5الصهارات وتموضعها

يجري مصهور بازلتي عند $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ بلزوجة تقارب $70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: ثخين، لكنه ينسكب. أمّا مصهور ريوليتي جاف عند $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ فلزوجته قرب $10^{11}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، ولو أُخذت منه كتلة لاحتاجت ساعات كي تتهدّل تهدّلًا مرئيًا تحت ثقلها. وبين الاثنين عشر رتب من القيمة، أكثر مما بين الماء والبازلت، ويرجع معظم الفرق إلى أمرين: السيليكا التي تربط المصهور في شبكة، ودرجة الحرارة، وهي أدنى بعدّة مئات من الدرجات في الصهارات السيليسية. وبضعة في المئة من الماء المذاب، وهو ما تستطيع صهارة ريوليتية أن تحمله في العمق، تُخفض لزوجتها بعامل $10^{5}$، ثم تفقد هذا الأثر من جديد حين تصعد الصهارة ويخرج الماء فقاعات. وهذه الأرقام تقرّر هل تبلغ الصهارة السطح بهدوء، أم تنفجر، أم تتجمّد على عمق كيلومترات قاطعًا أو عتبةً أو بلوتونًا. يعامل هذا الفصل الصهارة مادةً: كثافتها ولزوجتها ومكوّناتها المتطايرة، وفيزياء صعودها عبر الشقوق وعلى هيئة كتل، والأشكال التي تتّخذها حين تتوقف، والحرارة التي تعطيها للصخور المحيطة بها.

ما تعرفه من قبل

الجريان اللزج (مجلد السنة الثانية من كتب الفيزياء): في مائع نيوتني لزوجته $\eta$ يساوي إجهاد القصّ $\eta$ مضروبة في تدرّج السرعة؛ وبين جدارين متوازيين يدفع تدرّج الضغط جانبيةً قطعية مكافئة (جريان بوازوي المستوي)؛ والكرة التي تتحرك ببطء في مائع لزج تخضع لقوة جرّ ستوكس $6\pi\eta a v$. التوصيل الحراري (المجلد نفسه): تخضع درجة الحرارة للمعادلة $\partial T/\partial t = \kappa\,\partial^2T/\partial x^2$، مع الانتشارية $\kappa = k/(\rho c)$، وتنتشر قفزة في درجة الحرارة على هيئة دالة خطأ على مسافة من رتبة $\sqrt{\kappa t}$. الطفو (مجلد السنة الأولى من كتب الفيزياء): يخضع جسم مغمور في مائع أكثف منه لقوة صاعدة محصّلة تساوي ثقل المائع المُزاح ناقصًا ثقله هو. التوازن الكيميائي (كتب الكيمياء): عند التوازن تحقّق فاعليات النواتج والمتفاعلات قانون فعل الكتلة بثابت $K$ يتوقف على درجة الحرارة. ومن مجلد السنة الأولى من هذه السلسلة: الضغط الصخري $p = \rho g z$ والتدرّج الحراري الأرضي؛ ومن المجلدات المدرسية: الصخور المافية والفلسية، والبلّورات الظاهرة والنُّسُج البورفيرية.

5.1 ما الصهارة

تعريف 5.1 (الصهارة)

الصهارة صخر منصهر كليًا أو جزئيًا تحت السطح: أي مصهور سيليكاتي، وهو السائل المكوّن أساسًا من السيليكون والأكسجين وكاتيونات الفلزات، مع ما يحمله من بلّورات وفقاعات غاز. والعجينة البلّورية صهارة غنية بالبلّورات إلى حدّ أنها تتلامس وتكوّن هيكلًا: فلا تستطيع الجريان كسائل، ولا يتحرك مصهورها إلا عبر المسامّ بين البلّورات.

يُعطى تركيب المصهور، كما في الصخور، بالنسب المئوية الكتلية للأكاسيد. وتُتّخذ ثلاثة مصاهير مرجعًا في الفصل كله، وكلها مدروسة في المختبر: بازلت ثولييتي جُرف من ظهرة وسط محيطية (نحو $51\,\%$ من SiO$_2$، و$12\,\%$ من أكسيد الحديد، و$7\,\%$ من MgO)، وأنديزيت ($63\,\%$ من SiO$_2$) وريوليت ($78\,\%$ من SiO$_2$، و$8\,\%$ من Na$_2$O $+$ K$_2$O وقليل جدًا من الحديد أو المغنيسيوم). وتختلف درجات حرارة اندفاعها اختلاف تراكيبها: فالصهارات البازلتية تندفع عند $1000\text{ ⁧إلى⁩ }1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ (وقد قيست حرارة حمم تجري في أنبوب على كيلاويا قرب $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$)، والصهارات الأنديزيتية عند $800\text{ ⁧إلى⁩ }1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، والصهارات الريوليتية عند $650\text{ ⁧إلى⁩ }800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. والصهارة الريوليتية أبرد لأنها بقيّة تبلور طويل أو أول مصهور من صخور القشرة، وكلاهما يحدث عند درجة حرارة منخفضة (الفصل 8).

محتوى البلّورات هو الذي يقرّر هل تجري الصهارة. فالدراسات الحقلية والجيوكرونولوجية لأجسام الغرانيت الكبيرة تخلص إلى أن الجريان الصهاري الكلي يحتاج إلى حصّة مصهور لا تقل عن $30\text{ ⁧إلى⁩ }50\,\%$ حجمًا؛ وتحت ذلك تلتحم البلّورات بجاراتها وتتشوّه المادة كجسم صلب ذي مسامّ مملوءة بالمصهور. ويُظنّ أن كثيرًا من الصهارة المخزّنة في القشرة يقبع في هذه الحالة، عجينةً تعود متحرّكة حين تُضاف إليها صهارة ساخنة من الأسفل.

5.2 الكثافة واللزوجة

5.2.1 كثافة المصهور

ليس للمصهور السيليكاتي شبكة بلّورية، لكن حجمه يمكن مع ذلك أن يُبنى من مكوّناته. فالتجارب على مصاهير كثيرة تُظهر أن كل أكسيد يسهم بحجم شبه ثابت للمول، هو حجمه المولي الجزئي، الذي يتغيّر ببطء وخطيًا مع درجة الحرارة والضغط؛ وحجم المصهور هو مجموع هذه الإسهامات. ويعطي الجدول أدناه القيم المستعملة في هذا الفصل.

الأكسيد	$\bar V_i$ ($\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$)	$\partial\bar V_i/\partial T$ ($10^{-3}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$)	$\partial\bar V_i/\partial p$ ($10^{-4}$ $\mathrm{cm}^{3}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{bar})$)
SiO$_2$	26.86	0	$-1.89$
Al$_2$O$_3$	37.42	2.62	$-2.26$
FeO	12.68	3.69	$-0.45$
MgO	12.02	3.27	$0.27$
CaO	16.90	3.74	$0.34$
Na$_2$O	29.65	7.68	$-2.40$
K$_2$O	47.28	12.08	$-6.75$
H$_2$O	22.9	9.5	$-3.20$

قضية 5.2 (كثافة المصهور السيليكاتي)

ليحوِ مصهورٌ مكوّناتٍ أكسيدية $i$ كسورها المولية $X_i$، وكتلها المولية $M_i$ وأحجامها المولية الجزئية $\bar V_i(T, p) = \bar V_i^{\circ} + (\partial\bar V_i/\partial T)(T - T_{\mathrm{ref}}) + (\partial\bar V_i/\partial p)(p - p_{\mathrm{ref}})$. إذا امتزجت المكوّنات امتزاجًا مثاليًا في الحجم، فإن

$$\rho = \frac{\sum_i X_i M_i}{\sum_i X_i \bar V_i(T,p)}.$$

كتلة الماء المولية $18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ فقط، لكن حجمه المولي الجزئي $22.9\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}$، قريب من حجم السيليكا: فهو يُخفض كثافة المصهور بشدّة. وبتطبيق القضية على المصاهير المرجعية الثلاثة نحصل على $2730\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ للبازلت عند $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، و$2480\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ للأنديزيت عند $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، و$2340\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ للريوليت الجاف عند $850\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ ويُنقص واحد في المئة من الماء المذاب نحو $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ من كثافة البازلت، أي قدر ما تُنقصه عدّة مئات من درجات التسخين. فالمصهور البازلتي إذن أخفّ من بيريدوتيت الوشاح الذي ينشأ منه (نحو $3380\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ تحت القشرة في النموذج المرجعي للأرض) وأخفّ قليلًا من القشرة السفلى في ذلك النموذج ($2900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$)، في حين أن المصهور الريوليتي أخفّ حتى من قشرته العليا ($2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$). وهذا الفرق يدفع الصهارات إلى الأعلى.

