28الأخطار الجيولوجية ومخاطرها

إنّ مبنًى صُمِّم لتحمّل حركة الأرض التي تُتجاوز، في المتوسط، مرّة كلّ 475 سنة أمامه فرصة واحدة من عشر لملاقاتها خلال عمر يبلغ خمسين سنة. والعبارتان رقم واحد يُقرأ بطريقتين، والانتقال بينهما هو العمل اليومي لعلم الأخطار. ويبني هذا الفصل أدواته: احتمال الأحداث النادرة، ومنحنى الخطر لموقع ما، واستقرار المنحدر، وسرعة التسونامي وارتفاع صعوده، وتكرار الفيضانات، والفيزياء التي تحدّد مقدار الإنذار الذي يمكن أن يتيحه كلّ خطر.

ما تعرفه من قبل

من مجلّدات المدرسة: الخطر الطبيعي، والكارثة الطبيعية والانزلاق الأرضي؛ والهشاشة، والمخاطر، والوقاية وخريطة الأخطار؛ والتسونامي؛ وفترة العودة للفيضان، وصيغة الرتبة $T = (n + 1)/m$ لسجلّ من $n$ من الذرى السنوية. من مجلّد السنة الأولى: قانون غوتنبرغ–ريختر $\log_{10} N(\geq M) = a - bM$ وقيمة b فيه؛ والعزم الزلزالي وقدر العزم؛ وضغط سائل المسام، والإجهاد الفعّال $\sigma' = \sigma - u$ ومعيار كولوم للانهيار $\tau = c' + \sigma' \tan\varphi'$. من الفصل 6: التيارات الفتاتية البركانية الكثيفة، واللاهارات وتساقط التيفرا. من كتب الرياضيات: توزيع بواسون والتوزيع الأسّي، والتوزيع الطبيعي ودالّة توزيعه $\Phi$. من مجلّد السنة الثانية في كتب الفيزياء: علاقة التشتّت لموجات الجاذبية السطحية، $\omega^2 = gk\tanh(kh)$.

28.1 الخطر والتعرّض والمخاطر

تعريف 28.1 (الخطر الجيولوجي، التعرّض، مخاطر الكوارث)

الخطر الجيولوجي عملية أو ظاهرة تنشأ في العمليات الداخلية للأرض — زلزال، أو ثوران، أو حركة كتلية مثل انزلاق أرضي أو تدفّق حطام — وقد تسبّب خسائر في الأرواح، أو إصابات، أو أضرارًا أو اضطرابًا. ويتّسم بموقعه، وشدّته أو قدره، وتكراره أو احتماله. والتعرّض لخطر ما هو وضع الناس، والمباني، والبنى التحتية وسائر الأصول الواقعة حيث يمكن أن يبلغها الخطر، ويقاس بعددها أو بقيمتها. ومخاطر الكوارث هي الخسارة المحتملة في الأرواح، أو الصحّة أو الأصول التي قد تقع في فترة معيّنة، وتُحدَّد احتماليًا انطلاقًا من الخطر، والتعرّض وهشاشة ما هو معرَّض له.

وتصنّف المصطلحات الدولية التسونامي على حدة: فهو ينطلق بالزلازل وبأحداث جيولوجية أخرى، ثم يصبح عملية محيطية ويضرب بوصفه خطرًا ساحليًا مرتبطًا بالماء. ويعالجه هذا الفصل مع الأخطار الأخرى، لأنّ مصدره جيولوجي.

ويتضمّن التعريف جداءً. فإذا وقعت أحداث شدّتها $i$ بمعدّل سنوي $\lambda_i$، وكانت قيمة الأصول المعرَّضة $E$، وكان الحدث ذو الشدّة $i$ يدمّر كسرًا $V_i$ منها (الهشاشة، بين 0 و1)، فإنّ الخسارة السنوية المتوقّعة هي

وكثيرًا ما تُختصر في: المخاطر = الخطر $\times$ التعرّض $\times$ الهشاشة. وتنعدم المخاطر حين ينعدم أيّ عامل: بركان عنيف في جزيرة خالية، أو مدينة مزدحمة على كراتون هادئ، أو مبانٍ تقاوم الاهتزاز. ويقيس علم الأخطار العامل الأول؛ ويضعه الشكل أدناه بين العوامل الثلاثة.

28.2 احتمال الأحداث النادرة

تعريف 28.2 (فترة العودة)

لنفترض أنّ أحداثًا من نوع معيّن — فيضانًا يفوق تصريفًا ما، أو حركة أرضية تفوق مستوى ما، أو زلزالًا يفوق قدرًا ما — تقع بمعدّل سنوي متوسّط $\lambda$. إنّ فترة العودة لهذه الأحداث هي $T = 1/\lambda$: متوسّط الفاصل بين حدثين منها، ومقلوب معدّلها السنوي، لا جدولًا زمنيًا.

تعريف 28.3 (احتمال التجاوز)

احتمال التجاوز لمستوى ما خلال زمن تعرّض $t$ هو احتمال أن يُبلَغ المستوى أو يُتجاوز مرّة واحدة على الأقلّ خلال $t$.

قضية 28.4 (نموذج بواسون للتكرار)

لنفترض أنّ الأحداث تقع واحدًا تلو الآخر، مستقلّة بعضها عن بعض وعن الزمن المنقضي، بمعدّل متوسّط ثابت $\lambda = 1/T$. عندئذ يتبع العدد $N$ من الأحداث خلال زمن $t$ توزيعَ بواسون الذي متوسّطه $\lambda t$؛ ويكون احتمال التجاوز خلال $t$

$$P(t) = 1 - e^{-t/T};\tag{28.2}$$

ويتبع الفاصل بين حدثين متتاليين التوزيعَ الأسّي الذي متوسّطه $T$.

وتُستعمل نتيجتان في كلّ مكان. فلاحتمال $p$ خلال زمن تعرّض $t$، تكون فترة العودة $T = -t/\ln(1 - p)$: فاحتمال $10\,\%$ خلال 50 سنة يعطي $T = 50/0.10536 = 474.6$ سنة، وهي حركة «475 سنة» في قوانين البناء، واحتمال $2\,\%$ خلال 50 سنة يعطي 2475 سنة. وحين يكون $t \ll T$، يكون $P \approx t/T$: فيمكن قراءة المعدّل احتمالًا في السنة. أمّا على مدى فترة عودة كاملة، فالاحتمال $1 - e^{-1} = 63\,\%$، لا 1. ويرسم الشكل أدناه (يمينًا) (28.2) لثلاث فترات عودة.

