Ideal কী?

অন্য নাম: anillo cociente

Definición 1.25 Matemáticas universitarias — Grado 2 · অধ্যায় 1 — Conjuntos y estructuras

Sea $A$ un anillo conmutativo. Un ideal $I \subseteq A$ es un subgrupo aditivo tal que $a x \in I$ para todos $a \in A$ , $x \in I$ . Los núcleos de morfismos de anillos son ideales; $I = A$ si y solo si $1 \in I$ , si y solo si $I$ contiene una unidad. El ideal generado por $x$ es $xA = \{xa\}$ (un ideal principal).

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Ejemplo 1.27 (Un mcd de polinomios, de dos maneras)

Calculemos $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ en $\Q[X]$ . Por Euclides:

X^3 - 1 = X\,(X^2 - 1) + (X - 1), \qquad X^2 - 1 = (X + 1)(X - 1) + 0 ,

luego el mcd es $X - 1$ , y remontando la división se obtiene la relación de Bézout

X - 1 = 1\cdot(X^3 - 1) - X\cdot(X^2 - 1).

Por ideales: el ideal $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ es principal (Teorema 1.26); contiene a $X - 1$ (por la fórmula anterior) y está contenido en $(X - 1)\Q[X]$ (ambos generadores se anulan en $1$ , luego son múltiplos de $X - 1$ ): el generador mónico es $X - 1$ . La moraleja: el punto de vista de los ideales identifica el mcd sin dividir —las raíces comunes localizan el ideal y Euclides se limita a certificarlo—.

Ejemplo 1.34 (Un morfismo de evaluación y su núcleo)

Tomemos $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y la evaluación $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$ , $P \mapsto P(A)$ . Como $A^2 = 0$ ,

P(A) = P(0)\,I + P'(0)\,A = \begin{pmatrix} P(0) & P'(0)\\ 0 & P(0)\end{pmatrix},

(solo sobreviven los términos constante y lineal de $P$ ). Por tanto $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$ : un ideal principal, exactamente como predice el Teorema 1.26, generado por el polinomio mónico $X^2$ de menor grado del núcleo —el polinomio mínimo de $A$ , protagonista del Capítulo 3—. La imagen es el álgebra conmutativa de dimensión dos $\{aI + bA\}$ : los morfismos de evaluación comprimen el $\R[X]$ de dimensión infinita sobre álgebras pequeñas y calculables.

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Definición 2.1 Matemáticas universitarias — Grado 3 · অধ্যায় 2 — Anillos y aritmética

Un ideal $I$ de un anillo $A$ es un subgrupo aditivo tal que $AI \subseteq I$ . El anillo cociente $A/I$ es el grupo cociente $(A, +)/I$ con la multiplicación $(a + I)(b + I) = ab + I$ : está bien definida, pues al cambiar $a$ por $a + x$ y $b$ por $b + y$ ( $x, y \in I$ ), $ab$ varía en $ay + xb + xy \in I$ . La proyección $\pi \colon A \to A/I$ es un morfismo sobreyectivo de anillos con núcleo $I$ , y los núcleos de los morfismos de anillos son exactamente los ideales.

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Ejemplo 2.20 (Un anillo sin factorización única)

Ninguna de las implicaciones euclídeo $\Rightarrow$ DIP $\Rightarrow$ DFU es una equivalencia, y merece la pena ver una vez, con todo detalle, cómo falla la última. En

A = \Z[\iu\sqrt5] = \{a + \iu b\sqrt5 : a, b \in \Z\}, \qquad N(a + \iu b\sqrt5) = a^2 + 5b^2,

la norma es multiplicativa y $N(z) = 1$ si y solo si $z \in A^\times = \{\pm1\}$ . Consideremos

6 = 2 \cdot 3 = (1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5).

Los cuatro factores son irreducibles: sus normas valen $4, 9, 6, 6$ , y una factorización propia $z = z_1z_2$ obligaría a $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — pero $a^2 + 5b^2$ nunca es igual a $2$ ni a $3$ ( $b = 0$ deja los no cuadrados $2, 3$ ; $\abs b \geq 1$ da $\geq 5$ ). Sin embargo, $2$ no es asociado de ninguno de los dos $1 \pm \iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$ ): dos factorizaciones genuinamente distintas de $6$ en irreducibles. Equivalentemente, aquí irreducible $\neq$ primo: $2$ divide al producto $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ pero a ninguno de los dos factores (de nuevo por las normas). La reparación del fallo en términos de ideales — factorizar ideales en lugar de elementos — es el nacimiento de la teoría algebraica de números; a nuestro nivel, el ejemplo calibra hasta qué punto son especiales los anillos euclídeos $\Z$ , $K[X]$ , $\Z[\iu]$ de este capítulo.

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