परिवर्त; अनुरेख क्या है?

उदाहरण 21.6 (अनुरेख काम पर)

$\operatorname{Vect}(0,1)$ के अनुदिश $\operatorname{Vect}(1,1)$ पर अध्याय 20 का प्रक्षेप, अर्थात् $p(x, y) = (x, x)$, विहित आधार में आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ रखता है: वस्तुतः $A^2 = A$, और

जो अभ्यास 21.8 को दर्शाता है: वर्गसम आव्यूहों के लिए अनुरेख प्रतिबिंब की विमा गिनता है, चाहे आव्यूह किसी भी तिरछे आधार में लिखा गया हो। अपरिवर्तिता की क्रियाविधि सर्वसमिका $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ है:

अतः $A$ के सदृश सभी आव्यूहों का अनुरेख वही होता है — यह किसी अंतःसमाकारिता का पहला संख्यात्मक अचर है, जिसके साथ अध्याय 22 में सारणिक आ मिलेगा (नीचे की सप्ताहांत समस्या वाली जोड़ी $(s, p)$)।

उदाहरण 21.7 (सममित जमा प्रतिसममित)

$A$ को सममित कहिए जब $A^{\mathsf T} = A$, और प्रतिसममित जब $A^{\mathsf T} = -A$। हर वर्ग आव्यूह अद्वितीय रूप से एक जमा दूसरे के रूप में बँट जाता है:

और जो आव्यूह दोनों हो वह शून्य है ($A = -A$): अतः दोनों समुच्चय $\mathcal{M}_n(K)$ की पूरक उपसमष्टियाँ हैं — यह फलनों के सम/विषम विभाजन (उदाहरण 18.11) का ठीक-ठीक तदनुरूप है, जहाँ $x \mapsto -x$ की भूमिका परिवर्तन निभाता है। विमाएँ: सममित आव्यूह विकर्ण पर और उसके ऊपर स्वतंत्र होता है, और प्रतिसममित कड़ाई से ऊपर (विकर्ण शून्य):

और गिनती का संतुलित हो जाना ग्रासमान द्वारा प्रत्यक्षता की पुष्टि है। $n = 2$ के लिए: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$। सममित आव्यूह अध्याय 25 में द्वितीय अवकलज के आँकड़ों के रूप में लौटते हैं (मोंज त्रिक $r, s, t$), और सममित-लांबिक आव्यूहों का वर्गीकरण अभ्यास 23.12 में है।