هل النموذج صحيح؟ يضمّ الفهرس العالمي للزلازل التي لا يقلّ قدرها عن 7 نحو 696 حدثًا من 1976 إلى 2025، أي 695 فاصلًا متوسّطها 26.2 يومًا. ولو كانت عملية بواسون، لكان كسر الفواصل الأطول من $t$ هو $e^{-t/26.2}$، أي خطًّا مستقيمًا على محور لوغاريتمي. ويُظهر الشكل أدناه (يسارًا) أنّه يكاد يكون كذلك: فنسبة $30.4\,\%$ من الفواصل أطول من 30 يومًا، مقابل $31.8\,\%$ وفق النموذج، والانحراف المعياري للفواصل يساوي 1.07 مرّة متوسّطها، مقابل 1 تمامًا. والخلل في الفواصل القصيرة: إذ يقع 36 زوجًا في اليوم نفسه، وهي هزّات لاحقة وأزواج زلزالية ما كانت عملية عديمة الذاكرة لتجمعها. ولذلك تزيل خرائط الأخطار الأحداث التابعة من الفهرس، أي تفكّ تجمّعه، كي يمكن معاملة الهزّات الرئيسية المتبقّية بوصفها عملية بواسون؛ وتأتي معدّلاتها بحسب القدر من قانون غوتنبرغ–ريختر.

28.3 الخطر الزلزالي

تعريف 28.5 (التحليل الاحتمالي للخطر الزلزالي، معادلة التنبّؤ بحركة الأرض، أقصى تسارع للأرض، منحنى الخطر)

أقصى تسارع للأرض (PGA) في موقع ما هو أكبر تسارع أفقي مطلق للأرض خلال زلزال، ويُعبَّر عنه عادة كسرًا من $g$. ومعادلة التنبّؤ بحركة الأرض (GMPE) تعطي التوزيع الاحتمالي لمقياس للاهتزاز، مثل أقصى التسارع، في موقع ما — وسيطًا وتشتّتًا — بدلالة القدر، والمسافة إلى المصدر وأحوال الأرض. والتحليل الاحتمالي للخطر الزلزالي (PSHA) يجمع كلّ الزلازل التي يمكن أن تؤثّر في موقع ما، بمعدّلاتها ومسافاتها، مع معادلة للتنبّؤ بحركة الأرض، ليعطي المعدّل السنوي الذي يُتجاوز به كلّ مستوى من الاهتزاز. ومنحنى هذا المعدّل بدلالة المستوى هو منحنى الخطر للموقع.

إنّ أقصى التسارع هو ما تتعرّض له جسيمة من الأرض. أمّا المبنى فيستجيب لجزء الحركة القريب من دوره الطبيعي، وترسم قوانين البناء خرائط لتلك الاستجابة أيضًا، أي التسارع الطيفي؛ ويُبقي أقصى التسارع الاستدلالَ بسيطًا، ولذا يُستعمل هنا.

طريقة 28.6 (تحليل احتمالي للخطر الزلزالي)

1. المصادر. ارسم خرائط للصدوع ومناطق المصادر حول الموقع، وللمسافة $d$ بين كلّ منها والموقع.
2. التكرار. لكلّ مصدر، خذ المعدّل السنوي للزلازل بحسب القدر من قانون غوتنبرغ–ريختر مبتور عند قدر أقصى $M_{\max}$: $N(\geq m) = 10^{a - bm} - 10^{a - bM_{\max}}$، بدءًا من قدر أدنى $M_{\min}$. وقسّم المدى إلى شرائح معدّلها $\nu_j$ حول الأقدار $m_j$.
3. حركة الأرض. من معادلة التنبّؤ بحركة الأرض، خذ الوسيط $\mu_j = \log_{10}\mathrm{PGA}$ والتشتّت $\sigma$ لكلّ شريحة؛ ويكون احتمال أن يتجاوز أقصى التسارع القيمة $a$ هو $1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)$.
4. الجمع. المعدّل السنوي لتجاوز $a$ هو $\lambda(a) = \sum_j \nu_j \bigl[1 - \Phi\bigl((\log_{10} a - \mu_j)/\sigma\bigr)\bigr]$، مجموعًا على كلّ المصادر.
5. القراءة. إنّ أقصى التسارع ذا الاحتمال $p$ للتجاوز خلال $t$ سنة هو المستوى الذي يكون عنده $\lambda(a) = -\ln(1 - p)/t$: أي $2.107 \times 10^{-3}$ في السنة لاحتمال $10\,\%$ خلال 50 سنة.

ومعادلة التنبّؤ بحركة الأرض المستعملة في هذا الفصل هي معادلة بور وجوينر وفومال، المعايَرة على 271 تسجيلًا لعشرين زلزالًا في غرب أمريكا الشمالية: للمركّبة الأفقية العشوائية، بوحدات $g$،

حيث $M$ قدر العزم، و$d$ المسافة بالكيلومترات إلى الإسقاط السطحي للتمزّق، والتشتّت $\sigma = 0.230$ حول الوسيط. وهي صالحة عندما $5.0 \leq M \leq 7.7$ و$d \leq 100\,\mathrm{km}$. والثابت $5.57\,\mathrm{km}$ عمق وهمي عايرَه الانحدار، ويُبقي الحركة محدودة فوق المصدر. فزلزال قدره 6 على بعد $15\,\mathrm{km}$ يعطي وسيطًا قدره $0.091\,\mathrm{g}$، وزلزال قدره 7.5 يعطي $0.200\,\mathrm{g}$؛ والانحراف المعياري الواحد يضرب الوسيط في $10^{0.230} = 1.70$ أو يقسمه عليه.

ويحمل الحدّان $G_B$ و$G_C$ أثر الموقع. وتُصنَّف المواقع بحسب متوسّط سرعة موجات القصّ في الطبقة العليا منها البالغ سمكها $30\,\mathrm{m}$: الصنف A فوق $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = G_C = 0$)، والصنف B من 360 إلى $750\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_B = 1$) والصنف C من 180 إلى $360\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($G_C = 1$). والأرض الليّنة تضرب حركة الصخر في $10^{0.162} = 1.45$ في الصنف B وفي $10^{0.251} = 1.78$ في الصنف C: فالموجة التي تدخل مادّة أبطأ تتباطأ، ويقصر طولها وتكبر سعتها، ويمكن لطبقة ليّنة أو لحوض مملوء بالرواسب أن يرنّ ويحبسها.