5.2.2 اللزوجة

تحدّد لزوجةَ المصهور السيليكاتي شبكةُ رباعيات الأوجه SiO$_4$ المترابطة عبر ذرّات أكسجين مشتركة: فلكي يجري، يجب على المصهور أن يكسر روابط السيليكون والأكسجين ويعيد تكوينها. فالسيليكا والألومينا تبنيان الشبكة؛ وكاتيونات المغنيسيوم والحديد والكالسيوم والفلزات القلوية تكسرها، وكذلك الماء الذي يحوّل ذرّات الأكسجين الجسرية إلى مجموعات هيدروكسيل. وتغطي القياسات المخبرية على المصاهير الطبيعية أكثر من خمس عشرة رتبة من القيمة، من $0.1\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ إلى $10^{14}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، ولا تتبع قانون أرهينيوس بسيطًا: فاللزوجة تزداد أسرع من الأسّي في $1/T$ كلما برد المصهور نحو انتقاله الزجاجي.

قضية 5.3 (قانون فوغل وفولشر وتامّان)

تتبع لزوجة مصهور سيليكاتي ثابت التركيب، في حدود بضعة أعشار من الوحدة اللوغاريتمية،

$$\log_{10}\eta = A + \frac{B}{T - C},$$

حيث $\eta$ بالباسكال ثانية و$T$ بالكلفن. وفي المصاهير الطبيعية تكون $A$ قريبة من $-4.55$ أيًّا كان التركيب؛ أمّا $B$ و$C$ (بالكلفن) فتركيبات خطية من النسب المئوية المولية للأكاسيد، مع بضعة جداءات بينها، مضبوطة على نحو $1800$ قياس.

يبيّن الشكل أدناه القانون للمصاهير المرجعية الثلاثة وللريوليت الحاوي ماءً مذابًا. فعند $1200\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ تكون للبازلت $\eta \approx 70\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$؛ وللأنديزيت عند $1000\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ نحو $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$؛ وللريوليت الجاف عند $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ نحو $10^{10.9}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. وأربعة في المئة من الماء تُنزل الريوليت نفسه إلى $10^{5.5}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، وستة في المئة إلى $10^{4.6}$ $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. وتعطي معادلة مستقلة لم تُضبط إلا على المصاهير الغرانيتية المائية القيمَ نفسها في حدود نصف وحدة لوغاريتمية (التمرين 5.1). ويبلغ أثر الماء أقصاه عند درجة الحرارة المنخفضة، حيث تغيّر بضعة أعشار من الواحد في المئة اللزوجةَ برتب من القيمة.

البلّورات تزيد الصهارة صلابة. فمعلّق من جسيمات صلبة يقاوم القصّ أكثر من سائله وحده، لأن السائل يجب أن يجري حول الجسيمات، وحين تزدحم الجسيمات حتى تتلامس تنحبس في هيكل.

قضية 5.4 (علاقة أينشتاين وروسكو)

لمعلّق يحوي كسرًا حجميًا $\phi$ من الكرات الصلبة في سائل نيوتني لزوجته $\eta_{\ell}$ لزوجةٌ قدرها

$$\eta = \eta_{\ell}\,(1 - R\phi)^{-2.5}, \qquad R = 1/\phi_m \approx 1.35,$$

حيث $\phi_m$ كسر الرصّ الأقصى، الذي ينحشر عنده المعلّق. ومن أجل $\phi$ الصغيرة تؤول إلى علاقة أينشتاين $\eta = \eta_{\ell}(1 + 2.5\phi)$.

عشرون في المئة من البلّورات تضاعف اللزوجة، وأربعون في المئة تضربها في سبعة، وستون في المئة في أكثر من ستين (التمرين 5.5)؛ وفي الصهارات الحقيقية، حيث البلّورات مستطيلة ومتعدّدة الأحجام، يأتي الانحباس أبكر، قرب $50\text{ ⁧إلى⁩ }70\,\%$ من البلّورات، حيث تضع الشواهد الحقلية نهاية الجريان الكلي.

5.3 المكوّنات المتطايرة

تعريف 5.5 (المكوّنات الصهارية المتطايرة)

المكوّن الصهاري المتطاير مكوّن من مكوّنات الصهارة يكون مذابًا في المصهور في العمق ويكوّن طورًا غازيًا منفصلًا عند الضغط المنخفض: أساسًا الماء، ثم ثاني أكسيد الكربون، ثم أنواع الكبريت. وانفصال المكوّنات المتطايرة هو خروج مكوّن متطاير من المصهور إلى فقاعات غاز. وضغط الإشباع بالمكوّنات المتطايرة لمصهور هو الضغط الذي تتجاوز تحته مكوّناته المتطايرة المذابة ذوبانيّتها، فلا بدّ أن يتكوّن طور غازي.

تحمل الصهارات المافية عادة $1\text{ ⁧إلى⁩ }3\,\%$ من المكوّنات المتطايرة كتلةً، والصهارات الوسيطة $3\text{ ⁧إلى⁩ }4\,\%$، والصهارات الفلسية $4\text{ ⁧إلى⁩ }7\,\%$، وانفصال $4\text{ ⁧إلى⁩ }6\,\%$ من الماء هو الذي يدفع معظم الاندفاعات الانفجارية. وتتوقف كمية الماء التي يستطيع المصهور حملها قبل كل شيء على الضغط. ويبيّن الشكل أدناه قياسات على مصاهير بازلتية وريوليتية أُبقيت تحت ضغط ماء معلوم حتى تشبّعت، ثم بُرّدت فجأة لتصير زجاجًا وحُلّلت: تزداد الذوبانية بحدّة عند الضغط المنخفض وببطء أكبر عند الضغط المرتفع.

قضية 5.6 (قانون الجذر التربيعي للماء)

لنفترض أن الماء يذوب في مصهور سيليكاتي أساسًا على هيئة مجموعات هيدروكسيل، عبر التفاعل $\mathrm{H_2O\,(gas)} + \mathrm{O^{2-}\,(melt)} \rightleftharpoons 2\,\mathrm{OH^-\,(melt)}$، وأكسجين المصهور بفائض كبير. عندئذ، عند المحتويات المائية المنخفضة، يتناسب الماء المذاب مع الجذر التربيعي لضغط الماء: $w \approx s\sqrt{p}$، حيث $s$ ثابت يتوقف على المصهور ودرجة الحرارة.

بضبط $w = s\sqrt p$ على القياسات بطريقة المربعات الصغرى نحصل على $s = 0.34$ في المئة كتلةً لكل $\sqrt{\mathrm{MPa}}$ للبازلتات و$s = 0.44$ للريوليتات؛ وكل قياس يقع في حدود واحد في المئة من الماء عن منحناه. وعندئذ يكون ضغط الإشباع لمصهور فيه $w$ في المئة من الماء $p_s = (w/s)^2$: $129\,\mathrm{MPa}$ لريوليت فيه $5\,\%$ من الماء، أي نحو $5\,\mathrm{km}$ في عمق القشرة، لكن $2\,\mathrm{MPa}$ فقط لبازلت فيه $0.5\,\%$، أي مئة متر أو أقل.

