Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

23Espacios euclídeos

Añadir un producto escalar a un espacio vectorial real compra las nociones geométricas —longitudes, ángulos, ortogonalidad, distancias— y un teorema que domina el capítulo: todo subespacio admite una proyección ortogonal, calculable por Gram–Schmidt, que realiza la distancia más corta. Las isometrías del plano cierran el capítulo y la geometría del año.

En todo el capítulo, $E$ es un espacio vectorial real.

23.1 Productos escalares

Definición 23.1

Un producto escalar en $E$ es una aplicación $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \R$ bilineal, simétrica y definida positiva ( $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ). Un espacio de dimensión finita así equipado es un espacio euclídeo. La norma de $x$ es $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ , y $d(x, y) = \norm{x - y}$ .

Ejemplo 23.2

En $\R^n$ : el producto canónico $\langle x, y\rangle = \sum x_i y_i$ . En $C(\intcc{a}{b})$ : $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ (que sea definido positivo es el Teorema 15.7 (4)). En $\R_n[X]$ : $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , o bien $\sum_{i} P(x_i)Q(x_i)$ sobre $n+1$ puntos distintos.

Ejemplo 23.3 (El ángulo entre dos polinomios)

Una vez elegido un producto escalar, cualesquiera dos vectores no nulos tienen un ángulo, vía $\cos\theta = \frac{\langle x, y\rangle}{\norm x\,\norm y}$ (un coseno legítimo por Cauchy–Schwarz). Para $X$ y $X^2$ con $\int_0^1$ :

\langle X, X^2\rangle = \frac14, \qquad \norm X = \frac1{\sqrt3}, \qquad \norm{X^2} = \frac1{\sqrt5}, \qquad \cos\theta = \frac{1/4}{1/\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0.968 :

un ángulo de unos $14.5$ grados — en $\intcc{0}{1}$ , las gráficas de $x$ y de $x^2$ son «casi paralelas» en el sentido de la media cuadrática, y por eso quitar esa dirección compartida (Gram–Schmidt, más abajo) deja solo la pequeña corrección $X^2 - X + \frac16$ .

Teorema 23.4 (Cauchy–Schwarz; propiedades de la norma)

Para todos $x, y \in E$ :

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x\, \norm y ,

con igualdad si y solo si $x, y$ son proporcionales. En consecuencia, $\norm\cdot$ cumple la desigualdad triangular $\norm{x + y} \leq \norm x + \norm y$ (y $\norm{\lambda x} = \abs\lambda \norm x$ , $\norm x = 0 \iff x = 0$ ). Además:

\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2, \qquad \langle x, y \rangle = \tfrac14\bigl(\norm{x+y}^2 - \norm{x-y}^2\bigr) .

Demostración. Si $y = 0$ , todo es trivial. En caso contrario, el trinomio $t \mapsto \norm{x + ty}^2 = \norm x^2 + 2t\langle x, y\rangle + t^2 \norm y^2$ es $\geq 0$ para todo $t$ : su discriminante es $\leq 0$ , que es Cauchy–Schwarz; y la igualdad significa una raíz doble $t_0$ , es decir, $x + t_0 y = 0$ (por ser definido): proporcionalidad. Desigualdad triangular: desarróllese,

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\norm x\,\norm y + \norm y^2 = \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

siendo el paso central Cauchy–Schwarz; la igualdad fuerza $\langle x, y\rangle = \norm x\norm y$ , el caso de igualdad positivo, es decir, la proporcionalidad con razón no negativa — geométricamente, el triángulo solo degenera cuando los dos vectores apuntan en el mismo sentido. Las dos últimas identidades son desarrollos directos (la segunda, la identidad de polarización, recupera el producto a partir de la norma). ∎

23.2 Ortogonalidad

Definición 23.5

$x \perp y$ cuando $\langle x, y \rangle = 0$ . Una familia es ortogonal cuando sus vectores son ortogonales dos a dos, y ortonormal cuando además cada uno tiene norma $1$ . El complemento ortogonal de un subespacio $F$ es

F^{\perp} = \{x \in E : \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\},

un subespacio de $E$ .

Proposición 23.6

(Pitágoras) Si $x \perp y$ , entonces $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + \norm y^2$ . Una familia ortogonal de vectores no nulos es libre. Y en una base ortonormal $(e_1, \dots, e_n)$ , las coordenadas y los productos son

x = \sum_{i} \langle x, e_i\rangle\, e_i, \qquad \langle x, y \rangle = \sum_i \langle x, e_i\rangle \langle y, e_i\rangle, \qquad \norm x^2 = \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 .

Demostración. Pitágoras: desarróllese. Libertad: tómese $\langle\,\cdot\,, x_j\rangle$ de una combinación nula: $\lambda_j \norm{x_j}^2 = 0$ . Coordenadas: escríbase $x = \sum \lambda_i e_i$ y tómese el producto con $e_j$ : $\lambda_j = \langle x, e_j\rangle$ ; y las dos fórmulas se siguen por bilinealidad. ∎

Ejemplo 23.7 (Coordenadas ortonormales, con comprobación de Parseval)

Desarróllese $x = (1, 2, 3)$ en la base ortonormal del Ejercicio 23.3,

e_1 = \tfrac{1}{\sqrt2}(1,1,0), \quad e_2 = \tfrac{1}{\sqrt6}(1,-1,2), \quad e_3 = \tfrac{1}{\sqrt3}(-1,1,1).

Ningún sistema que resolver — tres productos escalares:

\langle x, e_1\rangle = \frac{3}{\sqrt2}, \qquad \langle x, e_2\rangle = \frac{1 - 2 + 6}{\sqrt6} = \frac{5}{\sqrt6}, \qquad \langle x, e_3\rangle = \frac{-1 + 2 + 3}{\sqrt3} = \frac{4}{\sqrt3}.

Certificación con la fórmula de la norma de la proposición:

\frac{9}{2} + \frac{25}{6} + \frac{16}{3} = \frac{27 + 25 + 32}{6} = 14 = \norm{x}^2 = 1 + 4 + 9 .

Esta comprobación de la suma de los cuadrados de las coordenadas (una identidad de Parseval finita) cuesta segundos y atrapa con casi total seguridad los errores de signo y de normalización — conviértase en costumbre siempre que se calcule un desarrollo ortonormal; su versión en dimensión infinita, para los coeficientes de Fourier del Ejemplo 23.14, es un teorema del volumen del tercer año.

Teorema 23.8 (Gram–Schmidt)

Todo espacio euclídeo tiene bases ortonormales. Explícitamente, a partir de cualquier base $(v_1, \dots, v_n)$ , la receta

w_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i\rangle\, e_i , \qquad e_k = \frac{w_k}{\norm{w_k}}

produce una base ortonormal $(e_1, \dots, e_n)$ con $\operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ para todo $k$ .

Demostración. Inducción sobre $k$ . Suponiendo $(e_1, \dots, e_{k-1})$ ortonormal y generadora de $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ : el vector $w_k$ es ortogonal a cada $e_j$ ( $j < k$ ) por construcción ( $\langle w_k, e_j \rangle = \langle v_k, e_j\rangle - \langle v_k, e_j\rangle$ ), y $w_k \neq 0$ ya que $v_k \notin \operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1})$ . Normalizar conserva la ortogonalidad; y el enunciado sobre el subespacio generado vale porque $e_k$ es combinación de $v_k$ y de los $e_i$ anteriores, de forma invertible. ∎

Ejemplo 23.9 (Gram–Schmidt sobre polinomios, al completo)

Ortonormalícese $(1, X, X^2)$ en $\R_2[X]$ con $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ . Paso 1: $\norm{1}^2 = 1$ , luego $e_1 = 1$ . Paso 2: $w_2 = X - \langle X, 1\rangle\,1 = X - \frac12$ , y $\norm{w_2}^2 = \int_0^1\bigl(x - \frac12\bigr)^2 \dd x = \frac1{12}$ : $e_2 = \sqrt{12}\,\bigl(X - \frac12\bigr)$ . Paso 3: $\langle X^2, e_1\rangle = \frac13$ y

\langle X^2, e_2\rangle = \sqrt{12}\int_0^1 x^2\Bigl(x - \frac12\Bigr)\dd x = \frac{\sqrt{12}}{12}, \qquad\text{luego}\qquad w_3 = X^2 - \frac13 - \Bigl(X - \frac12\Bigr) = X^2 - X + \frac16 .

