عنصران متصاحبان কী?

مثال 2.20 (حلقة بلا تفكيك وحيد)

ليس أيٌّ من الاستلزامين إقليدية $\Rightarrow$ رئيسية $\Rightarrow$ تفكيكية تكافؤًا، ويستحق إخفاق الأخير أن نراه مرة واحدة بكامل تفاصيله. في

يكون المعيار ضربيًا ويتحقق $N(z) = 1$ إذا وفقط إذا كان $z \in A^\times = \{\pm1\}$. لننظر في

جميع العوامل الأربعة غير قابلة للاختزال: فمعاييرها هي $4, 9, 6, 6$، ولو وُجد تفكيك فعلي $z = z_1z_2$ لفُرض $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — لكن $a^2 + 5b^2$ لا يساوي $2$ ولا $3$ أبدًا (فحالة $b = 0$ تترك العددين غير المربّعين $2, 3$؛ وحالة $\abs b \geq 1$ تعطي $\geq 5$). ومع ذلك فإن $2$ ليس مصاحبًا لأيٍّ من $1 \pm \iu\sqrt5$ (لأن المعيارين $4 \neq 6$): أي إن لدينا تفكيكين مختلفين فعلًا للعدد $6$ إلى عناصر غير قابلة للاختزال. وبصيغة مكافئة، غير القابل للاختزال $\neq$ الأولي هنا: إذ يقسم $2$ الجداءَ $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ ولا يقسم أيًّا من العاملين (بالمعايير مرة أخرى). أما الإصلاح المثالي لهذا الإخفاق — أي تفكيك المثاليات بدل تفكيك العناصر — فهو ميلاد نظرية الأعداد الجبرية؛ وفي مستوانا، يُظهر هذا المثال مدى خصوصية الحلقات الإقليدية $\Z$ و $K[X]$ و $\Z[\iu]$ الواردة في هذا الفصل.

مثال 2.26

كثير الحدود $X^n - p$ غير قابل للاختزال على $\Q$ من أجل كل عدد أولي $p$ وكل $n \geq 1$ (أيزنشتاين عند $p$): فتوجد كثيرات حدود غير قابلة للاختزال من كل درجة على $\Q$ — على النقيض التام من $\C$ (الدرجة $1$، دالمبير–غاوس، المبرهَن عليها في الفصل 16) ومن $\R$ (الدرجتان $1, 2$). وتوسّع حيلةُ الإزاحة مدى أيزنشتاين: فكثير الحدود الدائري النوني الأولي $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ يحقق

وهو يحقق شرط أيزنشتاين عند $p$ (لأن $p \mid \binom pk$ من أجل $0 < k < p$، و $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$): ومنه فإن $\Phi_p(X+1)$، ومنه $\Phi_p$، غير قابل للاختزال على $\Q$. وهذا هو القلب الجبري لقصة المضلّع ذي $17$ ضلعًا المرويّة في الفصل 4.