ثاني أكسيد الكربون أقل ذوبانًا من الماء بكثير. فهو يذوب على هيئة جزيئات في الريوليتات وعلى هيئة مجموعات كربونات في البازلتات، وأكثر في المصاهير القلوية منه في الثولييتات، وتزداد ذوبانيته أيضًا مع الضغط. فالصهارة التي تحمل كلا الغازين تبدأ إذن بالانفصال في العمق، بغاز غني جدًا بثاني أكسيد الكربون CO$_2$، ثم يغتني الغاز بالماء كلما صعدت الصهارة. والبازلتات المندفعة على قاع البحر العميق تحوي حويصلات فيها أكثر من $95\,\%$ من CO$_2$، وهذا اقتضى تشبّعًا بغاز CO$_2$ حتى تحت $5\,\mathrm{km}$ من الماء. وتتراوح تقديرات المحتوى الابتدائي من CO$_2$ في البازلتات الأم لكيلاويا من $0.2\,\%$ إلى $0.6\,\%$، وتسجّل الدخائل المصهورية المحبوسة في بلّورات الأوليفين فيها ضغوط إشباع تصل إلى $500\,\mathrm{MPa}$.

يشغل الغاز المنفصل حجمًا كبيرًا. فواحد في المئة من الماء في صهارة عند $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ يشغل، باعتباره غازًا مثاليًا، نحو $12\,\%$ من الحجم عند $100\,\mathrm{MPa}$، و$57\,\%$ عند $10\,\mathrm{MPa}$، وأكثر من $99\,\%$ عند الضغط الجوي (التمرين 5.7). وتُنقص الفقاعات كثافة الصهارة أكثر وتدفعها إلى الأعلى أسرع؛ وفي الصهارة اللزجة لا تستطيع الإفلات، ويبيّن الفصل 6 كيف تفتّتها.

5.4 الصعود

يخضع جسم من الصهارة أقل كثافة مما حوله لقوة طفو قدرها $\Delta\rho\,g$ لوحدة الحجم، حيث $\Delta\rho$ فرق الكثافة. ويستطيع أن يصعد بطريقتين: عبر شقّ يفتحه أمامه، أو على هيئة كتلة ساخنة ليّنة تزيح الصخر المحيط جانبًا.

5.4.1 القواطع

في العمق يخضع الصخر لضغط صخري كبير، لكن شقًّا مملوءًا بصهارة ضغطها أعلى قليلًا من الإجهاد الرئيسي الأصغر يستطيع أن ينفتح ويستطيل عند طرفه. وتملأ الصهارة الشقّ كلما نما، والنتيجة صفيحة رقيقة من الصهارة، عرضها أمتار وطولها كيلومترات، تشقّ طريقها إلى الأعلى: إنه قاطع في طور التكوّن. ثم تجري الصهارة بين جدارين شبه متوازيين.

قضية 5.7 (جريان الصهارة في قاطع)

صهارة نيوتنية لزوجتها $\eta$ يدفعها إلى الأعلى تدرّج ضغط $G$ (في جريان الطفو، $G = \Delta\rho\,g$) بين جدارين متوازيين تفصل بينهما مسافة $w$ تجري بالسرعة المتوسطة

$$\bar u = \frac{G w^2}{12\,\eta},$$

وتدفّق الحجم لوحدة طول القاطع هو $q = \bar u w = G w^3/(12\eta)$.

مكعّب العرض يجعل القواطع العريضة أنجع بكثير من الضيّقة. فبازلت لزوجته $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ في قاطع عرضه $1\,\mathrm{m}$، مع $\Delta\rho = 300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، يصعد بنحو $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ويعبر $10\,\mathrm{km}$ من القشرة في ساعة؛ أمّا ريوليت لزوجته $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ في القاطع نفسه فيحتاج إلى أكثر من سنة، ويتجمّد في الطريق، ولذلك تحتاج الصهارات السيليسية إلى قواطع أعرض بكثير (التمرين 5.6). وعدد رينولدز $\rho\bar u w/\eta$ لهذه الجريانات صغير بما يكفي لتبقى صفائحية. ومعدلات الصعود المقدّرة للصهارات أثناء الاندفاعات تفصل الاندفاعات الانسكابية، تحت نحو $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، عن الانفجارية فوقه، مع مدى انتقالي من $0.005\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ إلى $0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ يحدث فيه الطرازان كلاهما؛ والكمبرليتات، الآتية من أعماق تتجاوز $150\,\mathrm{km}$، قُدّرت سرعتها من $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ إلى $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، وتعطي دراسة انتشار لواحد منها من $0.02\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ إلى $0.23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ متوسطًا على آخر $80\text{ ⁧إلى⁩ }110\,\mathrm{km}$، أي رحلة من $5\text{ ⁧إلى⁩ }74$ يومًا.

5.4.2 الديابيرات

تعريف 5.8 (الديابير، مستوى الطفو المتعادل، الاقتلاع)

الديابير جسم من مادة طافية، صهارة أو صخر منصهر جزئيًا، يصعد عبر ما يحيط به بإزاحته جانبًا بالجريان. ومستوى الطفو المتعادل لصهارة هو العمق الذي تساوي فيه كثافتها كثافة الصخر المحيط: تحته تكون الصهارة طافية، وفوقه تكون أكثف مما حولها. والاقتلاع الصهاري هو انفصال كتل من صخر الجدار أو السقف، تغوص في الصهارة؛ والكتل التي تبقى محصورة في الصخر المتصلّب هي الصخور الدخيلة (الزينوليثات).

قضية 5.9 (صعود ستوكس)

كرة نصف قطرها $a$ ونقص كثافتها $\Delta\rho$ تصعد ببطء في وسط نيوتني لزوجته $\eta$ تبلغ السرعة الحدّية

$$v = \frac{2\,\Delta\rho\,g\,a^2}{9\,\eta}$$

إن كانت صلبة، و$1.5$ ضعف ذلك إن كانت مائعًا لزوجته مهملة.

الصخر المحيط بالديابير ليس مائعًا لزوجته $100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، بل جسم صلب ساخن لزوجته أعلى برتب كثيرة من القيمة من لزوجة أي مصهور: ففي القشرة لا تصعد كرة من الصهارة قطرها كيلومتر إلا ملّيمترات في السنة، وتفقد حرارتها قبل أن تصعد بعيدًا بزمن طويل (التمرين 5.9). فالديابيرات تعمل حيث يكون المحيط ساخنًا ليّنًا، في الوشاح وفي الجذور العميقة للسلاسل الجبلية، وحيث تكون المادة الطافية كتلة منصهرة جزئيًا عرضها كيلومترات؛ أمّا القشرة الضحلة فتعبرها القواطع.

5.5 التموضع

معظم الصهارة لا يبلغ السطح أبدًا. فهي تتوقف حيث لا تعود طافية، أو حيث تعترضها طبقة أمتن، وتنتشر في جسم يسجّل شكله كيف أفسحت لنفسها مكانًا.

تعريف 5.10 (الأجسام المتداخلة)

البلوتون كل جسم من الصهارة تصلّب داخل القشرة. والقاطع بلوتون صفائحي الشكل يقطع تطبّق الصخر المضيف (أو أي صفيحة إن لم يكن للمضيف تطبّق)؛ والعتبة بلوتون صفائحي الشكل موازٍ للتطبّق. واللاكوليث عتبة ثخنت بدفع الطبقات العلوية إلى الأعلى في قبّة. والباثوليث بلوتون كبير، أو مجموعة من البلوتونات، مساحة ما يتكشّف منه أكثر من $100\,\mathrm{km}^{2}$.

