المشتقة عند نقطة কী?

অন্য নাম: مشتقة

تعريف 12.3 رياضيات المرحلة الثانوية · অধ্যায় 12 — الاشتقاق: مدخل أول

لتكن $f$ معرَّفة على فترة تحوي $a$ . ومن أجل $h \neq 0$ ، كوّن معدل التغير المتوسط بين $a$ و $a + h$ :

r(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

فإذا اقترب $r(h)$ من عدد ثابت وحيد كلما اقترب $h$ من $0$ بأي قدر، قلنا إن $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ؛ وهذا العدد هو مشتقة $f$ عند $a$ ، ويُكتب $f'(a)$ :

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.

উদাহরণ

مثال 12.4

لتكن $f(x) = x^2$ و $a = 1$ . من أجل $h \neq 0$ :

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h .

وكلما اقترب $h$ من $0$ اقترب هذا من $2$ : إذن الدالة $x^2$ قابلة للاشتقاق عند $1$ و $f'(1) = 2$ . ولاحظ الاستراتيجية: بسّط الخارج حتى لا يعود $h$ يظهر في مقام، ثم اجعل $h \to 0$ .

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←

تعريف 22.1 رياضيات المرحلة الثانوية · অধ্যায় 22 — الاشتقاق والتحدب

لتكن $f$ معرَّفة على فترة $I$ وليكن $a \in I$ . تكون الدالة $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ إذا كان لمعدل التغير

\frac{f(a+h) - f(a)}{h}

نهاية منتهية لما $h \to 0$ . وتُسمّى هذه النهاية مشتقة $f$ عند $a$ وتُكتب $f'(a)$ . وإذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق عند كل نقطة من $I$ ، فالدالة $f' \colon x \mapsto f'(x)$ هي مشتقة $f$ .

উদাহরণ

مثال 22.15 (متراجحات التحدب)

الدالة الأسية محدبة على $\R$ (فمشتقتها الثانية هي نفسها، وهي موجبة). ومماسها عند $0$ هو $y = 1 + x$ ، إذن

\eu^x \geq 1 + x \quad \text{من أجل كل } x \in \R .

ومثل هذه المتراجحات المماسية ناتج معياري من نواتج التحدب.

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←

উদাহরণ

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