什么是 espacio métrico？

Ejemplo 4.2

$\R$ con $\abs{x - y}$; $\R^n$ con cualquiera de las distancias

el conjunto $C(\intcc{a}{b})$ de las funciones continuas con la distancia del supremo $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finita, pues $f - g$ está acotada); cualquier conjunto con la distancia discreta ($d(x,y) = 1$ para $x \neq y$). Las distancias procedentes de normas son el objeto del Capítulo 5.

Ejemplo 4.4 (Interior, clausura y frontera de un mismo conjunto)

En $\R$, sea $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$. Interior: $\intoo{0}{1}$ —alrededor de cualquier $x \in \intoo01$ una bola pequeña se queda dentro de $A$; alrededor de $1$, toda bola $\intoo{1-r}{1+r}$ se sale de $A$ por la derecha, luego $1$ no es interior; y el punto aislado $2$ tampoco lo es—. Clausura: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (el punto $0$ es límite de puntos de $A$ y no se añade nada más). Frontera (clausura menos interior): $\{0, 1, 2\}$. Conviene recordar las asimetrías: un extremo puede pertenecer al conjunto sin ser interior ($1$), puede ser adherente sin pertenecer ($0$), y un punto aislado es su propia frontera ($2$). La misma contabilidad funciona literalmente en cualquier espacio métrico, con bolas en lugar de intervalos.

Ejemplo 4.19 (Distancias entre conjuntos: la compacidad se gana el sueldo)

Sean $K$ compacto, $F$ cerrado y $K \cap F = \emptyset$ en un espacio métrico. Entonces

la función $x \mapsto d(x, F)$ es continua (Ejercicio 4.11) y positiva sobre $K$ (pues $d(x, F) = 0$ pondría $x \in \overline F = F$), luego alcanza un mínimo positivo sobre el compacto $K$ (Teorema 4.16 (3)). La compacidad no es decorativa: para dos cerrados el ínfimo puede anularse sin alcanzarse; en $\R^2$, la hipérbola $F_1 = \{xy = 1\}$ y el eje $F_2 = \{y = 0\}$ son cerrados disjuntos con $d(F_1, F_2) = 0$ (los puntos $(n, \frac1n)$ se acercan al eje). La huida al infinito es justamente lo que la compacidad prohíbe.