يتوقف مكان توقّف الصهارة أولًا على كثافتها. ففي قشرة تزداد كثافتها مع العمق تصعد الصهارة إلى مستوى طفوها المتعادل وتنتشر جانبيًا هناك، عتبةً أو عدسة؛ والرسوبيات الخفيفة قرب السطح مصائد ناجعة على نحو خاص للصهارة البازلتية الكثيفة. ويمكن أيضًا لطبقة متينة صلبة أن توقف قاطعًا وتحرفه على امتداد قاعدتها. ويبيّن الشكل أدناه المبدأ.

على البلوتون أن يفسح لنفسه مكانًا. فقد يرفع سقفه، كما يفعل اللاكوليث؛ وقد يدفع جدرانه جانبًا حيث تكون ليّنة؛ وقد يملأ فراغًا فتحه التصدّع؛ وقد يقتلع سقفه كتلةً كتلة. وطويلًا تُصوِّرت البلوتونات الكبيرة خزّانات صهارة هائلة تموضعت دفعة واحدة. وقد غيّر التأريخ هذه الصورة. فبلّورات الزركون في مجموعة تولومني الاندساسية، وهي باثوليث غرانيتي في كاليفورنيا، تُظهر أنها تموضعت بين $95$ و$85\,\mathrm{Ma}$، الأقدم عند الحواف والأحدث في المركز، وأن إحدى وحداتها وحدها تموضعت على مدى أكثر من $3\,\mathrm{Myr}$، بين $92.8\,\mathrm{Ma}$ و$88.8\,\mathrm{Ma}$. ولو تموضع جسم واحد من الصهارة سمكه $5\,\mathrm{km}$ وعرضه $20\,\mathrm{km}$ على عمق $15\,\mathrm{km}$ لكان قد برد تحت $750\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، حيث يكون نصفه تقريبًا قد تبلور، في نحو $500\,000$ سنة. فلا بدّ أن تكون مثل هذه البلوتونات قد تجمّعت تدريجيًا، من اندساسات أصغر كثيرة كالصفائح والقواطع، على مدى ملايين السنين (التمرين 5.11).

5.6 التبريد والتحوّل التماسي

يفقد الجسم المتداخل حرارته بالتوصيل إلى صخوره المضيفة. وأبسط نموذج يعامل الجسم المتداخل ومضيفه وسطًا موصلًا واحدًا منتظم الانتشارية $\kappa$: في اللحظة صفر تكون صفيحة سمكها $b$ عند درجة حرارة الجسم المتداخل $T_m$ والمضيف عند $T_0$. وحلّ معادلة الحرارة، حيث $x$ مقيسة من منتصف الصفيحة، هو

ويبيّن الشكل أدناه هذا الحلّ لعتبة سمكها $100\,\mathrm{m}$.

قضية 5.11 (درجة حرارة التماس)

في هذا النموذج، ما دام $\sqrt{\kappa t}$ صغيرًا مقارنة بالسمك $b$، تبقى درجة الحرارة عند تماس الجسم المتداخل مساوية للمتوسط $(T_m + T_0)/2$ لدرجتي حرارة الجسم المتداخل والمضيف.

فقاطع بازلتي عند $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ في صخور عند $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ يسخّن إذن تماسه إلى $600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. وحرارة التبلور، وهي عادة $700\text{ ⁧إلى⁩ }1000\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$، تبقي الصهارة ساخنة مدة أطول وترفع هذه القيمة: فمع $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ محرَّرة بين $1150$ و$950\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ يعطي النموذج نفسه $690\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، في حين أن الموصليات المتوقفة على درجة الحرارة والصخور المضيفة الرطبة تخفض التقديرين كليهما بمقدار 50 إلى $75\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

السلّم الزمني للتبريد هو الزمن الذي تحتاجه الحرارة لتنتشر عبر الجسم المتداخل، من رتبة $(b/2)^2/\kappa$: نحو $16$ يومًا لقاطع عرضه $2\,\mathrm{m}$، وقرن لعتبة سمكها $100\,\mathrm{m}$، ومئة ألف سنة لبلوتون من بضعة كيلومترات. وتطيله الحرارة الكامنة، وكذلك الحاجة إلى تصليب الصهارة لا مجرد تبريدها.

قضية 5.12 (تصلّب جسم متداخل)

لتملأ صهارةٌ عند درجة حرارة تصلّبها $T_m$، وحرارتها الكامنة $L$ لوحدة الحجم، الحيّزَ $y > 0$ بجوار صخر مضيف عند $T_0$ يشغل $y < 0$، ولكليهما سعة حرارية $\rho c$ لوحدة الحجم وانتشارية $\kappa$. عندئذ تتقدّم جبهة التصلّب وفق $y_s = 2\lambda\sqrt{\kappa t}$، حيث $\lambda$ جذر المعادلة

$$\frac{L\sqrt\pi}{\rho c\,(T_m - T_0)} = \frac{e^{-\lambda^2}}{\lambda\,(1 + \operatorname{erf}\lambda)},$$

ويبقى التماس عند $T_0 + (T_m - T_0)/(1 + \operatorname{erf}\lambda)$. والعتبة التي سمكها $b$، وتتصلّب من جداريها كليهما، تصير صلبة بعد $t = b^2/(16\lambda^2\kappa)$.

مع الحرارة الكامنة لبازلت ومضيف عند نحو $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، تكون $\lambda$ نحو $0.65$: فالعتبة التي سمكها $100\,\mathrm{m}$ تتصلّب في نحو سبعين سنة، ويبقى تماسها قرب $740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ لا $625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ أثناء ذلك. وتعالج مسألة نهاية الأسبوع هذه الحالة. ولأن الزمن يزداد مع مربع السمك، فإن عتبة أثخن بعشر مرات تستغرق زمنًا أطول بمئة مرة.

تعريف 5.13 (هالة التماس وصخورها)

الحافة المبرّدة هي الحافة الدقيقة الحبيبات أو الزجاجية للجسم المتداخل، حيث بردت الصهارة بسرعة على تماس صخر مضيف أبرد. وهالة التماس نطاق الصخر المضيف حول جسم متداخل تحوّل بفعل حرارته. والهورنفلس هو الصخر الصلب الدقيق الحبيبات غير المتورّق الذي تصير إليه الصخور الطينية والصخور البركانية في هالة التماس. والسكارن هو الصخر المتكوّن حيث تتفاعل الموائع الصهارية الساخنة مع صخر مضيف كربوناتي، فترسّب سيليكات الكالسيوم والحديد والمغنيسيوم مثل الغارنت والبيروكسين، ومعها غالبًا المغنتيت وكبريتيدات الفلزات.

تتراوح هالات التماس من بضعة سنتيمترات حول القواطع والعتبات الصغيرة إلى عدّة عشرات من الأمتار حول جذع كبير، ويمتدّ التحوّل التماسي من نحو $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ إلى أكثر من $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. فالصخر الطيني يصير هورنفلس، والحجر الجيري رخامًا، والحجر الرملي كوارتزيتًا. والصهارة التي تتموضع عميقًا في صخور ساخنة أصلًا لا تكاد تصنع هالة: فالعرض يتوقف على حجم الجسم المتداخل ودرجة حرارته وعلى درجة حرارة مضيفه، كما يتنبّأ نموذج التبريد (التمرين 5.12). أمّا المعادن التي تنمو في الهالة، وما تقوله عن درجة الحرارة، فموضعها الفصل 10؛ والفلزات التي تركّزها السكارنات موضعها الفصل 29.