ويطبّق الشكل أدناه الطريقة على منطقة مصدر واحدة تبعد $15\,\mathrm{km}$ عن موقع صخري، مع $a = 4.0$، و$b = 1.0$، و$M_{\min} = 5$ و$M_{\max} = 7.5$: أي نحو 0.1 زلزال قدره 5 أو أكثر في السنة. وعند قيم أقصى التسارع الصغيرة يؤول المنحنى إلى هذا المعدّل، لأنّ كلّ زلزال يتجاوز مستوى ضعيفًا. وأقصى التسارع ذو احتمال $10\,\%$ خلال 50 سنة هو $0.22\,\mathrm{g}$. ولو أنّ كلّ زلزال أحدث وسيطه تمامًا، لبُلغ المعدّل نفسه عند $0.13\,\mathrm{g}$، ولما أمكن أبدًا تجاوز أيّ مستوى أعلى من وسيط أكبر زلزال، أي $0.20\,\mathrm{g}$. والتشتّت هو الذي يهيمن على المستويات النادرة: فحركة فترة العودة 475 سنة تأتي في معظمها من زلازل متوسّطة تهزّ أقوى من وسيطها.

28.4 الخطر البركاني

يهدّد البركان عبر عدّة عمليات في آن واحد، لكلّ منها مداها: فالتيفرا تتساقط بعيدًا مع اتجاه الريح، والتيارات الفتاتية البركانية الكثيفة واللاهارات تتبع الأودية، وتتقدّم تدفّقات الحمم ببطء (الفصل 6). وترسم خريطة أخطاره منطقة لكلّ منها، انطلاقًا من رواسب الثورانات السابقة ومن نماذج للتدفّق والتساقط. وتُبنى الاحتمالات بطريقة تختلف عن احتمالات الزلازل، لأنّ البركان الذي يستيقظ ليس عملية مستقرّة. وتقود شجرة الأحداث من الاضطراب إلى النتائج عبر فروع، كلّ منها من حدث سابق ضروري إلى نتيجة أكثر تحديدًا — اضطراب صهاري أو غير صهاري؛ ثوران أو لا؛ انفجاري أو انسيابي؛ تدفّق فتاتي بركاني يبلغ واديًا معيّنًا أو لا. واحتمال نتيجة ما هو جداء الاحتمالات الشرطية على طول فرعها. فإذا كان $M$ اضطرابًا صهاريًا، و$E$ ثورانًا، و$X$ ثورانًا انفجاريًا و$V$ تدفّقًا في الوادي، فإنّ

حيث يُقدَّر كلّ عامل من ماضي البركان، أو من براكين مماثلة أو من نماذج، ويُراجَع بمبرهنة بايز كلّما وصلت بيانات رصد جديدة (التمرين 28.8).

28.5 الانزلاقات الأرضية

يظلّ المنحدر قائمًا ما دامت مقاومة مادّته، على أيّ سطح يمكن أن ينزلق عليه، تفوق الإجهاد الذي تطبّقه الجاذبية هناك. والمقاومة هي معيار كولوم في مجلّد السنة الأولى، مكتوبًا بدلالة الإجهاد الفعّال: فالماء في المسام يحمل جزءًا من الحمل العمودي ويخفّض الاحتكاك.

تعريف 28.7 (معامل الأمان، تدفّق الحطام)

معامل الأمان $F$ لمنحدر على طول سطح انزلاق محتمل هو نسبة مقاومة القصّ المتاحة على السطح إلى إجهاد القصّ اللازم للتوازن. ويكون المنحدر مستقرًّا عندما $F > 1$ وينهار حين ينخفض $F$ إلى 1. وتدفّق الحطام جريان سريع لمزيج مشبع بالماء من الوحل، والرمل، والحصى، والجلاميد والخشب يتحرّك نازلًا في قناة كتلةً واحدة كثيفة، تحمل الحبيبات جزءًا كبيرًا من وزنها، وينتشر على المروحة عند مخرج القناة.

قضية 28.8 (المنحدر اللانهائي)

طبقة من التربة وزنها النوعي $\gamma$ وسمكها $z$، مقيسًا رأسيًا، ترتكز على سطح انزلاق موازٍ للأرض بزاوية $\beta$؛ ومقاومتها $c'$ و$\varphi'$، وضغط المسام على السطح $u = r_u \gamma z$. فإذا كانت الطبقة طويلة بما يكفي لإهمال طرفيها، فإنّ

$$F = \frac{c' + \gamma z\,(\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'}{\gamma z \sin\beta\cos\beta}.\tag{28.4}$$

لطبقة جافّة عديمة التماسك، $F = \tan\varphi'/\tan\beta$: فهي تظلّ قائمة حتى $\beta = \varphi'$.

تسمّي المعادلة (28.4) المحفّزين الشائعين. فالمطر يرفع منسوب المياه الجوفية ومعه $r_u$؛ وينخفض $F$ خطّيًا مع $r_u$، بحيث إنّ منحدرًا آمنًا وهو جافّ ينهار وهو رطب: ففي الشكل أعلاه، ينهار المنحدر ذو الزاوية $35{}^{\circ}$ عند $r_u = 0.19$، والمنحدر ذو الزاوية $25{}^{\circ}$ لا ينهار إلا عند 0.46. ويضيف الاهتزاز قوّة أفقية: فإذا مُثّلت بالقوّة $kW$، حيث $k$ كسر من $g$، فقد البسط المقدار $\gamma z k \sin\beta\cos\beta\tan\varphi'$ وكسب المقام $\gamma z k\cos^2\beta$ — وهو تحليل شبه سكوني، مُسلَّم به هنا، يستبدل باهتزاز قصير قوّةً ثابتة. وحدّ التماسك، $c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta)$، يتناقص كلّما ازداد سمك الطبقة، فالتماسك يحمي الترب الرقيقة أكثر من العميقة.

في ديسمبر 1999 أسقطت عاصفة دامت ثلاثة أيام $911\,\mathrm{mm}$ من المطر على مايكيتيا، على الساحل شمال كاراكاس. وانطلقت آلاف الانزلاقات الأرضية الضحلة على منحدرات سييرا دي أفيلا، على منحدرات من $30{}^{\circ}$ إلى أكثر من $60{}^{\circ}$، و$42{}^{\circ}$ في المتوسط. وفي القنوات اندمجت في تدفّقات حطام، تحرّكت بسرعات من 3 إلى $14\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$ قُدّرت من ارتفاع سطحها في المنعطفات، وحملت جلاميد يبلغ طولها $11\,\mathrm{m}$. وعلى مروحة كارابايّيدا، المبيّنة أدناه، تركت ما يصل إلى $6\,\mathrm{m}$ من الحطام الجلمودي، أي نحو 1.8 مليون متر مكعب. ويُذكر عدد القتلى عمومًا بنحو $30\,000$.

