 1 من 126. (ج) $1/0.00791 = 126$: على بعد نحو $126\,\mathrm{km}$ خلف الجبهة. (د) الميل يتناسب عكسيًّا مع فرق الحرارة: فينخفض إلى النصف، إلى 1 من 253.

تمرين 22.2 ★

يرتفع سطح جبهي دافئ بميل 1 من 150 ويتحرّك بسرعة $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (أ) على أيّ مسافة أمام الجبهة على الأرض يقع السطح الجبهي على ارتفاع $6\,\mathrm{km}$؟ (ب) يرى راصد سحبًا عالية تتكوّن عليه هناك. بعد كم من الوقت تصل الجبهة إلى الراصد؟ (ج) صِف تتابع السحب التي يراها الراصد في أثناء ذلك.

حل

حل التمرين 22.2.

(أ) $6 \times 150 = 900\,\mathrm{km}$ أمامها. (ب) $900/25 = 36\,\mathrm{h}$، أي يوم ونصف. (ج) أوّلًا السمحاق العالي، ثم السمحاق الطبقي، ثم الطبقي المتوسط؛ فالسحب تتكاثف وتنخفض، ويبدأ المطر من السحب المنخفضة الكثيفة كلّما اقتربت الجبهة.

تمرين 22.3 ★

على خريطة لنصف الكرة الشمالي، (أ) خطّ عليه مثلّثات زرقاء على جانبه الجنوبي الشرقي يمتدّ نحو الجنوب الغربي من منخفض؛ (ب) خطّ عليه أنصاف دوائر حمراء على جانبه الشمالي يمتدّ شرقًا من المنخفض نفسه؛ (ج) خطّ بنفسجي يحمل الرمزين معًا يمتدّ من منخفض آخر إلى نقطة تبدأ منها جبهتان أخريان؛ (د) خطّ تتناوب عليه مثلّثات زرقاء على جانبه الجنوبي وأنصاف دوائر حمراء على جانبه الشمالي. سمِّ كلّ جبهة، وبيّن أين الهواء البارد وفي أيّ اتجاه تتحرّك كلّ منها.

حل

حل التمرين 22.3.

تشير الرموز إلى اتجاه حركة الجبهة، وإلى الهواء الأدفأ أمام الجبهة الباردة أو الهواء الأبرد أمام الجبهة الدافئة. (أ) جبهة باردة: يقع الهواء البارد إلى شمالها الغربي، خلفها؛ وتتحرّك نحو الجنوب الشرقي. (ب) جبهة دافئة: يقع الهواء البارد إلى شمالها، أمامها؛ وتتحرّك شمالًا. (ج) جبهة مسدودة، تصل المنخفض بالنقطة الثلاثية التي تبدأ منها الجبهتان الباردة والدافئة؛ ويقع الهواء البارد على جانبيها، والهواء الدافئ مرفوع فوقه؛ وتتحرّك في الاتجاه الذي تشير إليه رموزها. (د) جبهة ثابتة: تشير المثلّثات جنوبًا نحو الهواء الدافئ، فيقع الهواء البارد إلى الشمال؛ وتكاد لا تتحرّك.

تمرين 22.4 ★

عند $45{}^{\circ}$ شمالًا في ريح غربية سرعتها $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: (أ) احسب $\beta$. (ب) احسب سرعة الطور لموجتين طولهما $4000\,\mathrm{km}$ و$8000\,\mathrm{km}$. (ج) في أيّ اتجاه تتحرّك كلّ منهما، وما المسافة التي تقطعها في يوم؟

حل

حل التمرين 22.4.

(أ) $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos45{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) للموجة التي طولها $4000\,\mathrm{km}$، $k = 1.571 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$، و$\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و$c = 12 - 6.6 = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ وللتي طولها $8000\,\mathrm{km}$، $\beta/k^2 = 26.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ و$c = -14.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) تتحرّك الموجة القصيرة شرقًا، $470\,\mathrm{km}$ في اليوم؛ وتتحرّك الطويلة غربًا، $1240\,\mathrm{km}$ في اليوم، عكس الريح.

تمرين 22.5 ★★

(أ) بيّن أن موجة روسبي تثبت في ريح غربية $U$ حين يكون $\lambda = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. (ب) احسبه عند $45{}^{\circ}$ شمالًا مع $U = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) كم موجة كهذه تتّسع لها دائرة العرض؟ (د) لماذا ترجّح ريح غربية أقوى عددًا أقلّ من الموجات الثابتة الأطول؟

حل

حل التمرين 22.5.