في الميدان — قراءة تماسات قاطع

حيث يتكشّف قاطع، يتتبّع الجيولوجي أولًا حدود تماسه مع الصخر المضيف. فالحافة الأدق حبيبات أو الأكثر زجاجية من مركز القاطع تدلّ على أن الصهارة بُرّدت على تماس صخر بارد؛ وقاطع عرضه $25\,\mathrm{cm}$ دُرس على ساحل كولومبيا البريطانية له حواف مبرّدة سمكها $2\,\mathrm{cm}$. ثم يُفحص الصخر المضيف بجوار التماس بحثًا عن الشيّ: تغيّر في اللون، أو تصلّب، أو معادن جديدة تتلاشى كلما ابتعدنا عن القاطع. وعرض النطاق المشويّ وعرض الحافة المبرّدة، مقيسين بالنسبة إلى عرض القاطع، يدلّان على مدى سخونة المضيف حين وصل القاطع؛ والقاطع الذي لا حافة مبرّدة له ولا هالة اندسّ في صخور ساخنة أصلًا. وتؤخذ عيّنات عبر القاطع، من الحافة إلى المركز، لدراسة جيوكيمياء مصهوره وأحجام بلّوراته.

5.7 التمارين

تمرين 5.1 ★

للمصاهير الغرانيتية المائية، تعطي معادلة مضبوطة على القياسات $\log_{10}\eta = [-3.545 + 0.833\ln w] + [9601 - 2368\ln w]/\{T - [195.7 + 32.25\ln w]\}$، حيث $\eta$ بوحدة $\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، و$w$ المحتوى المائي بالنسبة المئوية الكتلية و$T$ بالكلفن. احسب $\log_{10}\eta$ عند $800\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ من أجل $w = 1$ و$w = 4$، والعامل الذي تُخفض به النسب المئوية الثلاث الإضافية من الماء اللزوجة.

حل

حل التمرين 5.1.

$T = 1073\,\mathrm{K}$. من أجل $w = 1$، $\ln w = 0$: $\log_{10}\eta = -3.545 + 9601/(1073 - 195.7) = -3.545 + 10.94 = 7.40$. ومن أجل $w = 4$، $\ln 4 = 1.386$: $A = -3.545 + 1.155 = -2.390$، $B = 9601 - 3283 = 6318$، $C = 195.7 + 44.7 = 240.4$، و$\log_{10}\eta = -2.390 + 6318/832.6 = -2.390 + 7.588 = 5.20$. وتنخفض اللزوجة بعامل $10^{7.40 - 5.20} = 10^{2.20} \approx 160$.

تمرين 5.2 ★

باستعمال قانون الجذر التربيعي، مع $s = 0.44$ للريوليت و$s = 0.34$ للبازلت (نسبة مئوية كتلية لكل $\sqrt{\mathrm{MPa}}$)، احسب ضغط الإشباع لريوليت فيه $6\,\%$ من الماء ولبازلت فيه $0.5\,\%$، والعمقين المقابلين في قشرة كثافتها $2600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ($g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

حل

حل التمرين 5.2.

الريوليت: $p_s = (6/0.44)^2 = 186\,\mathrm{MPa}$، على عمق $186 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 7.3\,\mathrm{km}$. البازلت: $p_s = (0.5/0.34)^2 = 2.16\,\mathrm{MPa}$، على $2.16 \times 10^{6}/(2600\times9.81) = 85\,\mathrm{m}$. فالريوليت يبدأ بتكوين الفقاعات في عمق القشرة، والبازلت قرب السطح فقط (إن لم يحمل CO$_2$).

تمرين 5.3 ★

احسب درجة حرارة التماس لقاطع بازلتي عند $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ اندسّ في صخور عند $50\,{}^{\circ}\mathrm{C}$، ثم في صخور عند $400\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. أيّ القاطعين ستكون حافته المبرّدة أعرض؟

حل

حل التمرين 5.3.

$(1150 + 50)/2 = 600\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$(1150 + 400)/2 = 775\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. والقاطع الذي في الصخر البارد يُبرَّد بشدّة أكبر عند تماسه، فتكون له الحافة المبرّدة الأعرض.

تمرين 5.4 ★

سمِّ كل جسم. (أ) صفيحة من الدوليريت سمكها $30\,\mathrm{m}$ تقع بين طبقتين من الحجر الرملي على امتداد $20\,\mathrm{km}$. (ب) صفيحة رأسية من البازلت عرضها $2\,\mathrm{m}$ تقطع أحجارًا جيرية أفقية. (ج) غرانيت يتكشّف على مساحة $2000\,\mathrm{km}^{2}$، مكوّن من دزينة وحدات مختلفة الأعمار. (د) عدسة من البورفيري قطرها $1\,\mathrm{km}$، مسطّحة عند قاعدتها، تتقوّس فوقها الطبقات إلى الأعلى. (ه) صفيحة أفقية من البازلت في غرانيت.

حل

حل التمرين 5.4.

(أ) عتبة، موازية للتطبّق. (ب) قاطع، يقطع التطبّق. (ج) باثوليث، مساحته أكثر من $100\,\mathrm{km}^{2}$ ومتجمّع من اندساسات كثيرة. (د) لاكوليث، قبّب سقفه. (ه) قاطع: ليس للغرانيت تطبّق، فكل صفيحة فيه قاطع، أيًّا كان اتجاهها.

تمرين 5.5 ★★

لمصهور بازلتي $\eta_{\ell} = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. باستعمال علاقة أينشتاين وروسكو ($R = 1.35$)، احسب لزوجة الصهارة التي فيها $5\,\%$ و$20\,\%$ و$40\,\%$ و$60\,\%$ من البلّورات، وقارن الأولى بصيغة أينشتاين للمعلّقات المخفّفة. عند أيّ حصّة من البلّورات تتنبّأ العلاقة بالانحشار؟

حل

حل التمرين 5.5.

$(1 - 1.35\phi)^{-2.5}$: من أجل $\phi = 0.05$، $0.9325^{-2.5} = 1.19$، أي $119\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، مقابل $1 + 2.5\times0.05 = 1.125$، أي $113\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، بصيغة أينشتاين (وهما متقاربتان، كما ينبغي في حدّ التخفيف). ومن أجل $0.20$: $0.73^{-2.5} = 2.20$، أي $220\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$؛ ومن أجل $0.40$: $0.46^{-2.5} = 6.97$، أي $697\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$؛ ومن أجل $0.60$: $0.19^{-2.5} = 63.6$، أي نحو $6360\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. والانحشار عند $\phi = 1/1.35 = 0.74$.

تمرين 5.6 ★★

تصعد صهارة كثافتها أقل من كثافة جدرانها بمقدار $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ عبر قاطع. (أ) لبازلت ($\eta = 100\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$، $\rho = 2700\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) في قاطع عرضه $1\,\mathrm{m}$، احسب السرعة المتوسطة، والتدفّق لكل متر من القاطع، وعدد رينولدز، وزمن الصعود $10\,\mathrm{km}$. (ب) الزمن نفسه لريوليت لزوجته $10^{6}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ في قاطع عرضه $1\,\mathrm{m}$، ثم $10\,\mathrm{m}$. (ج) يفقد قاطع عرضه $1\,\mathrm{m}$ حرارته في زمن من رتبة $(w/2)^2/\kappa$، مع $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$: أيّ الصعودات الثلاثة يمكن أن ينجح؟

حل

حل التمرين 5.6.

$G = 300\times9.81 = 2943\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$. (أ) $\bar u = 2943\times1^2/(12\times100) = 2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$؛ $q = 2.45\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$؛ $Re = 2700\times2.45\times1/100 = 66$، صفائحي؛ $t = 10000/2.45 = 4080\,\mathrm{s}$، أي نحو $1.1\,\mathrm{h}$. (ب) $\bar u = 2943/(12\times10^{6}) = 2.45 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، $t = 4.08 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 472$ يومًا؛ ومع $w = 10\,\mathrm{m}$ تكون $\bar u$ أكبر بمئة مرة، $0.0245\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، و$t = 4.08 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 4.7$ أيام. (ج) يبرد القاطع الذي عرضه $1\,\mathrm{m}$ في نحو $0.5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$، أي 2.9 يوم؛ والقاطع الذي عرضه $10\,\mathrm{m}$ في $5^2/10^{-6} = 2.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، أي 289 يومًا. فالبازلت ($1.1\,\mathrm{h}$) والريوليت في القاطع العريض (4.7 أيام) يصلان قبل أن يتجمّد قاطعاهما؛ أمّا الريوليت في القاطع الذي عرضه $1\,\mathrm{m}$ (472 يومًا) فلا يستطيع.

