¿Qué es topology? — Matemáticas

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Definición 25.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · অধ্যায় 25 — Funciones de dos variables

En $\R^2$ se usa la norma euclídea $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (Capítulo 23). Las bolas abiertas, los entornos y los subconjuntos abiertos de $\R^2$ se definen exactamente como en Capítulo 12, con bolas en lugar de intervalos. Una función $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ abierto) es continua en $a \in U$ cuando

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

con la misma caracterización secuencial que en una variable. Sumas, productos, cocientes y composiciones con funciones continuas de una variable preservan la continuidad; las aplicaciones coordenadas son continuas, y por tanto también lo son los polinomios en $(x,y)$ .

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Ejemplo 25.2 (La cota polar, la manera limpia de probar un límite)

Demuéstrese que $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (con $f(0,0) = 0$ ) es continua en el origen. En coordenadas polares $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

una cota independiente de $\theta$ : sea cual sea la dirección de aproximación, los valores quedan atrapados hacia $0$ . Esa uniformidad en $\theta$ es toda la cuestión — una cota como $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (sin $\rho$ alguno) no prueba nada, y de hecho ese $g$ es la trampa radial discontinua del ejemplo siguiente.

Ejemplo 25.3 (La trampa radial)

Sea $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ para $(x,y) \neq (0,0)$ , $f(0, 0) = 0$ . A lo largo de cada eje, $f = 0 \to 0$ ; pero a lo largo de la diagonal $y = x$ , $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . No hay límite en el origen: aproximarse por todas las rectas, e incluso hallar el mismo límite por cada una, no basta (aquí los límites por rectas discrepan; hay ejemplos peores que coinciden por todas las rectas y fallan por una parábola, Ejercicio 25.3). La continuidad en cada variable por separado no implica la continuidad.

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Definición 6.1 Matemáticas universitarias — Grado 3 · অধ্যায় 6 — Topología general

Una topología sobre un conjunto $X$ es una familia $\mathcal T$ de subconjuntos de $X$ — llamados abiertos — tal que: $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; toda unión de abiertos es abierta; toda intersección finita de abiertos es abierta. El par $(X, \mathcal T)$ es un espacio topológico. Los complementarios de los abiertos son los cerrados. Un entorno de $x$ es un conjunto que contiene un abierto que contiene $x$ .

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Ejemplo 6.2

(a) Un espacio métrico, con «abierto» en el sentido de segundo año (uniones de bolas abiertas): la topología métrica; métricas distintas pueden dar la misma topología (métricas equivalentes). Un espacio cuya topología procede de alguna métrica es metrizable. (b) La topología discreta (todos los subconjuntos) y la topología indiscreta $\{\varnothing, X\}$ . (c) La topología cofinita sobre un conjunto infinito: $=$ es abierto si es vacío o cofinito. No es metrizable, como veremos (Ejercicio 6.3). (d) Sobre $\R$ , la topología usual; sobre $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ , la topología del orden generada por las semirrectas — lo que convierte « $x_n \to +\infty$ » en un caso de convergencia ordinaria.

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