Su norma se calculó en el Ejercicio 23.9: $\norm{w_3}^2 = \frac1{180}$ , de donde $e_3 = \sqrt{180}\,\bigl(X^2 - X + \frac16\bigr)$ . Los polinomios $1$ , $X - \frac12$ , $X^2 - X + \frac16$ son, salvo escala, los primeros polinomios de Legendre del intervalo $\intcc{0}{1}$ ; la construcción sigue de grado en grado, con cada nuevo polinomio ortogonal a todos sus predecesores. Obsérvese cómo el algoritmo recicla el trabajo anterior: la proyección que se resta en el paso 3 es exactamente la mejor aproximación afín de $X^2$ hallada en el Ejemplo 23.12 — Gram–Schmidt es la proyección ortogonal iterada.

Teorema 23.10 (Proyección ortogonal)

Sea $F$ un subespacio del espacio euclídeo $E$ . Entonces

E = F \oplus F^{\perp},

y la proyección asociada $p_F$ sobre $F$ (la proyección ortogonal) viene dada, en cualquier base ortonormal $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ , por $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ . Realiza la distancia a $F$ : para todo $y \in F$ ,

\norm{x - p_F(x)} \leq \norm{x - y},

con igualdad solo para $y = p_F(x)$ ; se escribe $d(x, F) = \norm{x - p_F(x)}$ .

Demostración. Tómese una base ortonormal $(e_i)_{i \leq k}$ de $F$ (Teorema 23.8 dentro de $F$ ) y póngase $\pi(x) = \sum \langle x, e_i\rangle e_i \in F$ . Entonces $x - \pi(x) \perp e_j$ para cada $j$ (la misma cancelación de antes), luego $x - \pi(x) \in F^\perp$ : $E = F + F^\perp$ . Y $F \cap F^\perp = \{0\}$ : un vector así cumple $\langle x, x\rangle = 0$ . Luego la suma es directa y $\pi = p_F$ .

Distancia: para $y \in F$ , descompóngase $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y)$ , piezas ortogonales ( $F^\perp$ y $F$ ); Pitágoras:

\norm{x - y}^2 = \norm{x - p_F(x)}^2 + \norm{p_F(x) - y}^2 \geq \norm{x - p_F(x)}^2,

con igualdad si y solo si $y = p_F(x)$ . ∎

Ejemplo 23.11 (Las proyecciones nunca alargan)

Aplicando Pitágoras a la separación $x = p_F(x) + (x - p_F(x))$ :

\norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \norm{x - p_F(x)}^2 \leq \norm x^2 ,

con igualdad si y solo si $x \in F$ . En una base ortonormal $(e_1, \dots, e_k)$ de $F$ , esto dice $\sum_{i \leq k}\langle x, e_i\rangle^2 \leq \norm x^2$ (una desigualdad de Bessel): por muchas direcciones ortonormales que se midan, las coordenadas al cuadrado nunca superan la longitud al cuadrado — compárese con la igualdad exacta del Ejemplo 23.7 cuando la familia es una base completa. Esta desigualdad de una línea es lo que hace sumables los coeficientes de Fourier en el volumen del tercer año; y aquí ya explica por qué añadir más funciones de base a un ajuste por mínimos cuadrados solo puede reducir el residuo.

Ejemplo 23.12 (La mejor aproximación cuadrática)

En $C(\intcc{0}{1})$ con $\langle f, g\rangle = \int_0^1 fg$ , el polinomio de grado $\leq 1$ más próximo a $f(x) = x^2$ en la distancia asociada (la de la media cuadrática) es $p_F(f)$ , con $F = \R_1[X]$ . Gram–Schmidt sobre $(1, X)$ : $e_1 = 1$ , $w_2 = X - \frac12$ , $\norm{w_2}^2 = \int_0^1 (x - \frac12)^2 = \frac{1}{12}$ , $e_2 = \sqrt{12}\,(X - \tfrac12)$ . Entonces

p_F(f) = \langle f, e_1\rangle e_1 + \langle f, e_2\rangle e_2 = \frac13 + 12\Bigl(\int_0^1 x^2\bigl(x - \tfrac12\bigr)\dd x\Bigr)\bigl(X - \tfrac12\bigr) = X - \frac{1}{6},

usando $\int_0^1 x^2(x - \frac12)\dd x = \frac14 - \frac16 = \frac{1}{12}$ . La idea de los «mínimos cuadrados» en una línea de álgebra lineal.

Método 23.13 (Tres caminos hacia una distancia $d(x, F)$ )

Base ortonormal de $F$ : entonces $p_F(x) = \sum_i \langle x, e_i\rangle e_i$ y, por Pitágoras,

$d(x, F)^2 = \norm{x}^2 - \norm{p_F(x)}^2 = \norm x^2 - \sum_i \langle x, e_i\rangle^2 ,$

a menudo más barato que calcular el propio $x - p_F(x)$ .
Ecuaciones normales: con cualquier familia generadora de $F$ , resuélvase $\langle x - p, v_j\rangle = 0$ para los coeficientes de $p$ (Ejercicio 23.5) — sin necesidad de ortonormalizar.
Por el complemento: si $F^\perp$ es más pequeño que $F$ (por ejemplo, $F$ un hiperplano y $F^\perp$ una recta $\operatorname{Vect}(n)$ ), proyéctese sobre $F^\perp$ en su lugar:

$d(x, F) = \norm{p_{F^\perp}(x)} = \frac{\abs{\langle x, n\rangle}}{\norm n} ,$

que es la fórmula clásica de la distancia a un plano (la usa el Ejercicio 25.8).

El camino 3 es un caso particular de un reflejo general: proyéctese siempre sobre aquel de $F$ , $F^\perp$ que tenga menor dimensión.

Ejemplo 23.14 (Ortogonalidad trigonométrica: un anticipo de Fourier)

En $C(\intcc{0}{2\pi})$ con $\langle f, g\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi} fg$ , la familia

\Bigl(\frac{1}{\sqrt2},\ \cos x,\ \sin x,\ \cos 2x,\ \sin 2x,\ \dots\Bigr)

es ortonormal: por ejemplo, $\langle \cos px, \cos qx\rangle = \frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos px\cos qx\,\dd x = 0$ para $p \neq q$ (linealícese el producto en $\frac12[\cos(p{-}q)x + \cos(p{+}q)x]$ e intégrese sobre períodos completos), mientras que $\frac1\pi\int_0^{2\pi}\cos^2 px\,\dd x = 1$ . La proyección ortogonal sobre el subespacio generado por las primeras $2N + 1$ de estas funciones tiene, por tanto, coordenadas $\langle f, e_i\rangle$ — integrales contra cosenos y senos. Son los coeficientes de Fourier de $f$ , y la proyección es su mejor aproximación trigonométrica en media cuadrática; el volumen del tercer año estudia su convergencia. La ortogonalidad hace todo el trabajo: las fórmulas de los coeficientes son el Teorema 23.10 al pie de la letra.