28.6 التسونامي

للتسونامي الذي يُحدثه ارتفاع مفاجئ لقاع البحر طول موجي يبلغ عشرات إلى مئات الكيلومترات، أي أكبر بكثير من عمق المحيط. فهو موجة طويلة، وسرعته لا تتوقّف إلا على العمق.

قضية 28.9 (الموجات الطويلة)

موجة الجاذبية السطحية التي يفوق طولها الموجي عمق الماء $h$ بكثير تنتقل بالسرعة $c = \sqrt{gh}$، أيًّا كان طولها الموجي. وحيث تتحرّك ببطء نحو مياه أضحل من دون أن تنعكس أو تنكسر، تكبر سعتها $A$ بحسب $h^{-1/4}$.

فوق $4000\,\mathrm{m}$ من الماء ينتقل التسونامي بسرعة $198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$، أي $713\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$؛ وفوق $5000\,\mathrm{m}$، بسرعة $797\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$، وهي عبارة «أكثر من 800 كيلومتر في الساعة» التي تذكرها خدمات الإنذار. وقرب الشاطئ، في $10\,\mathrm{m}$ من الماء، يتباطأ إلى $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$؛ فتلحق بمقدّمته المياه التي خلفها، فتقصر الموجة ويشتدّ انحدارها، ويزداد ارتفاعها.

تعريف 28.10 (ارتفاع صعود التسونامي)

ارتفاع صعود التسونامي عند نقطة من الساحل هو ارتفاع أعلى أرض يبلغها الماء في الداخل هناك، فوق مستوى سطح البحر في ذلك الوقت. والمسافة الأفقية من خطّ الشاطئ إلى تلك النقطة هي مسافة الغمر.

تقيس فرق المسح ارتفاعات الصعود من علامات الماء، وخطوط الحطام والأضرار بعد كلّ تسونامي. وتضمّ قاعدة بيانات التسونامي العالمية $2177$ رصدًا لارتفاع الصعود لتسونامي المحيط الهندي في 26 ديسمبر 2004، الذي أحدثه زلزال قدره 9.1 قبالة سومطرة، بأقصى ارتفاع للماء بلغ $50.9\,\mathrm{m}$، و$6429$ رصدًا لتسونامي 11 مارس 2011 قبالة هونشو، وقدره 9.1 أيضًا، بأقصى ارتفاع بلغ $39.3\,\mathrm{m}$. وقد أودى الأوّل بحياة $227\,899$ شخصًا والثاني بحياة $18\,423$. وفي باندا آتشيه، بلغ الماء منتصف الطابق الثاني من المسجد المبيّن أدناه.

28.7 الفيضانات

تعريف 28.11 (منحنى تكرار الفيضانات)

منحنى تكرار الفيضانات لنهر عند محطّة قياس هو منحنى ذروة التصريف السنوية بدلالة فترة عودتها، أو احتمال تجاوزها السنوي، ويُبنى من سجلّ المحطّة للذرى السنوية ويُمدَّد عادة بقانون احتمالي معايَر.

وصيغة الرتبة في مجلّدات المدرسة هي التي تحدّد مواقع نقاط المنحنى. ولها مسوّغ.

قضية 28.12 (موقع الرسم لويبول)

لتكن $n$ ذروة سنوية مستقلّة ومسحوبة من التوزيع المتّصل نفسه، وليكن $G(x)$ احتمال أن تتجاوز ذروة سنة ما القيمة $x$. فالذروة ذات الرتبة $m$، معدودةً من الأكبر، لها احتمال تجاوز متوقّع $m/(n + 1)$، ولذا تُرسم عند $T = (n + 1)/m$.

فأكبر ذروة في سجلّ من 30 سنة تُرسم إذن عند 31 سنة، ولا شيء في السجلّ يحدّد فيضان المئة سنة. وللوصول إليه، تُعايَر الذرى بقانون للقيم القصوى، وغالبًا ما يكون قانون غومبل، $\Pr(\text{الذروة} \leq x) = \exp\bigl(-e^{-(x - u)/\alpha}\bigr)$، الذي يكون فيه فيضان $T$ سنة هو $x_T = u - \alpha\ln\bigl(-\ln(1 - 1/T)\bigr)$: أي خطّ مستقيم بدلالة $-\ln(-\ln(1 - 1/T))$، يُستقرأ خارج السجلّ بمجازفة تزداد مع البعد عنه.

28.8 الرصد والإنذار المبكر

تعريف 28.13 (نظام الإنذار المبكر)

نظام الإنذار المبكر نظام متكامل لرصد الخطر، والتنبّؤ به، وتقييم المخاطر، والتواصل والتأهّب، يتيح التصرّف في الوقت المناسب قبل وقوع حدث خطِر. ويجمع أربعة عناصر: معرفة المخاطر؛ وكشف الخطر، ورصده والتنبّؤ به؛ ونشر الإنذارات؛ والتأهّب للاستجابة.

تحدّد الفيزياء مقدار الوقت الذي يمكن أن يتيحه كلّ إنذار. فلا يمكن سبق الموجات الزلزالية، لكنّ موجات S المدمّرة تنتقل بنحو $3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ في القشرة العليا، مقابل $5.8\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$ لموجات P: فالإنذار المحسوب من أولى موجات P المسجّلة قرب المركز السطحي يبلغ مدينة ما قبل موجات S، بفارق $d(1/3.2 - 1/5.8) = 0.14\,\mathrm{s}$ لكلّ كيلومتر من المسافة $d$، مطروحًا منه زمن الكشف والحساب. فالمدينة التي تبعد $100\,\mathrm{km}$ تكسب $14\,\mathrm{s}$ على الأكثر؛ وقرب المصدر لا تحظى منطقة عمياء بأيّ إنذار (التمرين 28.12). والتسونامي الذي يعبر $100\,\mathrm{km}$ من بحر عمقه $2000\,\mathrm{m}$ يستغرق 12 دقيقة؛ وعبر محيط يستغرق ساعات. وفي عام 2011 صدر الإنذار الياباني بعد نحو ثلاث دقائق من الزلزال، لكن بناءً على قدر قُدّر بأقلّ من حقيقته، لأنّ الأجهزة تشبّعت؛ ثم حُدّث ببيانات من عوّامة GPS بحرية بعد نحو 28 دقيقة. وأجهزة تسجيل الضغط في أعماق المحيط، التي تحوّل الضغط على قاع البحر كلّ 15 ثانية إلى ارتفاع لسطح البحر، تبلّغ اليوم عن موجات التسونامي العابرة عبر الأقمار الصناعية.

