Qu'est-ce que « Transposée ; trace » ? — Mathématiques

Définition 21.5 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 21 — Matrices

La transposée de $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ est $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ ; elle vérifie $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ et $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$ . La trace d’une matrice carrée est $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$ ; elle est linéaire, et

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).

Exemples

Exemple 21.6 (La trace à l’œuvre)

La projection du Chapitre 20 sur $\operatorname{Vect}(1,1)$ parallèlement à $\operatorname{Vect}(0,1)$ , $p(x, y) = (x, x)$ , a pour matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ dans la base canonique : en effet $A^2 = A$ , et

\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,

ce qui illustre l’Exercice 21.8 : pour les matrices idempotentes, la trace compte la dimension de l’image, quelle que soit la base biscornue dans laquelle la matrice est écrite. Le mécanisme d’invariance est l’identité $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ :

\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,

de sorte que toutes les matrices semblables à $A$ ont la même trace — le premier invariant numérique d’un endomorphisme, que le déterminant rejoindra au Chapitre 22 (le couple $(s, p)$ du devoir maison ci-dessous).

Exemple 21.7 (Symétrique plus antisymétrique)

On dit que $A$ est symétrique lorsque $A^{\mathsf T} = A$ , antisymétrique lorsque $A^{\mathsf T} = -A$ . Toute matrice carrée se décompose de manière unique comme somme de l’une et de l’autre :

A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{symétrique}} + \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{antisymétrique}},

et une matrice qui est les deux à la fois est nulle ( $A = -A$ ) : les deux ensembles sont des sous-espaces supplémentaires de $\mathcal{M}_n(K)$ — l’exact analogue de la décomposition paire/impaire des fonctions (Exemple 18.11), la transposition jouant le rôle de $x \mapsto -x$ . Dimensions : une matrice symétrique est libre sur la diagonale et au-dessus, une matrice antisymétrique strictement au-dessus (diagonale nulle) :

\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,

et l’équilibre des comptes est la confirmation, par la formule de Grassmann, du caractère direct de la somme. Pour $n = 2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ . Les matrices symétriques reviennent comme données du second ordre au Chapitre 25 (le triplet de Monge $r, s, t$ ), et celles qui sont à la fois symétriques et orthogonales sont classifiées à l’Exercice 23.12.

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Exemples

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