¿Qué es espacio métrico compacto? — Matemáticas

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Definición 4.15 Matemáticas universitarias — Grado 2 · অধ্যায় 4 — Topología de los espacios métricos

Un espacio métrico $X$ es compacto cuando toda sucesión de $X$ admite una subsucesión convergente en $X$ (la propiedad de Bolzano–Weierstrass). Un subconjunto es compacto cuando lo es con la distancia inducida.

Las primeras etapas del conjunto de Cantor (): cada nivel suprime el tercio central abierto de cada segmento. La intersección C = _n C_n es compacta, tiene interior vacío y longitud nula y, sin embargo, es equipotente a ℝ; además reaparece como punto fijo de una contracción sobre conjuntos en el problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22). — Las primeras etapas del conjunto de Cantor (Ejercicio 4.8): cada nivel suprime el tercio central abierto de cada segmento. La intersección $C = \bigcap_n C_n$ es compacta, tiene interior vacío y longitud nula y, sin embargo, es equipotente a $\R$ ; además reaparece como *punto fijo* de una contracción sobre conjuntos en el problema de fin de semana de este capítulo (pregunta 22).

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Ejemplo 4.17 (El teorema de Heine, con y sin compacidad)

Sobre $\intcc{0}{1}$ , la función $x \mapsto x^2$ es uniformemente continua —Heine lo afirma sin cálculo alguno, pero la estimación directa es instructiva—:

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

de modo que $\delta = \varepsilon/2$ sirve para todos los puntos a la vez. Sobre $\R$ , esa misma función no es uniformemente continua: con $x_n = n$ e $y_n = n + \frac1n$ , la separación $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ mientras que $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : ningún $\delta$ único sirve para $\varepsilon = 1$ . El mecanismo queda a la vista: la constante de Lipschitz local $\abs{x + y}$ está acotada sobre un compacto y no lo está sobre $\R$ ; el teorema de Heine es exactamente la afirmación de que la compacidad pone un techo uniforme a esas constantes locales.

Ejemplo 4.19 (Distancias entre conjuntos: la compacidad se gana el sueldo)

Sean $K$ compacto, $F$ cerrado y $K \cap F = \emptyset$ en un espacio métrico. Entonces

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

la función $x \mapsto d(x, F)$ es continua (Ejercicio 4.11) y positiva sobre $K$ (pues $d(x, F) = 0$ pondría $x \in \overline F = F$ ), luego alcanza un mínimo positivo sobre el compacto $K$ (Teorema 4.16 (3)). La compacidad no es decorativa: para dos cerrados el ínfimo puede anularse sin alcanzarse; en $\R^2$ , la hipérbola $F_1 = \{xy = 1\}$ y el eje $F_2 = \{y = 0\}$ son cerrados disjuntos con $d(F_1, F_2) = 0$ (los puntos $(n, \frac1n)$ se acercan al eje). La huida al infinito es justamente lo que la compacidad prohíbe.

Ejemplo 4.21 (Una $\varepsilon$ -red, contada)

La precompacidad (de la demostración del Teorema 4.20) es muy concreta en $\intcc{0}{1}$ : para $\varepsilon > 0$ , las $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ bolas de radio $\varepsilon$ centradas en $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ lo recubren —unas $\frac1{2\varepsilon}$ bolas—, y ningún recubrimiento puede arreglárselas con menos de $\frac{1}{2\varepsilon}$ (cada bola cubre longitud a lo sumo $2\varepsilon$ ). En $\intcc01^2$ el recuento se eleva al cuadrado, al orden $\varepsilon^{-2}$ : los números de recubrimiento crecen como $\varepsilon^{-d}$ en dimensión $d$ , una cara cuantitativa de la compacidad y la razón de que las bolas unidad de dimensión infinita del Capítulo 5 (donde no existe ninguna $\frac13$ -red finita) no puedan ser compactas.

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