في الميدان — مراقبة منحدر يتحرّك

على منحدر معروف بزحفه، تركّب فرق الرصد أجهزة تقيس متغيّرات معادلة المنحدر اللانهائي. فمقاييس الضغط المسامي (البيزومترات) في الآبار تسجّل ضغط المسام على سطح الانزلاق؛ وأنابيب مقاييس الميل، التي تُقرأ على فترات من العمق، تُظهر أين تنثني الأرض وبأيّ سرعة؛ ومحطّات GNSS ومقاييس التمدّد تسجّل حركة السطح؛ ومقياس المطر يسجّل المحفّز. وتقارن الفرق الحركة بالمطر وبضغط الماء، موسمًا بعد موسم، وتبحث عن التسارع الذي يسبق الانهيار.

التمارين

معطيات التمارين، ما لم يُذكر غير ذلك: $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$؛ والوزن النوعي للماء $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$؛ ومعادلة التنبّؤ (28.3) على الصخر ($G_B = G_C = 0$)، و$\sigma = 0.230$؛ وسرعتا موجات P وS في القشرة العليا 5.8 و$3.2\,\mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}$. قرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية.

تمرين 28.1 ★

وفق نموذج بواسون: (أ) ما احتمال وقوع فيضان مئة سنة واحد على الأقلّ خلال 30 سنة؟ (ب) ما احتمال أن يمرّ قرن من دون فيضان مئة سنة؟ (ج) أوجد فترة العودة للحركة التي لها فرصة $5\,\%$ للتجاوز خلال 50 سنة.

حل

حل التمرين 28.1.

(أ) $1 - e^{-30/100} = 0.259$. (ب) $e^{-100/100} = e^{-1} = 0.368$: فأكثر من قرن واحد من كلّ ثلاثة قرون يمرّ من دون فيضان كهذا. (ج) $T = -50/\ln 0.95 = 975$ سنة.

تمرين 28.2 ★

تواجه بلدتان اهتزازًا قويًا. ففي البلدة A يقع بمعدّل مرّة كلّ 200 سنة وقد يدمّر $2\,\%$ من مبانيها البالغ عددها 5000؛ وفي البلدة B مرّة كلّ 50 سنة، فيدمّر $10\,\%$ من مبانيها البالغ عددها 800. (أ) أوجد العدد المتوقّع للمباني المدمّرة في السنة في كلّ بلدة. (ب) أيّ البلدتين مخاطرها أكبر، مع أنّ تعرّضها أصغر؟ (ج) أيّ العوامل الثلاثة يصنع الفرق؟

حل

حل التمرين 28.2.

(أ) البلدة A: $(1/200) \times 5000 \times 0.02 = 0.5$ مبنى في السنة؛ والبلدة B: $(1/50) \times 800 \times 0.10 = 1.6$. (ب) البلدة B، مع أنّ عدد مبانيها المعرَّضة أقلّ بمقدار 6.25 مرّة. (ج) خطرها أكثر تواترًا بأربع مرّات وهشاشتها أعلى بخمس مرّات: أي عامل 20 معًا، وهو يرجح على تعرّضها الأصغر.

تمرين 28.3 ★

(أ) أوجد سرعة تسونامي فوق أعماق 4000 و200 و$10\,\mathrm{m}$. (ب) كم يستغرق لعبور $1500\,\mathrm{km}$ من محيط عمقه $4000\,\mathrm{m}$؟ (ج) عند أيّ عمق ينتقل بسرعة $800\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$؟

حل

حل التمرين 28.3.

(أ) $\sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ $\sqrt{9.81 \times 200} = 44.3\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$؛ $\sqrt{9.81 \times 10} = 9.90\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ب) $1.5 \times 10^{6}/198.1 = 7570\,\mathrm{s}$، أي $2.10\,\mathrm{h}$. (ج) $800/3.6 = 222.2\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}$، و$h = c^2/g = 222.2^2/9.81 = 5030\,\mathrm{m}$.

تمرين 28.4 ★

رمل جافّ عديم التماسك زاوية احتكاكه $\varphi' = 33{}^{\circ}$ يشكّل منحدرًا طويلًا. (أ) أوجد معامل أمانه عند $25{}^{\circ}$. (ب) ما أشدّ منحدر يمكنه تشكيله؟ (ج) يتشبّع المنحدر بالماء، ومنسوب المياه الجوفية عند السطح والتسرّب موازٍ له، بحيث $r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$ مع $\gamma = 20\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. بيّن أنّ $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$، ثم احسبه عند $25{}^{\circ}$.

حل

حل التمرين 28.4.

(أ) $\tan33{}^{\circ}/\tan25{}^{\circ} = 0.6494/0.4663 = 1.39$. (ب) $F = 1$ عندما $\beta = \varphi' = 33{}^{\circ}$. (ج) مع $c' = 0$، يكون $F = (\cos^2\beta - r_u)\tan\varphi'/(\sin\beta\cos\beta)$، و$\cos^2\beta - r_u = \cos^2\beta\,(1 - \gamma_w/\gamma)$، ومن ثمّ $F = (1 - \gamma_w/\gamma)\tan\varphi'/\tan\beta$: فالماء ينصّف الاحتكاك. $(1 - 9.81/20) \times 1.393 = 0.510 \times 1.393 = 0.710$: فينهار المنحدر.

تمرين 28.5 ★★

يضمّ الفهرس العالمي 696 زلزالًا لا يقلّ قدرها عن 7 في السنوات الخمسين 1976–2025، ومتوسّط الفاصل بينها 26.2 يومًا. (أ) أوجد معدّلها السنوي المتوسّط. (ب) وفق نموذج بواسون، ما احتمال أن تمرّ 30 يومًا من دون أيّ منها؟ قارن بالكسر المرصود للفواصل الأطول من 30 يومًا، 0.304. (ج) ما احتمال وقوع واحد منها على الأقلّ في أسبوع معيّن؟

حل

حل التمرين 28.5.

(أ) $696/50 = 13.9$ في السنة. (ب) $e^{-30/26.2} = 0.318$، مقابل 0.304 مرصودة: قيمتان متقاربتان. والقيمة المرصودة أدنى قليلًا لأنّ الهزّات اللاحقة والأزواج الزلزالية المتجمّعة تضيف فواصل قصيرة. (ج) $1 - e^{-7/26.2} = 0.234$.

