O que é Transposta; traço?

Exemplo 21.6 (O traço em ação)

A projeção do Capítulo 20 sobre $\operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $\operatorname{Vect}(0,1)$, $p(x, y) = (x, x)$, tem matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ na base canônica: de fato $A^2 = A$, e

ilustrando o Exercício 21.8: para idempotentes, o traço conta a dimensão da imagem, seja qual for a base enviesada em que a matriz está escrita. O mecanismo da invariância é a identidade $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$:

logo todas as matrizes semelhantes a $A$ partilham o seu traço — o primeiro invariante numérico de um endomorfismo, ao qual se juntará o determinante no Capítulo 22 (o par $(s, p)$ do problema de fim de semana abaixo).

Exemplo 21.7 (Simétrica mais antissimétrica)

Chame $A$ de simétrica quando $A^{\mathsf T} = A$, e de antissimétrica quando $A^{\mathsf T} = -A$. Toda matriz quadrada se decompõe de modo único como uma mais a outra:

e uma matriz que é as duas coisas é nula ($A = -A$): os dois conjuntos são subespaços suplementares de $\mathcal{M}_n(K)$ — o análogo exato da decomposição par/ímpar de funções (o Exemplo 18.11), com a transposição a fazer o papel de $x \mapsto -x$. Dimensões: uma matriz simétrica é livre na diagonal e acima dela, e uma antissimétrica estritamente acima (diagonal nula):

e o fechamento da contagem é a confirmação, por Grassmann, do caráter direto. Para $n = 2$: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. As matrizes simétricas voltam como os dados de segunda ordem do Capítulo 25 (a tripla de Monge $r, s, t$), e as simétricas ortogonais são classificadas no Exercício 23.12.