تمرين 5.7 ★★

تحرّر صهارة كثافتها $2400\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ عند $900\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ $1\,\%$ من كتلتها بخار ماء. باعتبار البخار غازًا مثاليًا ($R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$، $18.015\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$)، احسب الكسر الحجمي للغاز في الصهارة عند $100\,\mathrm{MPa}$ و$10\,\mathrm{MPa}$ و$0.1\,\mathrm{MPa}$. أيّ القيم الثلاث أقلها موثوقية، ولماذا؟

حل

حل التمرين 5.7.

لكل كيلوغرام من الصهارة، $n = 10/18.015 = 0.555\,\mathrm{mol}$ من الماء و$nRT = 0.555\times8.314\times1173 = 5414\,\mathrm{J}$؛ ويشغل المصهور الباقي $0.99/2400 = 4.13 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$. عند $100\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$، والكسر $5.41/(5.41 + 41.3) = 0.12$. وعند $10\,\mathrm{MPa}$: $V = 5.41 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$، والكسر $0.57$. وعند $0.1\,\mathrm{MPa}$: $V = 0.0541\,\mathrm{m}^{3}$، والكسر $0.992$. والقيمة عند $100\,\mathrm{MPa}$ أقلها موثوقية: فبخار الماء عند مثل هذا الضغط كثيف وبعيد عن المثالية (وكثير من الماء سيبقى في الواقع مذابًا).

تمرين 5.8 ★★

في حوض، تزداد كثافة الصخور مع العمق $z$ وفق $\rho(z) = 2300 + 60\,z$ ($\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، و$z$ بوحدة $\mathrm{km}$) حتى $10\,\mathrm{km}$. (أ) أين يقع مستوى الطفو المتعادل لمصهور بازلتي كثافته $2650\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$؟ (ب) يُظهر نموذج الكثافة في هذا الفصل أن واحدًا في المئة من الماء المذاب يُخفض كثافة المصهور البازلتي بنحو $70\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. أين يتوقف مصهور فيه واحد في المئة إضافي من الماء؟ (ج) ما قوة الطفو لكل متر مكعب من المصهور الجاف على عمق $2\,\mathrm{km}$ تحت مستوى طفوه المتعادل؟

حل

حل التمرين 5.8.

(أ) $2300 + 60z = 2650$ تعطي $z = 5.8\,\mathrm{km}$. (ب) كثافة المصهور $2580\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $z = 280/60 = 4.7\,\mathrm{km}$، أي أعلى بنحو $1.2\,\mathrm{km}$. (ج) عند $z = 7.8\,\mathrm{km}$ تكون كثافة الصخر $2300 + 60\times7.8 = 2770\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$؛ والقوة $(2770 - 2650)\times9.81 = 1.2\,\mathrm{kN}$ لكل متر مكعب، نحو الأعلى.

تمرين 5.9 ★★

لنفترض أن ديابيرًا غرانيتيًا نصف قطره $1\,\mathrm{km}$ ونقص كثافته $300\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ يصعد عبر قشرة سفلى لزوجتها $10^{19}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. احسب سرعة ستوكس له (كرة صلبة) بالملّيمتر في السنة وزمن الصعود $10\,\mathrm{km}$. وقارن بالسلّم الزمني $a^2/\kappa$ لتبريده، مع $\kappa = 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. ماذا تستنتج؟

حل

حل التمرين 5.9.

$v = 2\times300\times9.81\times(1000)^2/(9\times10^{19}) = 6.5 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$، أي $6.5 \times 10^{-11}\times3.156 \times 10^{7} = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ في السنة، $2.1\,\mathrm{mm}/\mathrm{yr}$. والصعود $10\,\mathrm{km}$ يستغرق $10^{4}/2.1 \times 10^{-3} = 4.8\,\mathrm{Myr}$. والسلّم الزمني للتبريد هو $(1000)^2/10^{-6} = 10^{12}\,\mathrm{s} = 32\,\mathrm{kyr}$: فيتصلّب الجسم بعد أن يصعد نحو $32000\times0.0021 \approx 70\,\mathrm{m}$. لا يستطيع ديابير صهاري عبور مثل هذه القشرة؛ إنه يحتاج إلى محيط أسخن وألين.

تمرين 5.10 ★★★

يذوب الماء في مصهور على هيئة جزيئات، $x_m = K_1 f$، وعلى هيئة مجموعات هيدروكسيل، $x_{\mathrm{OH}}^2 = K_2 x_m$ (وأكسجين المصهور بفائض كبير)، بحيث يكون الماء المذاب الكلي $x = x_m + x_{\mathrm{OH}}/2$. (أ) عبّر عن $x$ بدلالة $f$ وبيّن أنه يسلك سلوك $\sqrt f$ عند $f$ المنخفضة وسلوك $f$ عند $f$ المرتفعة. (ب) عند أيّ فوغاسية يتساوى وفور شكلي الماء؟ (ج) مع $K_1 = 1 \times 10^{-4}\,\mathrm{MPa}^{-1}$ و$K_2 = 0.2$، احسب هذه الفوغاسية، وحصّة الماء المذاب على هيئة هيدروكسيل عند $100\,\mathrm{MPa}$.

حل

حل التمرين 5.10.

(أ) $x_{\mathrm{OH}} = \sqrt{K_2x_m} = \sqrt{K_1K_2f}$، ومنه $x = K_1f + \frac12\sqrt{K_1K_2f}$. ونسبة الحدّ الأول إلى الثاني هي $2\sqrt{K_1f/K_2}$: تؤول إلى الصفر حين $f \to 0$ (فيهيمن الجذر التربيعي) وتنمو بلا حدّ مع $f$ (فيهيمن الحدّ الخطي). (ب) $K_1 f = \frac12\sqrt{K_1K_2 f}$ تعطي $K_1^2f^2 = K_1K_2f/4$، ومنه $f = K_2/(4K_1)$. (ج) $f = 0.2/(4 \times 10^{-4}) = 500\,\mathrm{MPa}$. وعند $100\,\mathrm{MPa}$: $x_m = 0.0100$، و$\frac12\sqrt{10^{-4}\times0.2\times100} = \frac12\times0.0447 = 0.0224$، ومنه $x = 0.0324$ وحصّة الهيدروكسيل $0.0224/0.0324 = 69\,\%$.

تمرين 5.11 ★★★

يتجمّع بلوتون غرانيتي حجمه $1000\,\mathrm{km}^{3}$ على مدى $4\,\mathrm{Myr}$. (أ) احسب متوسط إمداده بالصهارة بوحدة $\mathrm{km}^{3}$ في السنة وبوحدة $\mathrm{m}^{3}$ في الثانية. (ب) يغذّيه قاطع واحد طوله $1\,\mathrm{km}$ وعرضه $2\,\mathrm{m}$، سرعته المتوسطة $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: كم يستغرق القاطع لإيصال البلوتون كله؟ وما الحصّة التي يمثّلها ذلك من $4\,\mathrm{Myr}$؟ (ج) إذا كان البلوتون مبنيًا من صفائح سمكها $20\,\mathrm{m}$ وأبعادها $10\,\mathrm{km}$ في $10\,\mathrm{km}$، فكم صفيحة يلزم، وكم من الزمن يفصل في المتوسط بين اثنتين منها؟ (د) مع $\lambda = 0.65$ و$\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، كم تستغرق الصفيحة لكي تتصلّب؟ هل كان البلوتون يومًا جسمًا كبيرًا واحدًا من الصهارة؟

حل

حل التمرين 5.11.

