espace affine কী?

Exemple 17.2 (Un espace affine sans origine naturelle)

Le plan solution $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ n’est pas un sous-espace vectoriel ($0 \notin \mathcal E$), mais c’est un espace affine dirigé par $E = \{x + y + z = 0\}$ : pour $A, B \in \mathcal E$ la différence $\vect{AB} = B - A$ tombe dans $E$ (les sommes s’annulent), Chasles est hérité de $\R^3$, et $B \mapsto \vect{AB}$ est bijective sur $E$. Aucun point de $\mathcal E$ n’est distingué — tout choix d’« origine » $O \in \mathcal E$ convient aussi bien, et toutes les identifications $M \mapsto \vect{OM}$ diffèrent par des translations. C’est la situation typique : les ensembles solutions de problèmes linéaires inhomogènes (systèmes linéaires, équations différentielles linéaires au Chapitre 16) sont affines, jamais linéaires, et le slogan « solution particulière plus noyau » est exactement l’énoncé $\mathcal F = A + F$ de la définition suivante.