Wat is Getransponeerde; spoor?

Voorbeeld 21.6 (Het spoor aan het werk)

De projectie uit Hoofdstuk 20 op $\operatorname{Vect}(1,1)$ langs $\operatorname{Vect}(0,1)$, $p(x, y) = (x, x)$, heeft in de canonieke basis de matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$: inderdaad is $A^2 = A$, en

wat Oefening 21.8 illustreert: voor idempotenten telt het spoor de dimensie van het beeld, in welke scheve basis de matrix ook is geschreven. Het mechanisme van de invariantie is de identiteit $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$:

zodat alle matrices die gelijkvormig zijn met $A$ haar spoor delen — de eerste numerieke invariant van een endomorfisme, waar in Hoofdstuk 22 de determinant zich bij zal voegen (het paar $(s, p)$ van de weekendopgave hieronder).

Voorbeeld 21.7 (Symmetrisch plus antisymmetrisch)

Noem $A$ symmetrisch wanneer $A^{\mathsf T} = A$, en antisymmetrisch wanneer $A^{\mathsf T} = -A$. Elke vierkante matrix splitst zich eenduidig als de ene plus de andere:

en een matrix die beide is, is nul ($A = -A$): de twee verzamelingen zijn complementaire deelruimten van $\mathcal{M}_n(K)$ — het exacte analogon van de splitsing in even en oneven functies (Voorbeeld 18.11), waarbij het transponeren de rol van $x \mapsto -x$ speelt. Dimensies: een symmetrische matrix is vrij op en boven de diagonaal, een antisymmetrische strikt erboven (met nuldiagonaal):

en dat de telling klopt, is de bevestiging van de directheid door Grassmann. Voor $n = 2$: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. Symmetrische matrices keren terug als de gegevens van de tweede afgeleide in Hoofdstuk 25 (het drietal $r, s, t$ van Monge), en de symmetrisch-orthogonale worden in Oefening 23.12 geclassificeerd.