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Matemáticas · পরিভাষা
Forma diferencial; integral curvilínea কী?
অন্য নাম: forma diferencial · integral curvilínea
Definición 20.1Matemáticas universitarias — Grado 2 · অধ্যায় 20 — Integrales curvilíneas e integrales múltiples
Sea U⊆R2 un abierto. Una forma diferencial de grado 1 y clase C0 sobre U es una expresión ω=Pdx+Qdy con P,Q:U→Rcontinuas; formalmente, una aplicación continua de U en el dual de R2, ω(M)=P(M)e1∗+Q(M)e2∗. Para un arco C1γ:[a,b]→U, γ(t)=(x(t),y(t)), la integral curvilínea de ω a lo largo de γ es
∫γω=∫ab(P(γ(t))x′(t)+Q(γ(t))y′(t))dt.
Las definiciones se extienden palabra por palabra a R3 (formas Pdx+Qdy+Rdz) y a los arcos C1 a trozos (sumando sobre los trozos).
উদাহরণ
Ejemplo 20.4(Una integral, dos parametrizaciones, una trampa de signo)
Calculemos ∫γxdy a lo largo de la semicircunferencia unidad superior de (1,0) a (−1,0). Con γ(t)=(cost,sint), t∈[0,π]:
∫0πcost⋅costdt=2π.
Con la parametrización por el grafo x↦(x,1−x2), con x de 1 a −1 (¡atención al sentido!):
∫1−1x⋅1−x2−xdx=∫−111−x2x2dx=2π
(x=sinu la reduce a una integral de Wallis). El mismo valor, como garantiza la Proposición 20.2; pero solo porque ambos recorridos van de (1,0) a (−1,0): invertir el sentido cambia el signo. Cerrar el camino a lo largo del eje x (donde dy=0) no añade nada, y el total 2π es el área del semidisco: el primer caso de las fórmulas de área por la frontera de Green–Riemann de más abajo.
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