(أ) $c = 0$ حين يكون $U = \beta/k^2$، فيكون $k = \sqrt{\beta/U}$ و$\lambda = 2\pi/k = 2\pi\sqrt{U/\beta}$. (ب) $2\pi\sqrt{12/(1.62 \times 10^{-11})} = 5410\,\mathrm{km}$. (ج) يبلغ طول دائرة العرض $45{}^{\circ}$ القيمة $2\pi \times 6371 \times \cos45{}^{\circ} = 28\,300\,\mathrm{km}$: أي نحو 5.2 موجة، فخمس موجات عمليًّا. (د) يزداد $\lambda$ بالشكل $\sqrt U$: فالريح الغربية الأقوى تجعل الموجات الثابتة أطول، فيتّسع نصف الكرة لعدد أقلّ منها.

تمرين 22.6 ★★

لنظام لورنتز: (أ) تحقّق من أن $C_+$ نقطة ثابتة بحساب المشتقّات الثلاث عندها. (ب) بأيّ عامل يتقلّص حجم صغير من فضاء الطور في وحدة زمنية واحدة؟ (ج) لماذا لا يمنع هذا مسارين متجاورين من التباعد؟

حل

حل التمرين 22.6.

(أ) عند $C_+ = (\sqrt{72}, \sqrt{72}, 27)$: $\dot x = 10(\sqrt{72} - \sqrt{72}) = 0$، $\dot y = \sqrt{72}(28 - 27) - \sqrt{72} = 0$، $\dot z = 72 - \tfrac83 \times 27 = 72 - 72 = 0$. (ب) $\mathrm{e}^{-13.67} = 1.16 \times 10^{-6}$: يتقلّص الحجم نحو مليون مرّة في وحدة زمنية واحدة. (ج) يمكن أن يتقلّص حجم بينما يتمدّد في اتجاه واحد وينضغط بشدّة أكبر بكثير في الاتجاهات الأخرى: فتنمو المسافة على امتداد الاتجاه المتمدّد، ويتباعد مساران متجاوران على امتداده، بينما يتلاشى الحجم بينهما.

تمرين 22.7 ★★

خذ $\lambda = 0.906$ لنظام لورنتز وحجمًا للجاذب قدره 10. (أ) احسب زمن تضاعف الأخطاء الصغيرة. (ب) كم يستغرق خطأ قدره $10^{-8}$ ليبلغ حجم الجاذب؟ (ج) بكم يؤخّر خطأ ابتدائي أصغر بألف مرّة تلك اللحظة؟ وما الكسر الذي يمثّله ذلك من الزمن الذي وُجد في (ب)؟

حل

حل التمرين 22.7.

(أ) $\ln 2/0.906 = 0.765$ وحدة زمنية. (ب) $\ln(10/10^{-8})/0.906 = \ln(10^9)/0.906 = 22.9$ وحدة زمنية. (ج) $\ln 1000/0.906 = 7.6$ وحدة زمنية: فتحسين الحالة الابتدائية ألف مرّة لا يشتري إلا ثلث الزمن الذي وُجد في (ب)، لأن $\ln 10^3/\ln 10^9 = 1/3$.

تمرين 22.8 ★★

بحر عند $303\,\mathrm{K}$ تدفّقه الخارج عند $195\,\mathrm{K}$؛ وعدم التوازن هو $h_o^* - h^* = 15\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ و$C_k/C_D = 0.9$. (أ) احسب الشدّة الكامنة. (ب) قارنها بعتبة الفئة 5 وبأسرع العواصف الحديثة. (ج) لماذا لا تبلغها معظم العواصف؟

حل

حل التمرين 22.8.

(أ) $(303 - 195)/195 = 0.554$ و$V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.554 \times 15\,000} = 86.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ب) أعلى بكثير من $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ للفئة 5، وقريبة من $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ التي تجاوزتها خمس عواصف حديثة. (ج) نادرًا ما تبقى العواصف طويلًا في الحالة المستقرّة التي تفترضها النظرية؛ والقصّ الرأسي للريح، والهواء الجاف المسحوب إلى العاصفة والهواء الهابط من حولها، وهي ما تُغفله النظرية، تُضعفها.

تمرين 22.9 ★★

للعاصفة في التمرين 22.8: (أ) احسب مردود كارنو لمحرّك يعمل بين سطح البحر والتدفّق الخارج. (ب) احسب العامل $(T_s - T_o)/T_o$ في القضية 22.8 والنسبة بينهما. (ج) فسّر الفرق.