تمرين 28.6 ★★

(أ) أوجد وسيط أقصى التسارع لزلزال قدره 6.5 على الصخر عند $d = 0$ و10 و30 و$100\,\mathrm{km}$. (ب) كم يكون عند $10\,\mathrm{km}$ في موقع من الصنف C؟ (ج) بين أيّ قيمتين يقع أقصى التسارع على الصخر عند $10\,\mathrm{km}$ باحتمال يقارب $68\,\%$؟

حل

حل التمرين 28.6.

(أ) حدّ القدر هو $-0.105 + 0.229 \times 0.5 = 0.0095$. وعندما $d = 0$ و10 و30 و$100\,\mathrm{km}$، يكون $r = 5.57$ و11.45 و30.51 و$100.2\,\mathrm{km}$، و$\log_{10}\mathrm{PGA} = -0.571$ و$-0.814$ و$-1.145$ و$-1.547$، ووسيط أقصى التسارع 0.269 و0.153 و0.0715 و$0.0284\,\mathrm{g}$. (ب) $0.153 \times 10^{0.251} = 0.153 \times 1.78 = 0.272\,\mathrm{g}$. (ج) انحراف معياري واحد على كلّ جانب: من $0.153/1.70 = 0.0900\,\mathrm{g}$ إلى $0.153 \times 1.70 = 0.260\,\mathrm{g}$.

تمرين 28.7 ★★

كانت الذرى السنوية لنهر على مدى 12 سنة، بوحدة $\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$: 212، 148، 305، 176، 251، 133، 188، 420، 160، 229، 195، 268. (أ) أعط فترات عودة الأربع الكبرى. (ب) قدّر فيضان العشر سنوات بالاستكمال الخطّي بدلالة $\ln T$ بين الذروتين الكبريين. (ج) لماذا لا يستطيع هذا السجلّ أن يقول شيئًا موثوقًا عن فيضان المئة سنة؟

حل

حل التمرين 28.7.

(أ) بالترتيب: 420 ($T = 13/1 = 13$ سنة)، و305 (6.5)، و268 (4.33)، و251 (3.25). (ب) $305 + (420 - 305)\ln(10/6.5)/\ln(13/6.5) = 305 + 115 \times 0.621 = 376\,\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$. (ج) تُرسم أكبر ذروة عند 13 سنة؛ وأيّ قيمة عند 100 سنة استقراء بعيد خارج السجلّ، بقانون للقيم القصوى لا تكاد النقاط الاثنتا عشرة تقيّد اختياره ومعاملاته.

تمرين 28.8 ★★

يقدّر المرصد عند بركان مضطرب: اضطراب صهاري 0.6؛ ثوران إن كان صهاريًا 0.4؛ انفجاري إن وقع ثوران 0.5؛ تدفّق فتاتي بركاني يبلغ واديًا معيّنًا إن كان انفجاريًا 0.3. (أ) أوجد احتمال تدفّق فتاتي بركاني في الوادي. (ب) أوجد احتمال الثوران، واحتمال ثوران من دون تدفّق في الوادي. (ج) ترفع بيانات تشوّه جديدة احتمال الثوران، إن كان الاضطراب صهاريًا، إلى 0.7. حدّث (أ).

حل

حل التمرين 28.8.

(أ) $0.6 \times 0.4 \times 0.5 \times 0.3 = 0.036$. (ب) $P(\text{ثوران}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$؛ ومن دون تدفّق في الوادي، $0.24 - 0.036 = 0.204$. (ج) $0.6 \times 0.7 \times 0.5 \times 0.3 = 0.063$.

تمرين 28.9 ★★

تربة جافّة فيها $c' = 8\,\mathrm{kPa}$، و$\varphi' = 30{}^{\circ}$ و$\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$ ترتكز على منحدر زاويته $35{}^{\circ}$. (أ) أوجد السمك $z_c$ الذي يكون عنده $F = 1$. (ب) أوجد $F$ لطبقة سمكها $2\,\mathrm{m}$. (ج) تتشبّع الطبقة نفسها، ومنسوب المياه الجوفية عند السطح و$r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$. أوجد $F$.

حل

حل التمرين 28.9.

في هذا التمرين يكون $\sin\beta\cos\beta = 0.4698$، و$\cos^2\beta = 0.6710$ و$\tan30{}^{\circ}/\tan35{}^{\circ} = 0.8245$. (أ) تعطي المعادلة $F = c'/(\gamma z\sin\beta\cos\beta) + 0.8245 = 1$ القيمة $z_c = 8/(19 \times 0.4698 \times 0.1755) = 5.11\,\mathrm{m}$. (ب) $8/(19 \times 2 \times 0.4698) + 0.8245 = 0.448 + 0.825 = 1.27$. (ج) $r_u = 9.81 \times 0.6710/19 = 0.3465$؛ $F = [8 + 38 \times (0.6710 - 0.3465) \times 0.5774]/(38 \times 0.4698) = 15.12/17.85 = 0.847$: فالطبقة المشبعة تنهار.

تمرين 28.10 ★★★

(أ) بيّن أنّ نموذج بواسون عديم الذاكرة: احتمال عدم وقوع أيّ حدث في $[s, s + t]$، علمًا بأنّه لم يقع أيّ حدث في $[0, s]$، هو $e^{-t/T}$، أيًّا كانت $s$. (ب) لصدع فترة عودة 475 سنة لزلازله الكبيرة، ولم يشهد أيًّا منها منذ 400 سنة. ما احتمال وقوع واحد منها، وفق النموذج، في السنوات الخمسين المقبلة؟ (ج) يوحي الارتداد المرن في مجلّد السنة الأولى بأنّ الاحتمال ينبغي بالأحرى أن يزداد مع الزمن المنقضي منذ آخر زلزال. أيّ فرض من فروض نموذج بواسون يناقضه ذلك، ولماذا تحتفظ خرائط الأخطار بالنموذج للمصادر المساحية؟

حل

حل التمرين 28.10.

(أ) $\Pr(\text{لا حدث في } [0, s+t] \mid \text{لا حدث في } [0, s]) = e^{-(s+t)/T}/e^{-s/T} = e^{-t/T}$. (ب) السنوات الأربعمئة الهادئة لا تغيّر شيئًا: $1 - e^{-50/475} = 0.0999$، أي $10\,\%$. (ج) إنّه يناقض فرض أنّ المعدّل لا يتوقّف على الزمن المنقضي: فبعد الارتداد يجب أن يتراكم الإجهاد من جديد، فيكون المعدّل منخفضًا بُعيد الزلزال ثم يزداد لاحقًا. وتضمّ منطقة المصدر صدوعًا كثيرة في مراحل مختلفة من دوراتها؛ ومجموع متتاليات كثيرة مستقلّة من الأحداث يسلك سلوكًا قريبًا من عملية بواسون، والمعدّل هو كلّ ما يُعرف عن كلّ منها.