23.3 Isometrías del plano

Definición 23.15

Un endomorfismo $u$ de un espacio euclídeo es una isometría (o aplicación ortogonal) cuando conserva la norma: $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ — equivalentemente (por polarización), conserva el producto escalar; equivalentemente, su matriz $A$ en una base ortonormal cumple $A^{\mathsf T} A = I$ . Las isometrías forman un grupo, el grupo ortogonal $O(E)$ .

Ejemplo 23.16 (Reconocer una isometría a simple vista)

¿Es ortogonal $A = \dfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4\\ 4 & 3\end{pmatrix}$ ? Columnas: normas $\frac15\sqrt{9 + 16} = 1$ y $\frac15\sqrt{16 + 9} = 1$ ; producto $\frac1{25}(3\cdot(-4) + 4\cdot3) = 0$ . Sí — y $\det A = \frac{9 + 16}{25} = 1$ , así que es la rotación $R_\theta$ con $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ (la «rotación $3$ - $4$ - $5$ », cuyo ángulo no es ninguna fracción notable de $\pi$ ). En cambio, $B = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ tiene aspecto de estar escalada para tener determinante unidad, pero su primera columna no es unitaria ( $\frac1{\sqrt2}$ ): no es ortogonal — el determinante $\pm1$ por sí solo no certifica nada, hay que comprobar las columnas.

Teorema 23.17 (Isometrías del plano)

En una base ortonormal de un plano euclídeo, las matrices de las isometrías son exactamente

R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad (\text{rotación de ángulo } \theta,\ \det = 1),

S_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix} \quad (\det = -1),

siendo la segunda la reflexión respecto de la recta que forma un ángulo $\frac\theta2$ con el primer vector de la base.

Demostración. Sea $A = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$ con $A^{\mathsf T}A = I$ : las columnas son unitarias y ortogonales. La primera columna es $(\cos\theta, \sin\theta)$ para cierto $\theta$ ; y la segunda, unitaria y ortogonal a ella, es $\pm(-\sin\theta, \cos\theta)$ . El signo $+$ da $R_\theta$ y el signo $-$ da $S_\theta$ . Se comprueba que $S_\theta^2 = I$ y que el vector $(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2)$ queda fijo mientras que su ortogonal se invierte: una reflexión. (Y $R_\alpha R_\beta = R_{\alpha+\beta}$ : el grupo de las rotaciones es el grupo de los ángulos — compárese con el Teorema 3.7.) ∎

Dos reflexiones hacen una rotación: reflejar M = (2, 0.5) en el eje x y después en la recta y = x aterriza en (-0.5, 2) — la imagen de M por la rotación de ángulo π2 en torno al origen, el doble del ángulo π4 entre los ejes. El problema del fin de semana convierte esta imagen en la ley de composición de todas las isometrías del plano. — Dos reflexiones hacen una rotación: reflejar $M = (2, 0.5)$ en el eje $x$ y después en la recta $y = x$ aterriza en $(-0.5, 2)$ — la imagen de $M$ por la rotación de ángulo $\frac\pi2$ en torno al origen, *el doble* del ángulo $\frac\pi4$ entre los ejes. El problema del fin de semana convierte esta imagen en la ley de composición de todas las isometrías del plano.

Observación 23.18 (Errores frecuentes)

La fórmula de la proyección necesita una base ortonormal: para una familia $(v_i)$ de $F$ meramente generadora, la suma $\sum_i\langle x, v_i\rangle v_i$ no es $p_F(x)$ (pruébese con $F = \R^2$ , $v_1 = e_1$ , $v_2 = e_1 + e_2$ ); con una familia no ortonormal, resuélvanse en su lugar las ecuaciones normales (Método 23.13 (2)). Las familias ortogonales deben evitar el $0$ para ser libres: el vector nulo es ortogonal a todo, incluido a sí mismo — la libertad en la Proposición 23.6 exige vectores no nulos. $F^\perp$ depende del producto escalar: en $\R_1[X]$ , el complemento de $\operatorname{Vect}(X)$ para $\int_0^1 PQ$ no son las constantes, sino $\operatorname{Vect}(1 - \frac32 X)$ — calcúlese $\int_0^1 x(1 - \frac32 x) = \frac12 - \frac12 = 0$ ; «perpendicular» no significa nada mientras no se nombre el producto. No se desarrolle $\norm{x + y}$ linealmente: la identidad correcta es $\norm{x+y}^2 = \norm x^2 + 2\langle x, y\rangle + \norm y^2$ ; el término cruzado se anula solo bajo ortogonalidad (Pitágoras), y la desigualdad triangular es una desigualdad. No basta con llevar vectores unitarios a vectores unitarios: $u(x, y) = (x + y,\ 0)$ lleva los dos vectores de la base canónica al vector unitario $(1, 0)$ y, sin embargo, $\norm{u(1,1)} = 2 \neq \sqrt2$ : no hay isometría. La definición exige $\norm{u(x)} = \norm x$ para todo $x$ ; en términos matriciales, $A^{\mathsf T}A = I$ , es decir, columnas unitarias y ortogonales dos a dos — las dos condiciones, comprobadas juntas.

Observación 23.19 (Adónde va el producto escalar)

La proyección ortogonal es el teorema más aplicado del capítulo: sostiene los mínimos cuadrados (el problema del fin de semana del Capítulo 25 construye sobre ella las rectas de regresión), los coeficientes de Fourier (Ejemplo 23.14) y las ecuaciones normales del Ejercicio 23.5, que el análisis numérico resuelve a gran escala. La clasificación $R_\theta / S_\theta$ se completa más abajo: el problema del fin de semana clasifica todas las transformaciones del plano que conservan las distancias, lineales o no, y sus grupos finitos — las matemáticas de los rosetones y de los polígonos regulares. En el volumen del segundo año, el producto escalar se encuentra con la teoría de valores propios (matrices simétricas, formas cuadráticas); y en el tercero, la geometría euclídea de dimensión infinita se convierte en la teoría de los espacios de Hilbert.

Observación 23.20 (Perspectivas dentro del libro 3)

De este capítulo salen dos puentes. Hacia atrás, al álgebra lineal: la matriz de Gram del Ejercicio 23.11 empaqueta los productos escalares en la maquinaria de determinantes del Capítulo 22, y la proyección ortogonal es el proyector particular del Capítulo 20 cuyo núcleo es $F^\perp$ — toda su álgebra ( $p^2 = p$ , $s = 2p - \mathrm{id}$ ) se aplica al pie de la letra, ahora con la propina de que $\norm{x - p(x)}$ es una distancia. Hacia delante, al análisis: el Capítulo 24 mide la longitud de arco con la norma de este capítulo y no clasifica nada sin sus isometrías; y el Capítulo 25 lee el gradiente a través de Cauchy–Schwarz (el ascenso más pronunciado) y cierra el volumen con los mínimos cuadrados, que son el Teorema 23.10 aplicado a un vector de datos de $\R^n$ . El producto escalar es el punto donde el álgebra del libro y su análisis se encuentran por fin.

23.4 Ejercicios

Ejercicio 23.1 ★

En $\R^3$ canónico: calcúlense $\langle u, v\rangle$ , $\norm u$ , $\norm v$ y el ángulo entre $u = (1, 2, 2)$ y $v = (2, -2, 1)$ . Compruébese Cauchy–Schwarz numéricamente.

Solución

Solución de Ejercicio 23.1.