حل

حل التمرين 22.9.

(أ) $(303 - 195)/303 = 0.356$. (ب) $(303 - 195)/195 = 0.554$؛ والنسبة $0.554/0.356 = 303/195 = 1.554$. (ج) في محرّك كارنو يغادر الشغلُ المحرّك. أمّا في الإعصار المداري فيتبدّد الشغل بالاحتكاك قرب سطح البحر، وتلك الحرارة تدفّئ الهواء المتدفّق نحو الداخل عند درجة الحرارة $T_s$، حيث يأخذ المحرّك حرارته: فتُستعمل ثانية، ويسلك المحرّك كأن مردوده أكبر بالعامل $T_s/T_o$.

تمرين 22.10 ★★★

(أ) أعد اشتقاق القضية 22.2، محتفظًا بالكثافات الدقيقة، وبيّن أن الهواء البارد يجب أن يقع في الأسفل. (ب) عبر منطقة جبهية عرضها $50\,\mathrm{km}$ عند $45{}^{\circ}$ شمالًا تتغيّر الريح على امتداد الجبهة بمقدار $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. احسب الدوّامية النسبية للمنطقة وقارنها بالمعامل $f$. (ج) هل المنطقة إعصارية أم ضدّ إعصارية؟

حل

حل التمرين 22.10.

(أ) اشتقاق القضية 22.2 دون تقريب يعطي $\mathrm{d}z/\mathrm{d}x = f(\rho_c v_c - \rho_w v_w)/[g(\rho_c - \rho_w)]$. والمائع الأكثف المستقرّ فوق مائع أخفّ غير مستقرّ: فأدنى اضطراب يجعله ينقلب. ففي جبهة ساكنة يجب إذن أن يقع الهواء البارد الأكثف في الأسفل، وهو الإسفين الوارد في التعريف؛ وعندئذ $\rho_c > \rho_w$، ويرتفع السطح نحو الهواء البارد، و$\rho_c v_c > \rho_w v_w$. (ب) $\zeta = \partial v/\partial x = 10/(50 \times 10^3) = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$، أي نحو $1.9f$ مع $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ج) موجبة في نصف الكرة الشمالي: إعصارية، وبقدر معامل كوريوليس نفسه؛ فالجبهات أشرطة من الدوّامية الإعصارية الشديدة.

تمرين 22.11 ★★★

افترض أن أخطاء التنبّؤ تتضاعف كلّ 2.4 يوم، وتبدأ عند $0.5\,\mathrm{K}$ وتصبح عديمة الجدوى عند $6\,\mathrm{K}$. (أ) أوجد أفق التنبّؤات المفيدة. (ب) بأيّ عامل يجب أن يتقلّص الخطأ الابتدائي كلّ عقد لكسب يوم في كلّ عقد، لو كان النموذج كاملًا؟ (ج) تجد التجارب أن خطأً ابتدائيًّا أصغر بعشر مرّات لا يكسب إلا 4 إلى 5 أيام. أيّ زمن تضاعف يقتضيه ذلك للأخطاء الصغيرة، وماذا يقول عن طريقة نموّ الأخطاء الصغيرة؟

حل

حل التمرين 22.11.

(أ) $\log_2(6/0.5) = \log_2 12 = 3.58$ تضاعف، و$3.58 \times 2.4 = 8.6$ يوم. (ب) كلّ يوم إضافي من التنبّؤ يتطلّب نموًّا أقلّ بزمن تضاعف واحد قبل أن يصبح الخطأ عديم الجدوى: فيجب أن يتقلّص الخطأ الابتدائي بالعامل $2^{1/2.4} = 1.33$ كلّ عقد. (ج) التخفيض بعشر مرّات يساوي $\log_2 10 = 3.32$ تضاعف؛ فإن لم يكسب إلا 4 إلى 5 أيام، فالأخطاء الصغيرة تتضاعف في $4/3.32 = 1.2$ إلى $5/3.32 = 1.5$ يوم: فالأخطاء الأصغر تنمو أسرع من الأكبر التي قيست في تنبّؤات ثمانينيات القرن العشرين، عبر الحرارة الكامنة المتحرّرة في الحمل على المقاييس الصغيرة.

تمرين 22.12 ★★★

خذ المثال 22.9 وسخّن البحر والهواء كليهما بمقدار $1\,\mathrm{K}$، مع بقاء الرطوبة النسبية ودرجة حرارة التدفّق الخارج دون تغيير. (أ) أعد حساب $q_s^*$ و$q_a$ وعدم التوازن. (ب) أعد حساب الشدّة الكامنة. (ج) بكم في المئة لكل كلفن ترتفع، وأيّ العوامل يسهم أكثر من غيره؟

حل

حل التمرين 22.12.

