43المحيط والمساحة والحجم

حل المسألة 43.1.

1. الحظيرة $1 \times 9$: محيطها $2 \times (1 + 9) = 20$ م، ومساحتها $9$ م$^2$. والحظيرة $2 \times 8$: محيطها $2 \times 10 = 20$ م، ومساحتها $16$ م$^2$.

2. المحيط ضعف (الطول $+$ العرض) (المثال 43.2)، إذن الطول $+$ العرض $= 20 \div 2 = 10$ م. والجدول:

والمربع $5 \times 5$ هو الأفضل.

3. $4.5 \times 5.5 = 24.75$ و $4.9 \times 5.1 = 24.99$: أقرب فأقرب إلى $25$، لكن دونه دائمًا. والتخمين: المربع يغلب كل مستطيل محيطه $20$، بما في ذلك الأضلاع العشرية.

4. من الجدول: جداء عددين مجموعهما $10$ يكون أكبر ما يكون حين يتساوى العددان ($5$ و $5$). والقاعدة العامّة: من أجل مجموع ثابت، يكون الجداء أكبر ما يكون عند تساوي الجزأين — وكلما تفاوت الزوجان صغُر الجداء.

5. من المربع $5 \times 5$، اِنزع السطر الأعلى — وهو شريط من $5$ مربعات وحدة — فتبقى حظيرة $5 \times 4$؛ ثم اِلصق عمودًا من $4$ مربعات وحدة في أحد الطرفين، فتصير الحظيرة $6 \times 4$. فقد أُخذت خمسة مربعات ولم يعُد إلا أربعة: فالشريط المضاف يقع على طول الضلع $4$، وهو أقصر من الضلع $5$ الذي كان عليه الشريط المنزوع. والخسارة الصافية: متر مربع واحد ($25 \to 24$). والخطوة التالية، من $6 \times 4$ إلى $7 \times 3$، تبادل سطرًا من $6$ بعمود من $3$ وتخسر ثلاثة أخرى ($24 \to 21$): فكلما اِبتعدت الحظيرة عن المربع طال الشريط الذي تتخلّى عنه وقصُر الذي تستعيده.

6. مع $w + L + w = 20$، أي $L = 20 - 2w$:

والفائزة هي $5 \times 10$، ومساحتها $50$ م$^2$ — وطولها (على طول الجدار) ضعف عرضها: وليست مربعًا.

7. اِعكس الحظيرة بالنسبة إلى الجدار: فالحظيرة مع صورتها المرآتية تكوّنان حظيرة مضاعفة تستعمل السياج مرتين، أي $40$ م من السياج حول كل شيء (فضلع الجدار صار داخليًّا). وحسب الجزء الأول، أفضل مستطيل محيطه $40$ هو المربع $10 \times 10$، ومساحته $100$ م$^2$. وأفضل حظيرة حقيقية هي نصف تلك الحظيرة المضاعفة الأفضل: أي $10$ م على طول الجدار، و $5$ م عمقًا، ومساحتها $50$ م$^2$ — وهي بالضبط فائزة الجدول، وقد فُسّرت الآن.

8. طول الدائرة $20 = 2 \times \pi \times r$، إذن $r = 20 \div 6.28 \approx 3.18$ م. والمساحة: $\pi r^2 \approx 3.14 \times 3.18 \times 3.18 \approx 31.8$ م$^2$ — أي أكثر بكثير من مساحة المربع $25$ م$^2$. وكانت ديدو تعرف ما تفعل: فمن أجل طول حدّ معطى، تحيط الدائرة بالأكبر.

9. المحيطات: $1 \times 36$: $74$ م؛ و $2 \times 18$: $40$ م؛ و $3 \times 12$: $30$ م؛ و $4 \times 9$: $26$ م؛ و $6 \times 6$: $24$ م. والمربع من جديد — أقلّ سياج من أجل المساحة المعطاة. وهو الجزء الأول بالمقلوب: محيط ثابت وأكبر مساحة، أو مساحة ثابتة وأصغر محيط: كلاهما يتوّج المربع (وفوق كل المستطيلات، الدائرة).

10. الجدار المدوّر هو أقصر حدّ للحيز الذي يحيط به (السؤال 8)، إذن العلبة أو الأنبوب أو الخزان المدوّر يسع أكبر محتوى بأقلّ معدن — والمادة مال.

11. فمثلًا $50$ م $\times$ $0.01$ م: المحيط $2 \times (50 + 0.01) = 100.02$ م، والمساحة $50 \times 0.01 = 0.5$ م$^2$. طويل ورفيع: كيلومترات من الحدّ، ولا تكاد توجد أرض.

12. خطأ. فحظيرة السؤال 11 محيطها $100.02$ م ومساحتها $0.5$ م$^2$، بينما الحظيرة $5 \times 5$ محيطها $20$ م ومساحتها $25$ م$^2$: محيط أكبر، ومساحة أصغر بكثير.

13. المساحة: ينقص مربع وحدة واحد، أي $24 - 1 = 23$ سم$^2$. والمحيط: بالدوران حوله، تعوّض الثلمة $1$ سم من الجدار المستقيم بثلاثة أضلاع للمربع الصغير، أي $1 + 1 + 1 = 3$ سم: فينمو المحيط من $20$ سم إلى $20 - 1 + 3 = 22$ سم. فنزع المادة أطال الحدّ.

14. كل تكبير على ساحل حقيقي يكشف خلجانًا وصخورًا وجداول جديدة — ثلمات فوق ثلمات، والسؤال 13 يبيّن أن كل ثلمة تزيد طول الحدّ دون أن تغيّر المساحة تقريبًا. فيظلّ الطول المقيس ينمو مع درجة التفصيل («مفارقة الساحل»)، بينما تستقرّ المساحة المقيسة: فالمحيط والمساحة مقداران مستقلان حقًّا.

15. حجّة المرآة: الحظيرة المضاعفة تستعمل $2 \times 36 = 72$ م من السياج، وأفضل مستطيل محيطه $72$ هو المربع $18 \times 18$. إذن أفضل حظيرة $18$ م على طول الجدار و $9$ م عمقًا: والتحقّق من السياج $9 + 18 + 9 = 36$ م، والمساحة $18 \times 9 = 162$ م$^2$. وفي أرض مكشوفة، الأفضل هو المربع $9 \times 9$، ومساحته $81$ م$^2$. فجدار المخزن يضاعف أرض الفلاح بالضبط.