Límites, continuidad কী?

Ejemplo 4.2

$\R$ con $\abs{x - y}$; $\R^n$ con cualquiera de las distancias

el conjunto $C(\intcc{a}{b})$ de las funciones continuas con la distancia del supremo $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finita, pues $f - g$ está acotada); cualquier conjunto con la distancia discreta ($d(x,y) = 1$ para $x \neq y$). Las distancias procedentes de normas son el objeto del Capítulo 5.

Ejemplo 4.10 (Abiertos y cerrados reconocidos por continuidad)

La caracterización global (Teorema 4.6) es la herramienta cotidiana para la contabilidad topológica. En $\R^2$: el conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ es abierto, pues es $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para las funciones continuas $g(x,y) = x^2 + y^2$ y $h(x, y) = y - x^3$: intersección de dos imágenes recíprocas abiertas. En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$: el conjunto de las funciones con $f(0) = f(1)$ y $\int_0^1 f = 0$ es cerrado, pues es la imagen recíproca de $\{(0,0)\}$ por la aplicación continua $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ con valores en $\R^2$ (cada coordenada es $1$-lipschitziana, como en el Ejercicio 4.3). El método no dibuja nunca: se exhibe una aplicación continua, se lee el conjunto como imagen recíproca y se invoca el teorema.

Ejemplo 4.11 (Un cerrado definido por infinitas condiciones)

En $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$, el conjunto

de las funciones $1$-lipschitzianas es cerrado, pese a estar recortado por una cantidad no numerable de condiciones: para cada par fijo $(x, y)$, la aplicación $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ es continua (las evaluaciones son $1$-lipschitzianas), de modo que cada condición aislada define un cerrado, y $L$ es la intersección de esa familia; y una intersección arbitraria de cerrados es cerrada. La misma plantilla certifica el carácter cerrado del conjunto de funciones monótonas, del de funciones convexas y del de funciones acotadas por una $g$ fija: los límites uniformes heredan toda propiedad expresable como familia de restricciones puntuales cerradas. Lo que los límites uniformes no heredan automáticamente —la derivabilidad, por ejemplo— es justamente lo que al Capítulo 10 le costará trabajo.