(أ) عند $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، $e_s = 43.5\,\mathrm{hPa}$ و$q_s^* = 27.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$؛ وللهواء عند $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ القيمة $e = 0.8 \times 41.0 = 32.8\,\mathrm{hPa}$ و$q_a = 20.4\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$؛ و$h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0067 = 17.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$، مقابل $16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. (ب) $(303.15 - 200)/200 = 0.516$ و$V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.516 \times 17\,800} = 90.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، مقابل $87.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (ج) نحو $3.4\,\%$ لكل كلفن. فعدم التوازن يرتفع بنسبة $6\,\%$، فيضيف $3\,\%$ إلى السرعة؛ ويرتفع العامل $(T_s - T_o)/T_o$ بنسبة $1\,\%$، فيضيف $0.5\,\%$: فالوقود، أي الرطوبة التي يستطيع البحر الأدفأ تقديمها، هو الأكثر إسهامًا، عبر الارتفاع الأسّي للضغط $e_s$.

مسألة 22.1

مسألة نهاية الأسبوع — إلى أيّ مدى مقبل؟

تُظهر خريطة طقس مختلَقة عند $50{}^{\circ}$ شمالًا جبهة باردة تتقدّم نحو بلدة، وفوقها موجة روسبي في التيّار النفّاث. تتبع المسألة الجبهة، ثم الموجة، ثم تسأل إلى أيّ مدى مقبل يمكن التنبّؤ بأيّ من ذلك. استعمل معطيات التمارين.

الجزء الأول — الجبهة. في الساعة 06 بالتوقيت العالمي المنسّق تكون الجبهة الباردة على بعد $480\,\mathrm{km}$ غرب البلدة، وفي الساعة 12 على بعد $390\,\mathrm{km}$. وخلفها يكون الهواء عند $277\,\mathrm{K}$، وفي القطاع الدافئ عند $285\,\mathrm{K}$، وتتغيّر الريح على امتداد الجبهة بمقدار $16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عبرها.

1. أوجد سرعة الجبهة.
2. في أيّ ساعة تصل إلى البلدة؟
3. احسب $f$ عند $50{}^{\circ}$ شمالًا.
4. احسب ميل السطح الجبهي.
5. ما ارتفاع السطح الجبهي فوق البلدة بعد ستّ ساعات من مرور الجبهة؟
6. بعد كم من الوقت من المرور يبلغ الهواء البارد ارتفاع $1.5\,\mathrm{km}$ فوق البلدة؟
7. ما الطقس الذي تشهده البلدة حين تمرّ الجبهة، وكيف يتغيّر الضغط؟

الجزء الثاني — الموجة في الأعالي. في التيّار النفّاث فوقها، تبلغ سرعة الريح الغربية $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ وطول الموجة $5000\,\mathrm{km}$.

8. احسب $\beta$ عند $50{}^{\circ}$ شمالًا.
9. احسب $k$ و$\beta/k^2$.
10. أوجد سرعة طور الموجة.
11. ما المسافة التي يقطعها الأخدود في 24 ساعة؟
12. أوجد طول الموجة الذي يثبت في هذه الريح، وكم موجة كهذه تتّسع لها دائرة العرض $50{}^{\circ}$ شمالًا.
13. أين ينبغي أن يتعمّق الإعصار السطحي بالنسبة إلى الأخدود العلوي؟

الجزء الثالث — غلاف جوي مصغَّر. في شكل نموّ الأخطاء في نظام لورنتز، يمرّ الخطّ الموفَّق بالقيمة $5 \times 10^{-7}$ تقريبًا عند $t = 4$ وبالقيمة $3.9 \times 10^{-3}$ عند $t = 14$.