$\langle u, v\rangle = 2 - 4 + 2 = 0$ ; $\norm u = \norm v = 3$ . Los vectores son ortogonales: el ángulo es $\frac\pi2$ . Cauchy–Schwarz: $\abs 0 \leq 9$ , con holgura.

Ejercicio 23.2 ★

Demuéstrese la identidad del paralelogramo $\norm{x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2\norm x^2 + 2\norm y^2$ en cualquier espacio euclídeo, y úsese para ver que la norma del supremo en $\R^2$ , $\norm{(x,y)}_\infty = \max(\abs x, \abs y)$ , no proviene de ningún producto escalar.

Solución

Solución de Ejercicio 23.2.

Desarróllense las dos normas al cuadrado con la identidad del Teorema 23.4 y súmense: los términos cruzados se cancelan.

Norma del supremo: tómense $x = (1, 0)$ , $y = (0, 1)$ . Entonces $\norm{x + y}_\infty = \norm{x - y}_\infty = 1$ y la identidad exigiría $1 + 1 = 2(1) + 2(1) = 4$ : falso. Una norma que viola la identidad del paralelogramo no proviene de ningún producto escalar.

Ejercicio 23.3 ★

Aplíquese Gram–Schmidt a $\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ en el $\R^3$ canónico.

Solución

Solución de Ejercicio 23.3.

$e_1 = \frac{1}{\sqrt 2}(1,1,0)$ .

$w_2 = (1,0,1) - \langle (1,0,1), e_1\rangle e_1 = (1,0,1) - \frac{1}{2}(1,1,0) = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, 1\bigr)$ ; $\norm{w_2} = \sqrt{\tfrac32}$ , luego $e_2 = \frac{1}{\sqrt 6}(1, -1, 2)$ .

$w_3 = (0,1,1) - \langle\cdot, e_1\rangle e_1 - \langle\cdot, e_2\rangle e_2 = (0,1,1) - \frac12 (1,1,0) - \frac16(1,-1,2) = \bigl(-\tfrac23, \tfrac23, \tfrac23\bigr)$ ; y normalizando, $e_3 = \frac{1}{\sqrt 3}(-1, 1, 1)$ .

(Compruébese: los productos dos a dos se anulan y cada uno tiene norma $1$ .)

Ejercicio 23.4 ★

En $\R^3$ , sea $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1)\bigr)$ . Determínense $F^\perp$ (ecuación y base), la matriz de $p_F$ en la base canónica y $d\bigl((1, 2, 3), F\bigr)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.4.

$F^\perp = \{(x,y,z) : x + y + z = 0\}$ , con base $\bigl((1,-1,0), (1,0,-1)\bigr)$ . Con $e = \frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$ : $p_F(x) = \langle x, e\rangle e = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\,(1,1,1)$ , luego

\operatorname{Mat}(p_F) = \frac13 \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{pmatrix}.

Para $x = (1,2,3)$ : $p_F(x) = (2,2,2)$ y $d(x, F) = \norm{(1,2,3) - (2,2,2)} = \norm{(-1,0,1)} = \sqrt 2$ .

Ejercicio 23.5 ★★

(Ecuaciones normales) Sean $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(0,1,1)\bigr) \subseteq \R^3$ y $x = (1, 1, 4)$ . Calcúlese $p_F(x)$ resolviendo $\langle x - p, v \rangle = 0$ para los dos generadores ( $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1)$ ), y después $d(x, F)$ . ¿Por qué no hace falta aquí Gram–Schmidt?

Solución

Solución de Ejercicio 23.5.

Sea $p = \alpha(1,0,1) + \beta(0,1,1) = (\alpha, \beta, \alpha + \beta)$ . Ortogonalidad de $x - p$ a los generadores:

\langle x - p, (1,0,1)\rangle = (1 - \alpha) + (4 - \alpha - \beta) = 0, \qquad \langle x - p, (0,1,1)\rangle = (1 - \beta) + (4 - \alpha - \beta) = 0,

es decir, $2\alpha + \beta = 5$ y $\alpha + 2\beta = 5$ : $\alpha = \beta = \frac53$ . Luego $p_F(x) = \bigl(\frac53, \frac53, \frac{10}{3}\bigr)$ y

d(x, F) = \norm{x - p} = \norm{\bigl(-\tfrac23, -\tfrac23, \tfrac23\bigr)} = \frac{2}{\sqrt 3} .

Gram–Schmidt no hace falta porque la propiedad que define la proyección —que $x - p \perp F$ — es ya un sistema lineal (las «ecuaciones normales») sobre los coeficientes en cualquier familia generadora.

Ejercicio 23.6 ★★

Para $f$ continua en $\intcc{0}{1}$ , demuéstrese

\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)^{\!2} \leq \int_0^1 f^2 ,

con el caso de igualdad, como instancia de Cauchy–Schwarz en $C(\intcc{0}{1})$ . Demuéstrese después $\bigl(\sum_{i=1}^n a_i\bigr)^2 \leq n \sum a_i^2$ para reales $a_i$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.6.

Cauchy–Schwarz con $g = 1$ :

\Bigl(\int_0^1 f \cdot 1\Bigr)^2 \leq \int_0^1 f^2 \cdot \int_0^1 1^2 = \int_0^1 f^2 ,

con igualdad si y solo si $f$ es proporcional a $1$ , es decir, constante. Versión discreta: en $\R^n$ con $x = (a_1, \dots, a_n)$ , $y = (1, \dots, 1)$ : $\bigl(\sum a_i\bigr)^2 \leq \norm x^2\, \norm y^2 = n \sum a_i^2$ , con igualdad si y solo si todos los $a_i$ son iguales.

Ejercicio 23.7 ★★

Demuéstrese que para todo subespacio $F$ de un espacio euclídeo: $(F^{\perp})^{\perp} = F$ y $\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.7.

Por el Teorema 23.10, $E = F \oplus F^\perp$ , luego las dimensiones se suman: $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ . La inclusión $F \subseteq (F^\perp)^\perp$ es inmediata (los vectores de $F$ son ortogonales a todo lo de $F^\perp$ ). Dimensiones: $\dim(F^\perp)^\perp = \dim E - \dim F^\perp = \dim F$ ; y una inclusión con dimensiones (finitas) iguales es una igualdad (Teorema 19.14).

Ejercicio 23.8 ★★

Identifíquense las isometrías del plano de matrices

A = \frac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4\\ 4 & -3\end{pmatrix}

(tipo, ángulo o eje). Calcúlense $A^8$ y $B^2$ sin multiplicar matrices.

Solución

Solución de Ejercicio 23.8.

$A$ : columnas unitarias, determinante $+1$ : una rotación, con $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ , $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt2}$ : $\theta = \frac\pi4$ . Por tanto, $A^8 = R_{8\pi/4} = R_{2\pi} = I$ .

$B$ : determinante $\frac{1}{25}(-9 - 16) = -1$ : una reflexión $S_\theta$ con $\cos\theta = \frac35$ , $\sin\theta = \frac45$ ; su eje forma el ángulo $\frac\theta2$ con el eje $x$ , es decir, es la recta dirigida por $\bigl(\cos\frac\theta2, \sin\frac\theta2\bigr)$ — concretamente, el eje es $\operatorname{Vect}\bigl((2, 1)\bigr)$ , ya que $B(2,1)^{\mathsf T} = \frac15(6+4, 8-3)^{\mathsf T} = (2,1)^{\mathsf T}$ . Y por ser una reflexión, $B^2 = I$ .

Ejercicio 23.9 ★★★

(El mínimo como proyección) Calcúlese

\min_{(a, b) \in \R^2} \int_0^1 \bigl(x^2 - a - bx\bigr)^2 \dd x ,

usando el Ejemplo 23.12: el mínimo es $\norm{f - p_F(f)}^2$ para $f = X^2$ , $F = \R_1[X]$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.9.

