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Mathématiques · 术语表

什么是 espace affine？

Définition 17.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · 第 17 章 — Espaces affines

Un espace affine dirigé par un espace vectoriel réel $E$ est un ensemble non vide $\mathcal{E}$ muni d’une application $(A, B) \mapsto \vect{AB} \in E$ vérifiant

\vect{AB} + \vect{BC} = \vect{AC} \quad \text{(Chasles)}, \qquad \text{pour chaque } A,\ B \mapsto \vect{AB} \text{ est une bijection } \mathcal{E} \to E .

On note $B = A + u$ l’unique point tel que $\vect{AB} = u$ . La dimension de $\mathcal{E}$ est $\dim E$ . Tout espace vectoriel est un espace affine sur lui-même ( $\vect{AB} = B - A$ ) ; tout choix d’origine $O \in \mathcal{E}$ identifie $\mathcal{E}$ à $E$ via $M \mapsto \vect{OM}$ .

示例

Exemple 17.2 (Un espace affine sans origine naturelle)

Le plan solution $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ n’est pas un sous-espace vectoriel ( $0 \notin \mathcal E$ ), mais c’est un espace affine dirigé par $E = \{x + y + z = 0\}$ : pour $A, B \in \mathcal E$ la différence $\vect{AB} = B - A$ tombe dans $E$ (les sommes s’annulent), Chasles est hérité de $\R^3$ , et $B \mapsto \vect{AB}$ est bijective sur $E$ . Aucun point de $\mathcal E$ n’est distingué — tout choix d’« origine » $O \in \mathcal E$ convient aussi bien, et toutes les identifications $M \mapsto \vect{OM}$ diffèrent par des translations. C’est la situation typique : les ensembles solutions de problèmes linéaires inhomogènes (systèmes linéaires, équations différentielles linéaires au Chapitre 16) sont affines, jamais linéaires, et le slogan « solution particulière plus noyau » est exactement l’énoncé $\mathcal F = A + F$ de la définition suivante.

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