परिवर्त; अनुरेख क्या है? — गणित

परिभाषा 21.5 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 21 — आव्यूह

$A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ का परिवर्त $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ है; वह $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ और $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$ संतुष्ट करता है। किसी वर्ग आव्यूह का अनुरेख $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$ है; वह रैखिक है, और

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).

उदाहरण

उदाहरण 21.6 (अनुरेख काम पर)

$\operatorname{Vect}(0,1)$ के अनुदिश $\operatorname{Vect}(1,1)$ पर अध्याय 20 का प्रक्षेप, अर्थात् $p(x, y) = (x, x)$ , विहित आधार में आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ रखता है: वस्तुतः $A^2 = A$ , और

\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,

जो अभ्यास 21.8 को दर्शाता है: वर्गसम आव्यूहों के लिए अनुरेख प्रतिबिंब की विमा गिनता है, चाहे आव्यूह किसी भी तिरछे आधार में लिखा गया हो। अपरिवर्तिता की क्रियाविधि सर्वसमिका $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ है:

\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,

अतः $A$ के सदृश सभी आव्यूहों का अनुरेख वही होता है — यह किसी अंतःसमाकारिता का पहला संख्यात्मक अचर है, जिसके साथ अध्याय 22 में सारणिक आ मिलेगा (नीचे की सप्ताहांत समस्या वाली जोड़ी $(s, p)$ )।

उदाहरण 21.7 (सममित जमा प्रतिसममित)

$A$ को सममित कहिए जब $A^{\mathsf T} = A$ , और प्रतिसममित जब $A^{\mathsf T} = -A$ । हर वर्ग आव्यूह अद्वितीय रूप से एक जमा दूसरे के रूप में बँट जाता है:

A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{सममित}} + \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{प्रतिसममित}},

और जो आव्यूह दोनों हो वह शून्य है ( $A = -A$ ): अतः दोनों समुच्चय $\mathcal{M}_n(K)$ की पूरक उपसमष्टियाँ हैं — यह फलनों के सम/विषम विभाजन (उदाहरण 18.11) का ठीक-ठीक तदनुरूप है, जहाँ $x \mapsto -x$ की भूमिका परिवर्तन निभाता है। विमाएँ: सममित आव्यूह विकर्ण पर और उसके ऊपर स्वतंत्र होता है, और प्रतिसममित कड़ाई से ऊपर (विकर्ण शून्य):

\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,

और गिनती का संतुलित हो जाना ग्रासमान द्वारा प्रत्यक्षता की पुष्टि है। $n = 2$ के लिए: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ । सममित आव्यूह अध्याय 25 में द्वितीय अवकलज के आँकड़ों के रूप में लौटते हैं (मोंज त्रिक $r, s, t$ ), और सममित-लांबिक आव्यूहों का वर्गीकरण अभ्यास 23.12 में है।

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