تمرين 28.11 ★★★

يعبر تسونامي سعته $0.5\,\mathrm{m}$ ودوره 20 دقيقة محيطًا عمقه $4000\,\mathrm{m}$. (أ) باستعمال حجّة تدفّق الطاقة في القضية الخاصّة بالموجات الطويلة، أوجد سعته في $10\,\mathrm{m}$ من الماء. (ب) أوجد طوله الموجي عند العمقين. (ج) اذكر سببين يجعلان ارتفاع الصعود عند الساحل يختلف كثيرًا عن هذا التقدير.

حل

حل التمرين 28.11.

(أ) $A = 0.5 \times (4000/10)^{1/4} = 0.5 \times 4.47 = 2.24\,\mathrm{m}$. (ب) $\lambda = cT$: $198.1 \times 1200 = 238\,\mathrm{km}$ في المحيط العميق، و$9.90 \times 1200 = 11.9\,\mathrm{km}$ في $10\,\mathrm{m}$ من الماء. (ج) لم تعد السعة صغيرة مقارنة بالعمق ($2.2\,\mathrm{m}$ في $10\,\mathrm{m}$)، فتشتدّ الموجة انحدارًا وقد تنكسر؛ وينعكس جزء من الطاقة أو يتركّز بفعل شكل قاع البحر والخلجان؛ وعلى اليابسة يتوقّف ارتفاع الصعود على ميل الأرض وخشونتها.

تمرين 28.12 ★★★

يصدر نظام إنذار مبكر بالزلازل تنبيهًا بعد 4 ثوانٍ من بلوغ موجة P أقرب محطّاته إلى المركز السطحي، على بعد $10\,\mathrm{km}$. أهمل عمق المصدر. (أ) متى يصدر التنبيه بعد الزلزال؟ (ب) كم ثانية قبل موجة S تتلقّاه بلدة تبعد $50\,\mathrm{km}$ عن المركز السطحي؟ وبلدة على بعد $100\,\mathrm{km}$؟ (ج) أوجد نصف قطر المنطقة العمياء، حيث تصل موجة S قبل التنبيه.

حل

حل التمرين 28.12.

(أ) $10/5.8 + 4 = 1.72 + 4 = 5.72\,\mathrm{s}$. (ب) تبلغ موجة S مسافة $50\,\mathrm{km}$ بعد $50/3.2 = 15.6\,\mathrm{s}$: أي $15.6 - 5.72 = 9.90\,\mathrm{s}$ من الإنذار؛ وعند $100\,\mathrm{km}$، $31.3 - 5.72 = 25.5\,\mathrm{s}$. (ج) $3.2 \times 5.72 = 18.3\,\mathrm{km}$.

مسألة 28.1

مسألة نهاية الأسبوع — بلدة بين صدع ومنحدر

تقع بلدة على الصخر على بعد $10\,\mathrm{km}$ من منطقة مصدر؛ وتؤخذ كلّ زلازلها عند $d = 10\,\mathrm{km}$. وتكرارها $\log_{10} N(\geq M) = 4.0 - 1.0\,M$ في السنة عندما $M \geq 5$، مبتورًا عند $M_{\max} = 7.5$. ويتبع الاهتزاز معادلة التنبّؤ (28.3) مع $\sigma = 0.230$. وفوق البلدة، ترتكز طبقة تربة سمكها $3\,\mathrm{m}$ على منحدر زاويته $30{}^{\circ}$، مع $\gamma = 19\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$، و$c' = 4\,\mathrm{kPa}$ و$\varphi' = 34{}^{\circ}$؛ والوزن النوعي للماء $9.81\,\mathrm{kN}\,\mathrm{m}^{-3}$. قرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية.

الجزء الأول — التكرار.

1. أوجد المعدّلات السنوية للزلازل التي لا يقلّ قدرها عن 5 و6 و7، مع إهمال البتر.
2. أعط فترات العودة المقابلة.
3. مع البتر، أوجد معدّل الزلازل التي يفوق قدرها 7.5، ومعدّل تلك الواقعة بين 7 و7.5.
4. أوجد معدّلات فئتي القدر 5–6 و6–7.
5. ما احتمال وقوع زلزال واحد على الأقلّ قدره 6 أو أكثر خلال 50 سنة؟
6. وقدره 7 أو أكثر؟

الجزء الثاني — حركة الأرض عند البلدة.

7. أوجد $r$، وحدّ المسافة $-0.778\log_{10} r$.
8. مثّل الفئات الثلاث بالأقدار 5.5 و6.5 و7.25. أوجد الوسيط $\log_{10}\mathrm{PGA}$ ووسيط أقصى التسارع لكلّ منها.
9. أوجد أقصى التسارع الذي يتجاوزه زلزال قدره 6.5 باحتمال $16\,\%$.
10. ما احتمال أن يُحدث زلزال قدره 6.5 أكثر من $0.3\,\mathrm{g}$؟
11. ما وسيط أقصى التسارع لأكبر زلزال ممكن؟

الجزء الثالث — منحنى الخطر.

12. أوجد المعدّل السنوي لتجاوز $0.2\,\mathrm{g}$، مجموعًا على الفئات الثلاث.
13. الأمر نفسه للقيمة $0.3\,\mathrm{g}$.
14. الأمر نفسه للقيمة $0.4\,\mathrm{g}$.
15. ما المعدّل السنوي المقابل لاحتمال $10\,\%$ خلال 50 سنة؟
16. بين أيّ مستويين من المستويات الثلاثة يقع هذا المعدّل؟
17. بالاستكمال الخطّي للمقدار $\ln\lambda$ بدلالة $\ln a$، أوجد أقصى التسارع الذي له فرصة $10\,\%$ للتجاوز خلال 50 سنة.
18. أيّ الفئات تسهم أكثر في المعدّل عند $0.3\,\mathrm{g}$؟ علّق، مستعينًا بجواب السؤال 11.

الجزء الرابع — المنحدر فوق البلدة.