La cantidad es $\norm{f - (a + bX)}^2$ en $C(\intcc{0}{1})$ con el producto escalar integral: mínima exactamente en la proyección ortogonal $a + bX = p_F(f) = X - \frac16$ (Ejemplo 23.12). El mínimo es

\norm{f - p_F(f)}^2 = \int_0^1 \Bigl(x^2 - x + \frac16\Bigr)^{\!2} \dd x .

Desarrollando: $\int_0^1 (x^2 - x + \frac16)^2 = \int_0^1 \bigl(x^4 - 2x^3 + \frac{4}{3}x^2 - \frac13 x + \frac{1}{36}\bigr)\dd x = \frac15 - \frac12 + \frac49 - \frac16 + \frac{1}{36} = \frac{1}{180}$ . Así que el mínimo vale $\dfrac{1}{180}$ .

Ejercicio 23.10 ★★★

Sea $u$ una isometría de un espacio euclídeo $E$ . Demuéstrese que $\ker(u - \mathrm{id}) \perp \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ , y dedúzcase $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ . (Calcúlese $\langle x - u(x), y\rangle$ para $u(y) = y$ , usando la conservación del producto.)

Solución

Solución de Ejercicio 23.10.

Sean $y \in \ker(u - \mathrm{id})$ (es decir, $u(y) = y$ ) y $x \in E$ . Entonces, usando la conservación del producto escalar ( $\langle u(a), u(b)\rangle = \langle a, b\rangle$ ):

\langle x - u(x),\, y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), y\rangle = \langle x, y\rangle - \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, y\rangle - \langle x, y\rangle = 0 :

todo vector de $\operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ es ortogonal a todo vector fijo.

Por tanto, $\operatorname{im}(u - \mathrm{id}) \subseteq \ker(u - \mathrm{id})^{\perp}$ y, por el teorema del rango más el Ejercicio 23.7, los dos tienen dimensión $\dim E - \dim\ker(u - \mathrm{id})$ : son iguales. Y entonces $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u - \mathrm{id})^\perp = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \operatorname{im}(u - \mathrm{id})$ .

Ejercicio 23.11 ★★

(Matriz de Gram) Para vectores $v_1, \dots, v_k$ de un espacio euclídeo, sea $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)_{1 \leq i, j \leq k}$ su matriz de Gram.

Demuéstrese que $(v_1, \dots, v_k)$ es libre si y solo si $G$ es invertible. (Si $Gc = 0$ , calcúlese $\norm{\sum_i c_i v_i}^2$ .)
Calcúlese la matriz de Gram de $(1, X, X^2)$ en $\R_2[X]$ con $\langle P, Q\rangle = \int_0^1 PQ$ , reconózcase la matriz de Hilbert $H_3$ del problema del fin de semana del Capítulo 22 y conclúyase la libertad a partir de $\det H_3 = \frac1{2160} \neq 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 23.11.

Supóngase $Gc = 0$ para una columna $c = (c_1, \dots, c_k)^{\mathsf T}$ . Entonces

$\Bigl\lVert\sum_i c_i v_i\Bigr\rVert^2 = \sum_{i,j} c_i c_j \langle v_i, v_j\rangle = c^{\mathsf T} G\, c = 0,$

luego $\sum_i c_i v_i = 0$ . Si la familia es libre, esto fuerza $c = 0$ : $G$ es invertible. Recíprocamente, una relación no trivial $\sum_j c_j v_j = 0$ da, tomando el producto con cada $v_i$ , la relación no trivial $Gc = 0$ : $G$ singular. Libertad $\iff \det G \neq 0$ .
$\langle X^{i-1}, X^{j-1}\rangle = \int_0^1 x^{i+j-2}\dd x = \frac{1}{i+j-1}$ : la matriz de Gram de $(1, X, X^2)$ es exactamente la matriz de Hilbert $H_3$ , cuyo determinante $\frac1{2160}$ se calculó en el problema del fin de semana del Capítulo 22: no nulo, luego los monomios son libres — como cabía esperar, pero ahora certificado por un número.

Ejercicio 23.12 ★★★

Sea $u$ un endomorfismo de un espacio euclídeo $E$ cuya matriz $A$ en una base ortonormal es a la vez ortogonal ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) y simétrica ( $A^{\mathsf T} = A$ ).

Véase que $A^2 = I$ y dedúzcase (mediante el Teorema 20.15) que $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Véase que los dos subespacios son ortogonales, de modo que $u$ es la simetría ortogonal respecto de $F = \ker(u - \mathrm{id})$ : la reflexión a través de $F$ . (Para $u(x) = x$ y $u(y) = -y$ , calcúlese $\langle x, y\rangle$ de dos maneras.)
Clasifíquese el caso plano: qué matrices del Teorema 23.17 son simétricas y cuáles son las aplicaciones correspondientes.

Solución

Solución de Ejercicio 23.12.

$A^2 = A A = A^{\mathsf T} A = I$ , luego $u^2 = \mathrm{id}$ : $u$ es una simetría, y el Teorema 20.15 (2) da $E = \ker(u - \mathrm{id}) \oplus \ker(u + \mathrm{id})$ .
Sean $u(x) = x$ y $u(y) = -y$ . Como $u$ conserva el producto escalar,

$\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \langle x, -y\rangle = -\langle x, y\rangle ,$

luego $\langle x, y\rangle = 0$ : los dos subespacios propios son ortogonales, $\ker(u + \mathrm{id}) = F^\perp$ para $F = \ker(u - \mathrm{id})$ , y $u$ es la simetría ortogonal respecto de $F$ .
$R_\theta$ es simétrica si y solo si $-\sin\theta = \sin\theta$ , es decir, $\theta \in \{0, \pi\}$ : las aplicaciones $\pm\mathrm{id}$ (la identidad y la simetría central). Y toda $S_\theta$ es simétrica: las reflexiones respecto de rectas. Son exactamente las simetrías ortogonales del plano, con $F$ igual a todo el plano, a $\{0\}$ o al eje de reflexión.

23.5 Problema: isometrías del plano y teorema de Leonardo

Problema 23.1

Una isometría del plano es cualquier aplicación $f \colon \R^2 \to \R^2$ que conserve las distancias: $\norm{f(x) - f(y)} = \norm{x - y}$ para todos $x, y$ — sin suponer linealidad. Este problema demuestra que esas aplicaciones son exactamente las traslaciones, las rotaciones, las reflexiones y las reflexiones deslizantes (la clasificación de las isometrías del plano), calcula sus composiciones y determina todos sus grupos finitos: el teorema de Leonardo, las matemáticas que hay detrás de los rosetones. A partir de la parte II identificamos $\R^2$ con $\C$ (Capítulo 3): el producto escalar canónico es $\langle z, w\rangle = \operatorname{Re}(z\conj w)$ y la norma es el módulo.

Parte I — Toda isometría es afín.

Compruébese que las traslaciones $t_a(x) = x + a$ , las isometrías lineales y todas sus composiciones son isometrías, y que las isometrías forman un grupo con la composición.
Sea $f$ una isometría con $f(0) = 0$ . Véase que $f$ conserva las normas y después —por polarización, Teorema 23.4— que $\langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ para todos $x, y$ .
Todavía con $f(0) = 0$ : desarróllense $\norm{f(x + y) - f(x) - f(y)}^2$ y $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2$ usando la pregunta 2, y conclúyase que $f$ es lineal: $f \in O(\R^2)$ .
Dedúzcase que toda isometría $f$ se escribe de forma única como $f = t_a \circ g$ con $a = f(0)$ y $g$ una isometría lineal (la parte lineal de $f$ ).
Dígase que $f$ es directa si $\det g = 1$ e indirecta si $\det g = -1$ . Véase que la parte lineal de una composición es la composición de las partes lineales, y enúnciese la regla de signos resultante (las directas y las indirectas se componen como $+1/-1$ ).

