Apa itu Transpos; trace?

Contoh 21.6 (Trace dalam kerja)

Proyeksi pada Bab 20 ke $\operatorname{Vect}(1,1)$ sepanjang $\operatorname{Vect}(0,1)$, yaitu $p(x, y) = (x, x)$, bermatriks $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ pada basis kanoniknya: memang $A^2 = A$, dan

yang memperlihatkan Latihan 21.8: bahwa bagi yang idempoten tracenya mencacah dimensi petanya, pada basis semiring apa pun matriksnya ditulis. Adapun mekanisme kekekalannya adalah kesamaan $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$:

sehingga semua matriks yang serupa dengan $A$ berbagi tracenya — yaitu invarian numerik yang pertama bagi sebuah endomorfisma, yang akan disusul oleh determinan pada Bab 22 (yakni pasangan $(s, p)$ pada soal akhir pekan di bawah).

Contoh 21.7 (Setangkup tambah antisetangkup)

Sebutlah $A$ setangkup bila $A^{\mathsf T} = A$, dan antisetangkup bila $A^{\mathsf T} = -A$. Maka setiap matriks persegi terbelah secara tunggal menjadi yang satu tambah yang lain:

dan matriks yang sekaligus keduanya bernilai nol (karena $A = -A$): sehingga kedua himpunannya merupakan subruang yang saling melengkapi pada $\mathcal{M}_n(K)$ — yaitu padanan yang persis bagi pembelahan genap/ganjil fungsi (Contoh 18.11), dengan transposisi memainkan peran $x \mapsto -x$. Adapun dimensinya: matriks setangkup bersifat bebas pada dan di atas diagonalnya, sedangkan yang antisetangkup tegas di atasnya (karena diagonalnya nol):

dan cacah yang berimbang itu merupakan penegasan Grassmann atas kelangsungannya. Untuk $n = 2$: $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$. Adapun matriks setangkup kembali sebagai data turunan kedua pada Bab 25 (yaitu tripel Monge $r, s, t$), sedangkan yang setangkup sekaligus ortogonal digolongkan pada Latihan 23.12.