19. أوجد معامل أمان المنحدر الجافّ.
20. أوجده حين تتشبّع الطبقة، ومنسوب المياه الجوفية عند السطح ($r_u = \gamma_w\cos^2\beta/\gamma$).
21. إلى أيّ كسر من سمك الطبقة يمكن أن يرتفع منسوب المياه الجوفية قبل أن ينهار المنحدر؟
22. في تحليل شبه سكوني (مُسلَّم به)، يضيف الاهتزاز قوّة أفقية $kW$. أوجد القيمة الحرجة للمعامل $k$ للمنحدر الجافّ، التي يكون عندها $F = 1$.
23. إذا أخذنا $k$ مساويًا لأقصى التسارع بوحدات $g$، فأيّ قدر يُحدث القيمة الحرجة وسيطًا عند البلدة؟ قارن بجواب السؤال 17.
24. خلاصة القول: ما أقصى تسارع للأرض له فرصة $10\,\%$ للتجاوز خلال 50 سنة عند البلدة؟

حل

حل المسألة 28.1.

تُحفَظ اللوغاريتمات بأربعة أرقام عشرية في الخطوات الوسيطة. 1. $10^{4-5} = 0.1$، و$10^{4-6} = 0.01$ و$10^{4-7} = 0.001$ في السنة. 2. 10 و100 و1000 سنة. 3. $10^{4-7.5} = 3.16 \times 10^{-4}$ في السنة؛ $0.001 - 3.16 \times 10^{-4} = 6.84 \times 10^{-4}$ في السنة. 4. $0.1 - 0.01 = 0.09$ و$0.01 - 0.001 = 0.009$ في السنة. 5. $1 - e^{-0.01 \times 50} = 0.393$. 6. $1 - e^{-0.001 \times 50} = 0.0488$. 7. $r = \sqrt{10^2 + 5.57^2} = 11.45\,\mathrm{km}$؛ $\log_{10} r = 1.0588$ و$-0.778 \times 1.0588 = -0.8237$. 8. $\mu = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$: $-1.0432$ و$-0.8142$ و$-0.6424$؛ والأوساط 0.0905 و0.153 و$0.228\,\mathrm{g}$. 9. $10^{-0.8142 + 0.230} = 0.260\,\mathrm{g}$. 10. $z = (\log_{10} 0.3 + 0.8142)/0.230 = (-0.5229 + 0.8142)/0.230 = 1.266$، و$1 - \Phi(1.266) = 0.103$. 11. $-0.105 + 0.229 \times 1.5 - 0.8237 = -0.5852$: أي $0.260\,\mathrm{g}$. 12. احتمالات تجاوز $0.2\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.2 = -0.6990$) هي 0.0672 ($z = 1.497$)، و0.308 ($z = 0.501$) و0.597 ($z = -0.246$): $\lambda = 0.09 \times 0.0672 + 0.009 \times 0.308 + 6.84 \times 10^{-4} \times 0.597 = 6.05 \times 10^{-3} + 2.77 \times 10^{-3} + 4.08 \times 10^{-4} = 9.23 \times 10^{-3}$ في السنة. 13. عند $0.3\,\mathrm{g}$: $z = 2.262$ و1.266 و0.520، والاحتمالات 0.0118 و0.103 و0.302؛ $\lambda = 1.07 \times 10^{-3} + 9.24 \times 10^{-4} + 2.06 \times 10^{-4} = 2.20 \times 10^{-3}$ في السنة. 14. عند $0.4\,\mathrm{g}$ ($\log_{10} 0.4 = -0.3979$): $z = 2.805$ و1.810 و1.063، والاحتمالات 0.00251 و0.0352 و0.144؛ $\lambda = 2.26 \times 10^{-4} + 3.17 \times 10^{-4} + 9.84 \times 10^{-5} = 6.41 \times 10^{-4}$ في السنة. 15. $-\ln 0.9/50 = 2.107 \times 10^{-3}$ في السنة، أي فترة عودة قدرها 475 سنة. 16. بين $0.3\,\mathrm{g}$ ($2.20 \times 10^{-3}$) و$0.4\,\mathrm{g}$ ($6.41 \times 10^{-4}$). 17. الميل هو $\ln(6.41/22.0)/\ln(4/3) = -1.233/0.2877 = -4.29$، و$a = 0.3 \times (2.107/2.20)^{-1/4.29} = 0.3 \times 1.0101 = 0.303\,\mathrm{g}$. 18. عند $0.3\,\mathrm{g}$، تعطي الفئة 5–6 نسبة $48.5\,\%$ من المعدّل، والفئة 6–7 $42.1\,\%$ والفئة 7–7.5 $9.4\,\%$ فقط. وحتى أكبر زلزال وسيطه $0.260\,\mathrm{g}$، أي دون $0.3\,\mathrm{g}$: فلا يُبلَغ هذا المستوى إلا في الذيل العلوي للتشتّت، والزلازل المتوسّطة المتواترة هي التي توفّر معظمه. 19. $4/(19 \times 3 \times 0.4330) + \tan34{}^{\circ}/\tan30{}^{\circ} = 0.162 + 1.168 = 1.33$. 20. $r_u = 9.81 \times 0.75/19 = 0.387$؛ $F = [4 + 57 \times (0.75 - 0.387) \times 0.6745]/(57 \times 0.4330) = 17.95/24.68 = 0.727$: فالمنحدر المشبع ينهار. 21. إذا كان منسوب المياه الجوفية عند كسر $m$ من السمك، فإنّ $r_u = 0.387\,m$. ويكون $F = 1$ عندما $0.75 - 0.387\,m = (24.68 - 4)/(57 \times 0.6745) = 0.538$: $m = 0.548$، أي منسوب مياه جوفية عند $55\,\%$ من الطبقة. 22. بقسمة $F = 1$ على $\gamma z$: $0.0702 + (0.75 - 0.4330\,k) \times 0.6745 = 0.4330 + 0.75\,k$، ومن ثمّ $k_c = (0.0702 + 0.5059 - 0.4330)/(0.2921 + 0.75) = 0.1431/1.042 = 0.137$. 23. $\log_{10} 0.137 = -0.8633 = -0.105 + 0.229(M - 6) - 0.8237$ تعطي $M = 6.29$. وتقع زلازل كهذه بمعدّل $10^{4 - 6.29} - 10^{-3.5} = 4.81 \times 10^{-3}$ في السنة، أي نحو مرّة كلّ 208 سنوات، وأقصى التسارع لفترة العودة 475 سنة في السؤال 17 يفوق ضعف القيمة الحرجة $0.137\,\mathrm{g}$: ففي هذا التحليل ينهار المنحدر الجافّ عند اهتزاز أضعف بكثير من حركة فترة العودة 475 سنة. 24. أقصى تسارع للأرض له فرصة $10\,\%$ للتجاوز خلال 50 سنة عند البلدة هو $0.303\,\mathrm{g}$.