Parte II — Los cuatro tipos. Por el Teorema 23.17, las isometrías lineales de $\C$ son $z \mapsto az$ y $z \mapsto a\conj z$ con $\abs a = 1$ ; así que toda isometría del plano es

f(z) = a z + b \quad (\text{directa}) \qquad\text{o}\qquad f(z) = a\conj z + b \quad (\text{indirecta}), \qquad \abs a = 1 .

Compruébese el diccionario: $R_\theta$ es $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ y $S_\theta$ es $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ (compruébense los dos en $1$ y en $\iu$ ).
(Caso directo) Sea $f(z) = az + b$ , $\abs a = 1$ . Véase que: si $a = 1$ , $f$ es una traslación; y si $a \neq 1$ , $f$ tiene el único punto fijo $z_0 = b/(1 - a)$ y $f(z) - z_0 = a(z - z_0)$ : una rotación de centro $z_0$ y ángulo $\arg a$ .
(Caso indirecto) Sea $f(z) = a\conj z + b$ y $v = a\conj b + b$ . Véase que $f \circ f = t_v$ y $f \circ t_v = t_v \circ f$ . Si $v = 0$ : véase que el punto medio de $z$ y $f(z)$ es un punto fijo y que $f$ es una reflexión respecto de una recta. Y si $v \neq 0$ : véase que $r = t_{-v/2}\circ f$ es una reflexión cuyo eje es paralelo a $v$ , de modo que $f = t_{v/2} \circ r$ es una reflexión deslizante. Conclúyase: toda isometría del plano es una traslación, una rotación, una reflexión o una reflexión deslizante (la clasificación de las isometrías del plano).
(Composiciones) Véase que: la composición de rotaciones de ángulos $\alpha$ y $\beta$ es una rotación de ángulo $\alpha + \beta$ (una traslación si $\alpha + \beta \in 2\pi\Z$ ); y la composición de dos reflexiones es una rotación del doble del ángulo entre los ejes (una traslación si los ejes son paralelos).
Dedúzcase que toda isometría del plano es composición de a lo sumo tres reflexiones.

Parte III — Tres identificaciones.

Clasifíquese por completo $f(z) = \iu\conj z + 1 + \iu$ : tipo, eje y vector de deslizamiento.
Sea $f$ la rotación de ángulo $\frac\pi2$ en torno a $0$ y $g$ la rotación de ángulo $\frac\pi2$ en torno a $1$ . Calcúlese $g \circ f$ en la forma $z \mapsto az + b$ e identifíquese (tipo, centro, ángulo).
Sean $r_1(z) = \conj z$ (la reflexión respecto del eje real) y $r_2(z) = \iu\conj z$ (la reflexión respecto de la recta $y = x$ ). Calcúlese $r_2 \circ r_1$ y compruébese la pregunta 9 con este ejemplo.

Parte IV — Grupos finitos: el teorema de Leonardo. Sea $G$ un grupo finito de isometrías del plano.

Véase que las isometrías conservan los baricentros: si $\lambda_1 + \dots + \lambda_m = 1$ y $f = t_a \circ g$ (con $g$ lineal), entonces $f\bigl(\sum_i \lambda_i x_i\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i)$ .
Póngase $c = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} g(x_0)$ para un $x_0$ elegido cualquiera. Véase que todo $h \in G$ deja fijo $c$ : un grupo finito de isometrías tiene un punto fijo común.
Dedúzcase que, tras conjugar por $t_{-c}$ , se puede suponer $G \subseteq O(\R^2)$ . Sea $G^{+} = \{g \in G : \det g = 1\}$ ; véase que o bien $G = G^{+}$ , o bien $G^{+}$ tiene índice exactamente $2$ en $G$ (exhíbase una biyección $G^+ \to G \setminus G^+$ ).
Véase que un grupo finito de rotaciones en torno a $c$ es cíclico: entre sus elementos, tómese la rotación $R_{\theta_0}$ de ángulo mínimo $\theta_0 \in \intoo{0}{2\pi}$ y úsese la división euclídea de ángulos para demostrar que genera; conclúyase $\theta_0 = \frac{2\pi}n$ y $G^{+} = \{R_{\theta_0}^{\,k}\} \cong C_n$ .
Supóngase $G \neq G^{+}$ y tómese una reflexión $s \in G$ . Véase que $G = G^{+} \cup sG^{+}$ , que $s r s = r^{-1}$ para toda rotación $r \in G^{+}$ y que los $n$ elementos de $sG^{+}$ son reflexiones: $G$ es el grupo diédrico $D_n$ , de orden $2n$ .
Conclúyase (teorema de Leonardo): todo grupo finito de isometrías del plano es cíclico $C_n$ o diédrico $D_n$ .

Parte V — Dividendos, y síntesis.

Véase directamente que un grupo finito de isometrías no puede contener ninguna traslación ni ninguna reflexión deslizante distinta de la identidad (considérense las potencias de un elemento así).
Sea $P_n$ el polígono regular de $n$ lados con vértices las raíces $n$ -ésimas de la unidad ( $n \geq 3$ ). Véase que su grupo de simetrías es exactamente $D_n$ : las $n$ rotaciones $z \mapsto \omega^k z$ y las $n$ reflexiones $z \mapsto \omega^k \conj z$ , con $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ , y ninguna más.
Exhíbanse figuras planas cuyos grupos de simetrías sean, respectivamente, $C_1$ , $D_1$ , $D_2$ y $C_3$ .
Enumérense los ocho elementos del grupo de simetrías del cuadrado de vértices $\pm1, \pm\iu$ como aplicaciones $z \mapsto \omega^k z$ o $z \mapsto \omega^k\conj z$ , y dese el eje de cada una de las cuatro reflexiones.
Sean $f, g$ rotaciones del mismo ángulo $\theta \notin 2\pi\Z$ en torno a centros distintos $c_1 \neq c_2$ . Calcúlese $f\circ g - g\circ f$ punto a punto y véase que $f\circ g \neq g\circ f$ ; véase además que $(f \circ g)\circ(g\circ f)^{-1}$ es una traslación no trivial, de modo que todo grupo que contenga $f$ y $g$ es infinito — una segunda explicación del centro único del teorema de Leonardo.
Síntesis, en cuatro frases: qué dos resultados estructurales reducen las isometrías arbitrarias al álgebra lineal (preguntas 3–4) y los grupos finitos arbitrarios a subgrupos de $O(2)$ (pregunta 15); cuál es la lista completa de las isometrías del plano y qué invariantes (directa/indirecta, puntos fijos) separan los cuatro tipos; por qué las reglas de composición de la pregunta 9 hacen de las reflexiones los generadores de todo; y qué añade el teorema de Leonardo a escala finita. Nómbrense los dos teoremas demostrados en las partes II y IV.

Solución

Solución de Problema 23.1.

1. $\norm{t_a(x) - t_a(y)} = \norm{x - y}$ ; una isometría lineal conserva las normas y, por tanto, las distancias ( $\norm{g(x) - g(y)} = \norm{g(x - y)} = \norm{x-y}$ ); y una composición de aplicaciones que conservan distancias las conserva. Toda isometría es inyectiva (dos puntos distintos siguen a distancia positiva) y, por la clasificación de más abajo, biyectiva; la identidad y las inversas son isometrías: un grupo.