(أ) $1000/4 \times 10^{6} = 2.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{km}^{3}$ في السنة، أي $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}$ في السنة، أو $2.5 \times 10^{5}/3.156 \times 10^{7} = 0.0079\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، أي نحو ثمانية لترات في الثانية. (ب) ينقل القاطع $1000\times2\times0.8 = 1600\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$، ويوصل $10^{12}\,\mathrm{m}^{3}$ في $6.25 \times 10^{8}\,\mathrm{s}$، أي نحو 20 سنة: $5 \times 10^{-6}$ من $4\,\mathrm{Myr}$. (ج) تحوي كل صفيحة $20\times10^{4}\times10^{4} = 2 \times 10^{9}\,\mathrm{m}^{3} = 2\,\mathrm{km}^{3}$، فيلزم 500 صفيحة، واحدة كل $4 \times 10^{6}/500 = 8000$ سنة في المتوسط. (د) $t = (10)^2/(4\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 8.5 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، أي 2.7 سنة. فكل صفيحة تتصلّب قبل وصول التالية بآلاف السنين: وما لم يأتِ الإمداد في دفقات سريعة، فلن يكون البلوتون أبدًا جسمًا كبيرًا واحدًا من الصهارة، كما يوحي تأريخ البلوتونات الكبيرة.

تمرين 5.12 ★★★

بعيدًا عن قاطع رقيق عرضه $b$ (على مسافات $x \gg b$)، تعمل حرارته كمصدر مستوٍ لحظي: $T - T_0 = (T_m - T_0)\,b\,e^{-x^2/(4\kappa t)}/\sqrt{4\pi\kappa t}$. (أ) بيّن أن درجة الحرارة على المسافة $x$ تبلغ أقصاها عند $t^* = x^2/(2\kappa)$، وأن هذا الارتفاع الأقصى هو $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (ب) لقاطع عرضه $2\,\mathrm{m}$ مع $T_m - T_0 = 1100\,\mathrm{K}$، على أيّ مسافة يسخن الصخر بمقدار $100\,\mathrm{K}$ على الأكثر، ومتى ($\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$)؟ (ج) لماذا تكون هالات القواطع الرقيقة ضيّقة إلى هذا الحدّ؟

حل

حل التمرين 5.12.

(أ) عند $x$ ثابتة، $\ln(T - T_0) = \text{ثابت} - \frac12\ln t - x^2/(4\kappa t)$، ومشتقته $-1/(2t) + x^2/(4\kappa t^2)$ تنعدم عند $t^* = x^2/(2\kappa)$. وعندئذ $e^{-x^2/(4\kappa t^*)} = e^{-1/2}$ و$\sqrt{4\pi\kappa t^*} = x\sqrt{2\pi}$، ومنه $\Delta T_{\max} = (T_m - T_0)\,b\,e^{-1/2}/(x\sqrt{2\pi}) = (T_m - T_0)\,b/(x\sqrt{2\pi e})$. (ب) $\sqrt{2\pi e} = 4.13$: $x = 1100\times2/(100\times4.13) = 5.3\,\mathrm{m}$، تُبلغ بعد $t^* = 5.3^2/(2\times0.7 \times 10^{-6}) = 2.0 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$، أي نحو 230 يومًا (وعلى بعد 2.7 ضعف عرض القاطع فقط يكون تقريب المصدر المستوي خشنًا). (ج) يتناقص التسخين بنسبة $b/x$: فالقاطع الرقيق يحمل حرارة قليلة، ولا يسخن الصخر سخونة ملموسة إلا في حدود بضعة أضعاف عرض القاطع.

5.8 مسألة: العتبة تحت الهضبة

مسألة 5.1

مسألة نهاية الأسبوع — تتبّع صهارة بازلتية من قاطعها المغذّي إلى عتبة، وماؤها، والزمن الذي تستغرقه العتبة لتتصلّب

تحت هضبة متخيَّلة، ترتكز رسوبيات (طفل وحجر رملي) متوسط كثافتها $2450\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ على عمق $3.0\,\mathrm{km}$ فوق قاعدة بلّورية كثافتها $2800\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. صعدت صهارة بازلتية من $15\,\mathrm{km}$ عبر قاطع عرضه $2.0\,\mathrm{m}$ وانتشرت على امتداد قاعدة الرسوبيات عتبةً من الدوليريت سمكها $100\,\mathrm{m}$. البيانات: درجة حرارة الاندساس $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ قانون لزوجة المصهور $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(T - 611)$ ($T$ بالكلفن)؛ كثافة المصهور مع مائه $2710\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$؛ $20\,\%$ من البلّورات حجمًا (أينشتاين وروسكو، $R = 1.35$)؛ الماء المذاب $0.40\,\%$، والذوبانية $s = 0.34$ في المئة لكل $\sqrt{\mathrm{MPa}}$؛ درجة حرارة المضيف عند العتبة $100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ $\kappa = 0.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$، $\rho c = 2.5\,\mathrm{MJ}/(\mathrm{m}^{3}\,\mathrm{K})$، الحرارة الكامنة $900\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$، مع اعتبار الصهارة تتصلّب عند درجة حرارة اندساسها؛ $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$؛ والسنة الواحدة $3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$.

الجزء الأول — الصهارة.

1. احسب $\log_{10}\eta$ و$\eta$ للمصهور عند $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1423\,\mathrm{K}$).
2. السؤال نفسه عند $1100\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. بأيّ عامل تتغيّر اللزوجة على هذه الدرجات الخمسين ($50\,\mathrm{K}$)؟
3. احسب لزوجة الصهارة مع بلّوراتها عند $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.
4. عند أيّ حصّة من البلّورات تجعل علاقة أينشتاين وروسكو الصهارة تنحشر؟ قارن بالتقدير الحقلي لنهاية الجريان الكلي.
5. احسب فرق الكثافة بين الصهارة والقاعدة، وبين الصهارة والرسوبيات.
6. احسب الضغط الصخري عند مستوى العتبة.

الجزء الثاني — صعودًا في القاطع.

7. احسب تدرّج ضغط الطفو $\Delta\rho\,g$ الذي يدفع الصهارة عبر القاعدة.
8. احسب السرعة المتوسطة للصهارة في القاطع.
9. احسب التدفّق لكل متر من القاطع، والتدفّق الكلي إذا كان طول القاطع $1.0\,\mathrm{km}$.
10. احسب عدد رينولدز للجريان. هل هو صفائحي؟
11. كم تستغرق الصهارة لتصعد من $15\,\mathrm{km}$ إلى $3.0\,\mathrm{km}$؟
12. قارن بالسلّم الزمني $(w/2)^2/\kappa$ الذي يفقد فيه القاطع حرارته. هل يستطيع أن يبقى مفتوحًا؟
13. اشرح لماذا توقفت الصهارة عند $3.0\,\mathrm{km}$ وانتشرت جانبيًا، مستعملًا مفردات الفصل.

الجزء الثالث — الماء.

14. احسب ضغط الإشباع لماء المصهور، والعمق في الرسوبيات الذي يُبلغ عنده.
15. ما كمية الماء التي يستطيع المصهور حملها عند مستوى العتبة؟ هل تفصل صهارة العتبة ماءً؟
16. تحوي الحويصلات في الحافة المبرّدة للعتبة أساسًا CO$_2$. اشرح.
17. لو خرج كل الماء البالغ $0.40\,\%$ عند السطح، عند $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ و$0.1\,\mathrm{MPa}$، فما الكسر الحجمي من الصهارة الذي يشغله البخار (غاز مثالي)؟

الجزء الرابع — التبريد والتصلّب.

