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Exemple 2.20 (Un anneau sans factorisation unique)

Aucune des implications euclidien $\Rightarrow$ PID $\Rightarrow$ UFD n’est une équivalence, et l’échec de la dernière mérite d’être vu une fois en détail complet. Dans

la norme est multiplicative et $N(z) = 1$ ssi $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Considérer

Les quatre facteurs sont irréductibles : leurs normes sont $4, 9, 6, 6$, et une factorisation propre $z = z_1z_2$ forcerait $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — or $a^2 + 5b^2$ ne vaut jamais $2$ ni $3$ ($b = 0$ laisse les non-carrés $2, 3$ ; $\abs b \geq 1$ donne $\geq 5$). Pourtant $2$ n’est associé ni à $1 + \iu\sqrt5$ ni à $1 - \iu\sqrt5$ (normes $4 \neq 6$) : deux factorisations véritablement différentes de $6$ en irréductibles. De façon équivalente, irréductible $\neq$ premier ici : $2$ divise le produit $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ mais aucun des facteurs (normes encore). La réparation idéelliste de cet échec — factoriser les idéaux plutôt que les éléments — est la naissance de la théorie algébrique des nombres ; à notre niveau, l’exemple calibre à quel point les anneaux euclidiens $\Z$, $K[X]$, $\Z[\iu]$ de ce chapitre sont spéciaux.

Exemple 2.26

$X^n - p$ est irréductible sur $\Q$ pour tout premier $p$ et $n \geq 1$ (Eisenstein en $p$) : il existe des polynômes irréductibles de tout degré sur $\Q$ — en contraste frappant avec $\C$ (degré $1$, d’Alembert–Gauss, démontré dans le Chapitre 16) et $\R$ (degrés $1, 2$). Le tour du décalage élargit la portée d’Eisenstein : le $p$-ième polynôme cyclotomique $\Phi_p = X^{p-1} + \dots + X + 1 = \frac{X^p - 1}{X - 1}$ a

Eisenstein en $p$ ($p \mid \binom pk$ pour $0 < k < p$, et $\binom{p}{p-1} = p \not\equiv 0 \bmod p^2$) : $\Phi_p(X+1)$, donc $\Phi_p$, est irréductible sur $\Q$. C’est le cœur algébrique de l’histoire du $17$-gone racontée dans le Chapitre 4.