2. $\norm{f(x)} = \norm{f(x) - f(0)} = \norm{x - 0} = \norm x$ . Polarización:

\langle f(x), f(y)\rangle = \frac{\norm{f(x)}^2 + \norm{f(y)}^2 - \norm{f(x) - f(y)}^2}{2} = \frac{\norm x^2 + \norm y^2 - \norm{x - y}^2}{2} = \langle x, y\rangle .

3. Desarrollando con la pregunta 2 (cada producto de $f$ es igual al producto de los argumentos):

\begin{align*} \norm{f(x+y) - f(x) - f(y)}^2 &= \norm{x+y}^2 + \norm x^2 + \norm y^2\\ &\quad - 2\langle x+y, x\rangle - 2\langle x+y, y\rangle + 2\langle x, y\rangle = 0 , \end{align*}

como muestra una comprobación directa; y análogamente $\norm{f(\lambda x) - \lambda f(x)}^2 = \norm{\lambda x}^2 - 2\lambda\langle \lambda x, x\rangle + \lambda^2\norm x^2 = 0$ . Luego $f(x + y) = f(x) + f(y)$ y $f(\lambda x) = \lambda f(x)$ : $f$ es lineal y conserva la norma: $f \in O(\R^2)$ .

4. Póngase $a = f(0)$ y $g = t_{-a}\circ f$ : una isometría que deja fijo $0$ y, por tanto, una isometría lineal (pregunta 3), con $f = t_a \circ g$ . Unicidad: $t_a \circ g = t_{a'}\circ g'$ evaluado en $0$ da $a = a'$ , y después $g = g'$ .

5. $(t_a\circ g)\circ(t_{a'}\circ g') = t_{a + g(a')}\circ(g\circ g')$ , ya que $g\,t_{a'} = t_{g(a')}\,g$ para $g$ lineal. Así, la parte lineal de una composición es $g \circ g'$ , y $\det(gg') = \det g \det g'$ : directa $\circ$ directa $=$ indirecta $\circ$ indirecta $=$ directa, directa $\circ$ indirecta $=$ indirecta — la regla de signos de $\pm1$ .

6. $z \mapsto \eu^{\iu\theta}z$ manda $1$ a $(\cos\theta, \sin\theta)$ y $\iu$ a $\iu\eu^{\iu\theta} = (-\sin\theta, \cos\theta)$ : las columnas de $R_\theta$ . Y $z \mapsto \eu^{\iu\theta}\conj z$ manda $1$ a $(\cos\theta, \sin\theta)$ y $\iu$ a $-\iu\eu^{\iu\theta} = (\sin\theta, -\cos\theta)$ : las columnas de $S_\theta$ .

7. $a = 1$ : $f = t_b$ . $a \neq 1$ : la ecuación de punto fijo $az_0 + b = z_0$ tiene la única solución $z_0 = b/(1 - a)$ , y entonces

f(z) - z_0 = az + b - (az_0 + b) = a(z - z_0):

en el sistema centrado en $z_0$ , $f$ es la multiplicación por $a = \eu^{\iu\arg a}$ : la rotación de centro $z_0$ y ángulo $\arg a$ .

8. $f(f(z)) = a\conj{(a\conj z + b)} + b = a\conj a\,z + a\conj b + b = z + v$ : $f^2 = t_v$ . Conmutación: $f(z + v) = a\conj z + a\conj v + b$ y $a\conj v = a\conj{(a\conj b + b)} = b + a\conj b = v$ , luego $f\circ t_v = t_v\circ f$ .

Caso $v = 0$ : $f^2 = \mathrm{id}$ . Para cualquier $z$ , el punto medio $m = \frac{z + f(z)}2$ cumple (siendo afines las isometrías, parte I) $f(m) = \frac{f(z) + f^2(z)}{2} = m$ : hay puntos fijos. Conjugando por la traslación a un punto fijo, $f$ se convierte en una isometría lineal indirecta, es decir, en cierta $S_\theta$ (Teorema 23.17): una reflexión respecto de una recta.

Caso $v \neq 0$ : $r = t_{-v/2}\circ f$ es indirecta y

r^2 = t_{-v/2}\,f\,t_{-v/2}\,f = t_{-v/2}\,t_{-v/2}\,f^2 = t_{-v}\,t_v = \mathrm{id}

(usando la conmutación), de modo que $r$ es una reflexión y $f = t_{v/2}\circ r$ . Su eje es paralelo a $v$ : $r$ conmuta con $t_v$ (lo hacen tanto $f$ como $t_{v/2}$ ), luego $t_v$ lleva el eje (la recta fija de $r$ ) en sí mismo, lo que fuerza a $v$ a dirigirlo. Por tanto, $f$ es una reflexión deslizante de vector de deslizamiento $v/2$ . Toda isometría queda ya clasificada: traslación o rotación (directas), reflexión o reflexión deslizante (indirectas).

9. Rotaciones $f(z) = az + b$ , $g(z) = a'z + b'$ con $a = \eu^{\iu\alpha}$ , $a' = \eu^{\iu\beta}$ : $g\circ f(z) = a'az + (a'b + b')$ tiene coeficiente lineal $\eu^{\iu(\alpha+\beta)}$ : una rotación de ángulo $\alpha + \beta$ por la pregunta 7, o una traslación cuando $\eu^{\iu(\alpha+\beta)} = 1$ . Reflexiones $r_i(z) = a_i\conj z + b_i$ con $a_i = \eu^{\iu\theta_i}$ (eje de ángulo $\theta_i/2$ ):

r_2\circ r_1(z) = a_2\conj{a_1}\,z + (a_2\conj{b_1} + b_2),

directa, de ángulo $\theta_2 - \theta_1 = 2\bigl(\tfrac{\theta_2}2 - \tfrac{\theta_1}2\bigr)$ : el doble del ángulo entre los ejes; y ejes paralelos ( $\theta_1 = \theta_2$ ) dan una traslación.

10. Una rotación de centro $c$ y ángulo $\theta$ es el producto de dos reflexiones respecto de rectas por $c$ que forman un ángulo $\theta/2$ (la pregunta 9, leída al revés); una traslación $t_v$ es el producto de dos reflexiones respecto de rectas paralelas ortogonales a $v$ y a distancia $\norm v/2$ ; una reflexión es una reflexión; y una reflexión deslizante es una reflexión compuesta con una traslación, luego tres. Máximo: tres.

11. $a = \iu$ , $b = 1 + \iu$ : $v = a\conj b + b = \iu(1 - \iu) + 1 + \iu = (1 + \iu) + (1 + \iu) = 2 + 2\iu \neq 0$ : una reflexión deslizante de vector de deslizamiento $v/2 = 1 + \iu$ . La reflexión $r = t_{-(1+\iu)}\circ f$ es $r(z) = \iu\conj z$ , cuyo eje es la recta de ángulo $\frac12\arg\iu = \frac\pi4$ : la recta $y = x$ . Así que $f$ es la reflexión deslizante de eje $y = x$ y vector $(1, 1)$ .

12. $f(z) = \iu z$ y $g(z) = 1 + \iu(z - 1) = \iu z + 1 - \iu$ , luego

g\circ f(z) = \iu(\iu z) + 1 - \iu = -z + 1 - \iu :

coeficiente lineal $-1 = \eu^{\iu\pi}$ , una rotación de ángulo $\pi$ (una media vuelta), de centro $z_0 = \frac{1 - \iu}{1 - (-1)} = \frac{1 - \iu}{2}$ .