18. بإهمال الحرارة الكامنة، احسب درجة حرارة التماس للعتبة.
19. بإهمال الحرارة الكامنة، احسب درجة الحرارة على بعد $10\,\mathrm{m}$ فوق التماس العلوي بعد $10$ سنوات من الاندساس.
20. النموذج نفسه: احسب درجة الحرارة في منتصف العتبة بعد $10$ سنوات و$50$ سنة.
21. النموذج نفسه: على بعد $80\,\mathrm{m}$ فوق التماس العلوي، احسب درجة الحرارة بعد $300$ و$363$ و$420$ سنة. هل تبلغ الصخور هناك يومًا $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؟
22. احسب $L\sqrt\pi/(\rho c\,(T_m - T_0))$ للعتبة.
23. احسب قيمة $e^{-\lambda^2}/(\lambda(1 + \operatorname{erf}\lambda))$ من أجل $\lambda = 0.64$ و$0.65$ و$0.66$ ($\operatorname{erf}0.64 = 0.6346$، $\operatorname{erf}0.65 = 0.6420$، $\operatorname{erf}0.66 = 0.6494$)، وأعطِ $\lambda$ بمنزلتين عشريتين.
24. مع الحرارة الكامنة، احسب درجة حرارة التماس أثناء تصلّب العتبة. لماذا هي أعلى منها في السؤال 18؟
25. احسب السلّم الزمني $(b/2)^2/\kappa$ بالسنوات.
26. احسب الزمن الذي تستغرقه العتبة لتتصلّب، بالسنوات، وهو الرقم الأساسي في هذه المسألة، واشرح لماذا هو أقصر من السلّم الزمني في السؤال السابق مع أن الحرارة الكامنة يجب أن تُزال.

حل

حل المسألة 5.1.

1. $\log_{10}\eta = -4.55 + 5510/(1423 - 611) = -4.55 + 6.786 = 2.24$؛ $\eta = 172\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

2. $-4.55 + 5510/762 = -4.55 + 7.231 = 2.68$، $\eta = 480\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$: أي عامل $480/172 = 2.8$ على $50\,\mathrm{K}$.

3. $172\times(1 - 1.35\times0.20)^{-2.5} = 172\times0.73^{-2.5} = 172\times2.20 = 378\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$.

4. $\phi = 1/1.35 = 0.74$. وتضع الشواهد الحقلية نهاية الجريان الكلي عند حصّة مصهور من $30\text{ ⁧إلى⁩ }50\,\%$، أي $50\text{ ⁧إلى⁩ }70\,\%$ من البلّورات: أبكر، لأن البلّورات الحقيقية ليست كرات ذات حجم واحد.

5. القاعدة: $2800 - 2710 = 90\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، فالصهارة أخفّ. الرسوبيات: $2450 - 2710 = -260\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$، فالصهارة أكثف.

6. $p = 2450\times9.81\times3000 = 72.1\,\mathrm{MPa}$.

7. $90\times9.81 = 883\,\mathrm{Pa}/\mathrm{m}$.

8. $\bar u = 883\times2.0^2/(12\times378) = 3532/4536 = 0.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

9. $q = 0.78\times2.0 = 1.56\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$؛ وعلى $1.0\,\mathrm{km}$، نحو $1560\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$.

10. $Re = 2710\times0.78\times2.0/378 = 11$: صفائحي.

11. $12000/0.78 = 15\,400\,\mathrm{s}$، أي نحو $4.3\,\mathrm{h}$.

12. $(1.0)^2/0.7 \times 10^{-6} = 1.43 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$، أي 16.5 يومًا، أطول بكثير من $4.3\,\mathrm{h}$: فيبقى القاطع مفتوحًا ما دامت الصهارة تجري.

13. عند $3.0\,\mathrm{km}$ تلاقي الصهارة رسوبيات أخفّ منها: فقاعدة الرسوبيات هي مستوى طفوها المتعادل. وفوقه تكون الصهارة أكثف مما حولها، فتنتشر جانبيًا على امتداد التماس على هيئة عتبة.

14. $p_s = (0.40/0.34)^2 = 1.38\,\mathrm{MPa}$، يُبلغ على عمق $1.38 \times 10^{6}/(2450\times9.81) = 58\,\mathrm{m}$ تحت السطح.

15. $0.34\times\sqrt{72.1} = 0.34\times8.49 = 2.9\,\%$، أكثر بكثير من $0.40\,\%$ الموجودة: فلا تفصل صهارة العتبة ماءً.

16. CO$_2$ أقل ذوبانًا من الماء بكثير: فهو يتشبّع ويكوّن فقاعات في عمق مسار الصعود، ولذلك يكون أول غاز في البازلت أساسًا CO$_2$.

17. لكل كيلوغرام، $n = 4.0/18.015 = 0.222\,\mathrm{mol}$، $V = 0.222\times8.314\times1423/ 10^{5} = 0.0263\,\mathrm{m}^{3}$؛ ويشغل المصهور $0.996/2710 = 3.68 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{3}$؛ والكسر $0.0263/(0.0263 + 0.000368) = 0.986$، أي $98.6\,\%$.

18. $(1150 + 100)/2 = 625\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

19. بعد 10 سنوات، $2\sqrt{\kappa t} = 2\sqrt{0.7 \times 10^{-6}\times3.156 \times 10^{8}} = 29.7\,\mathrm{m}$. والنقطة على $x = 60\,\mathrm{m}$ من المنتصف: $T = 100 + 525\,[\operatorname{erf}(-10/29.7) + \operatorname{erf}(110/29.7)] = 100 + 525\,(-0.365 + 1.000) = 433\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

20. في المنتصف، $T = 100 + 1050\operatorname{erf}(50/2\sqrt{\kappa t})$: بعد 10 سنوات $1050\operatorname{erf}(1.68) = 1050\times0.983$، $T = 1132\,{}^{\circ}\mathrm{C}$؛ وبعد 50 سنة، $2\sqrt{\kappa t} = 66.5\,\mathrm{m}$، $1050\operatorname{erf}(0.752) = 1050\times0.713$، $T = 848\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

21. عند $x = 130\,\mathrm{m}$: $294\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ بعد 300 سنة، و$295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ بعد 363 سنة (القيمة القصوى)، و$295\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ بعد 420 سنة. فبإهمال الحرارة الكامنة لا يكاد الصخر الواقع على بعد $80\,\mathrm{m}$ فوق العتبة يبلغ $300\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ أبدًا.

22. $9 \times 10^{8}\times1.772/(2.5 \times 10^{6}\times1050) = 0.608$.

23. $\lambda = 0.64$: $e^{-0.4096}/(0.64\times1.6346) = 0.6639/1.0461 = 0.635$؛ $0.65$: $0.6554/1.0673 = 0.614$؛ $0.66$: $0.6469/1.0886 = 0.594$. والقيمة $0.608$ تقع بين $0.65$ و$0.66$، قريبة من $0.65$: $\lambda = 0.65$.

24. $100 + 1050/(1 + 0.642) = 100 + 640 = 740\,{}^{\circ}\mathrm{C}$. فالحرارة الكامنة المحرَّرة عند جبهة التصلّب تبقي جانب الصهارة عند $1150\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ مدة أطول، فيتلقّى التماس حرارة أكثر.

25. $(50)^2/0.7 \times 10^{-6} = 3.57 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$، أي 113 سنة.

26. $t = (100)^2/(16\times0.65^2\times0.7 \times 10^{-6}) = 10^{4}/4.73 \times 10^{-6} = 2.11 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$، ومنه $2.11 \times 10^{9}/3.156 \times 10^{7}$: فتصير العتبة صلبة بعد $67\,$ سنة. وهو أقصر من $(b/2)^2/\kappa$ بالعامل $1/(4\lambda^2) = 0.59$: فذلك السلّم الزمني لا يحدّد إلا رتبة القيمة، وجدارا العتبة كلاهما يسحبان الحرارة إلى مضيف بارد في آن واحد، بسرعة تكفي لإزالة الحرارة الكامنة أيضًا.