14. من هاتين القراءتين، احسب معدّل النموّ $\lambda$.
15. احسب زمن التضاعف.
16. قارن بالأسّ المنشور 0.906.
17. لماذا تتوقّف المسافة عن النموّ، عند نحو 15؟
18. كم يتأخّر خطأ أصغر بعشر مرّات في بلوغ ذلك الحجم؟

الجزء الرابع — إلى أيّ مدى مقبل؟ خذ زمن التضاعف 2.4 يوم الذي وُجد للأخطاء الصغيرة في تنبّؤات ثمانينيات القرن العشرين، وخطأً ابتدائيًّا قدره $0.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ في درجة الحرارة عند مستوى ما، وتنبّؤًا يصبح عديم الجدوى متى بلغ الخطأ $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. كم تضاعفًا يفصل الخطأ الابتدائي عن الخطأ الذي يجعل التنبّؤ عديم الجدوى؟
20. كم يومًا يستغرق ذلك؟
21. كم يومًا يكسب تنصيف الخطأ الابتدائي؟
22. مع التقدير الأقدم لزمن تضاعف قدره 5 أيام، أيّ أفق يجده المرء؟
23. تجد التجارب الحديثة أن خطأً ابتدائيًّا أصغر بعشر مرّات، بل حالةً ابتدائية كاملة، لا يكسب إلا 4 إلى 5 أيام. لماذا يوحي ذلك بأن تقدير السؤال 20 متفائل؟
24. خلاصة القول: إلى أيّ مدى مقبل، بالأيام، يمكن أن يكون هذا التنبّؤ مفيدًا؟

حل

حل المسألة 22.1.

1. $(480 - 390)/6 = 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. 2. $390/15 = 26\,\mathrm{h}$ بعد الساعة 12 بالتوقيت العالمي المنسّق: أي الساعة 14 من اليوم التالي. 3. $f = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$. 4. مع $\bar T = 281\,\mathrm{K}$، يكون $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 281 \times 16/(9.81 \times 8) = 0.0064$، أي نحو 1 من 156. 5. تكون الجبهة عندئذ على بعد $6 \times 15 = 90\,\mathrm{km}$ وراء البلدة؛ ويقع السطح على ارتفاع $90\,000 \times 0.0064 = 576\,\mathrm{m}$ فوقها. 6. $1500/0.0064 = 234\,\mathrm{km}$ خلف الجبهة، ويُبلغ بعد $234/15 = 15.6\,\mathrm{h}$ من المرور. 7. سحب ركامية وركامية مزنية، وزخّات، وربّما رعد، وهبّات ريح وهبوط مفاجئ في الحرارة؛ والضغط، الذي ينخفض مع اقتراب الجبهة، يبدأ بالارتفاع حين تمرّ؛ ثم هواء أبرد وأصفى. 8. $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos50{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.47 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$. 9. $k = 2\pi/(5 \times 10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ و$\beta/k^2 = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. 10. $c = 20 - 9.3 = 10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، نحو الشرق. 11. $10.7 \times 86\,400 = 924\,\mathrm{km}$ نحو الشرق. 12. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{20/(1.47 \times 10^{-11})} = 7330\,\mathrm{km}$؛ ويبلغ طول دائرة العرض $50{}^{\circ}$ القيمة $2\pi \times 6371 \times \cos50{}^{\circ} = 25\,700\,\mathrm{km}$، أي نحو 3.5 موجة كهذه. 13. أمامه، على جانبه الشرقي، حيث تُحدث الأمواج القصيرة هواءً صاعدًا وينخفض الضغط السطحي. 14. $\lambda = \ln(3.9 \times 10^{-3}/5 \times 10^{-7})/(14 - 4) = \ln 7800/10 = 0.896$. 15. $\ln 2/0.896 = 0.77$ وحدة زمنية. 16. أقلّ بنسبة $1\,\%$ من 0.906: متوسط 200 زوج، وزمن محدود، وقراءات من رسم بياني. 17. متى تباعد التشغيلان كثيرًا، وقعا في نقطتين لا علاقة بينهما من الجاذب، ولا يمكن أن تتجاوز المسافة بينهما حجمه: فيتشبّع النموّ. 18. بعد $\ln 10/0.896 = 2.6$ وحدة زمنية. 19. $\log_2(3/0.1) = \log_2 30 = 4.91$ تضاعف. 20. $4.91 \times 2.4 = 11.8$ يوم. 21. زمن تضاعف واحد: 2.4 يوم. 22. $4.91 \times 5 = 24.5$ يوم: كان التقدير الأوّل متفائلًا أكثر بكثير ممّا ينبغي. 23. مع زمن تضاعف قدره 2.4 يوم، يكسب خطأ أصغر بعشر مرّات $3.32 \times 2.4 = 8.0$ يوم، لا 4 إلى 5: فالأخطاء الصغيرة تنمو أسرع من تضاعف كلّ 2.4 يوم، والتقدير المبنيّ على زمن التضاعف ذاك يبالغ في الأفق. 24. يمكن أن يكون هذا التنبّؤ مفيدًا 12 يومًا على الأكثر تقريبًا، وفي الواقع أقلّ من ذلك.