13. $r_2\circ r_1(z) = \iu\,\conj{\conj z} = \iu z$ : la rotación de ángulo $\frac\pi2$ en torno a $0$ . Los ejes (el eje real, de ángulo $0$ ; y la recta $y = x$ , de ángulo $\frac\pi4$ ) se cortan con ángulo $\frac\pi4$ , y el doble de eso es $\frac\pi2$ : pregunta 9 confirmada.

14. Con $f = t_a\circ g$ , $g$ lineal, y $\sum_i \lambda_i = 1$ :

f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) = a + \sum_i \lambda_i\,g(x_i) = \sum_i \lambda_i\bigl(a + g(x_i)\bigr) = \sum_i \lambda_i f(x_i) .

15. Para $h \in G$ , usando la pregunta 14 (los coeficientes $\frac1{\abs G}$ suman $1$ ):

h(c) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g \in G} h\bigl(g(x_0)\bigr) = \frac{1}{\abs G}\sum_{g' \in G} g'(x_0) = c ,

porque $g \mapsto hg$ es una biyección de $G$ sobre sí mismo.

16. Los conjugados $t_{-c}\,g\,t_{c}$ ( $g \in G$ ) forman un grupo de isometrías que dejan fijo $0$ y, por tanto, de isometrías lineales (pregunta 3): un subgrupo finito de $O(\R^2)$ . Si algún $s \in G$ es indirecta, la aplicación $g \mapsto sg$ manda $G^+$ inyectivamente dentro de $G\setminus G^+$ y $h \mapsto s^{-1}h$ es su inversa (regla de signos de la pregunta 5): $\abs G = 2\,\abs{G^+}$ ; y en caso contrario, $G = G^+$ .

17. Si $G^{+} = \{\mathrm{id}\}$ , es $C_1$ . En caso contrario, escríbanse sus elementos como $R_\theta$ , con $\theta \in \intco{0}{2\pi}$ , y sea $\theta_0$ el menor ángulo positivo que aparece. Para $R_\theta \in G^{+}$ , la división euclídea $\theta = k\theta_0 + \rho$ con $0 \leq \rho < \theta_0$ da $R_\rho = R_\theta R_{\theta_0}^{-k} \in G^{+}$ , luego $\rho = 0$ por minimalidad: $G^{+} = \langle R_{\theta_0}\rangle$ . Y dividir $2\pi$ entre $\theta_0$ de la misma forma muestra $2\pi = n\theta_0$ : $G^{+} \cong C_n$ , generado por la rotación de ángulo $\frac{2\pi}n$ .

18. $G = G^{+} \cup sG^{+}$ por el recuento de la pregunta 16. Con $s(z) = a\conj z$ y $r(z) = \omega z$ (formas lineales, tras la pregunta 16; $\abs a = \abs\omega = 1$ ):

s r s(z) = a\,\conj{\omega\,a\conj z} = a\conj\omega\conj a\,z = \conj\omega\,z = r^{-1}(z) .

Cada elemento $sr^k$ de $sG^{+}$ es indirecto y cumple $(sr^k)^2 = (sr^ks)\,r^k = r^{-k}r^k = \mathrm{id}$ : una isometría indirecta e involutiva que deja fijo $c$ , es decir, una reflexión. Así, $G$ consta de $n$ rotaciones y $n$ reflexiones con las relaciones $r^n = s^2 = \mathrm{id}$ , $srs = r^{-1}$ : el grupo diédrico $D_n$ .

19. Reuniéndolo todo: un grupo finito de isometrías del plano deja fijo un punto $c$ (pregunta 15), se reduce a un subgrupo finito de $O(2)$ (pregunta 16) y es $C_n$ si solo contiene rotaciones (pregunta 17) y $D_n$ en caso contrario (pregunta 18): el teorema de Leonardo.

20. Una traslación $t_v \neq \mathrm{id}$ tiene potencias $t_{kv}$ , todas distintas ( $kv$ distintos dos a dos para $v \neq 0$ ): orden infinito. Y una reflexión deslizante $f$ tiene $f^2 = t_v$ con $v \neq 0$ : otra vez orden infinito. Ninguna cabe en un grupo finito — en consonancia con las preguntas 15–19, que solo produjeron rotaciones y reflexiones.

21. Las $2n$ aplicaciones conservan el conjunto de vértices: $\omega^k \omega^j = \omega^{k+j}$ y $\omega^k\conj{\omega^j} = \omega^{k-j}$ ; y, al ser isometrías, conservan el polígono (los segmentos van a segmentos). Recíprocamente, una simetría conserva el baricentro $0$ de los vértices (pregunta 14), luego es lineal, y permuta los vértices (que son los puntos del polígono a distancia máxima de $0$ ). Una isometría lineal que manda el vértice $1$ a $\omega^k$ es $z \mapsto \omega^k z$ si es directa y $z \mapsto \omega^k\conj z$ si es indirecta (su matriz queda determinada por una columna y el signo): a lo sumo $2n$ simetrías, luego exactamente el $D_n$ anterior.

22. $C_1$ : un triángulo escaleno (sin ninguna simetría no trivial). $D_1$ : un triángulo isósceles no equilátero (una reflexión). $D_2$ : un rectángulo no cuadrado (la identidad, la media vuelta en torno al centro y las dos reflexiones respecto de los ejes). $C_3$ : un trisquel — tres brazos curvados congruentes unidos a intervalos de $120$ grados; la curvatura mata todas las reflexiones, pero deja las rotaciones de orden $3$ .

23. Con $\omega = \iu$ : las rotaciones $z \mapsto z$ , $\iu z$ , $-z$ , $-\iu z$ (de ángulos $0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2$ ), y las reflexiones

z \mapsto \conj z \ (\text{axis } y = 0), \quad \iu\conj z \ (y = x), \quad -\conj z \ (x = 0), \quad -\iu\conj z \ (y = -x):

las dos diagonales y las dos medianas del cuadrado — el grupo diédrico $D_4$ , de orden $8$ .

24. Escríbase $a = \eu^{\iu\theta} \neq 1$ : $f(z) = az + c_1(1 - a)$ y $g(z) = az + c_2(1 - a)$ . Entonces

f\circ g(z) - g\circ f(z) = (1-a)\bigl(ac_2 + c_1 - ac_1 - c_2\bigr) = -(1 - a)^2(c_2 - c_1) \neq 0 ,

luego $f g \neq g f$ . Las dos composiciones tienen coeficiente lineal $a^2$ , así que $(fg)\circ(gf)^{-1}$ tiene coeficiente lineal $1$ : es la traslación por $fg(z) - gf(z)$ , la constante no nula de arriba. Un grupo que contenga $f$ y $g$ contiene esa traslación y todas sus potencias: es infinito. Dos centros de rotación son uno de más para un grupo finito — el corazón geométrico del teorema de Leonardo.

25. (i) Las preguntas 3–4 muestran que toda aplicación que conserva distancias es afín con parte lineal ortogonal, y la pregunta 15 clava todo grupo finito a un punto fijo: los dos resultados convierten la geometría métrica en álgebra lineal en el origen. (ii) La lista completa es traslación, rotación, reflexión y reflexión deslizante; el determinante de la parte lineal separa las directas de las indirectas, y la existencia de puntos fijos separa los dos tipos dentro de cada paridad. (iii) Por la pregunta 9, dos reflexiones componen cualquier rotación o traslación, de modo que las reflexiones generan todo el grupo — y bastan tres para cualquier isometría. (iv) A escala finita solo sobreviven dos familias, los grupos cíclicos y los diédricos, y por eso los ornamentos de rosetón vienen exactamente en dos clases (con ejes de espejo o sin ellos). La parte II demostró la clasificación de las isometrías del plano; y la parte IV, el teorema de Leonardo.