20Sous-variétés de ℝn

Solution de Exercice 20.1.

(a) Chacun est $F^{-1}(0)$ pour une submersion : $\norm x^2 - 1$ sur $\R^n\setminus\{0\}$ (gradient $2x \neq 0$) : dimension $n-1$ ; $x^2 + y^2 - z^2 - 1$ (gradient $(2x, 2y, -2z) \neq 0$ sur l’hyperboloïde, où $x^2 + y^2 = 1 + z^2 > 0$) : dimension $2$ ; la fonction de tore $G = (\rho - R)^2 + z^2 - r^2$, $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$, est $\mathcal C^\infty$ près du tore ($\rho \geq R - r > 0$ là) avec $\nabla G \neq 0$ (sa composante en $z$ est $2z$, et où $z = 0$ la composante radiale est $2(\rho - R)\ne0$ car $\abs{\rho - R} = r$) : dimension $2$.

(b) Pour $\varepsilon$ petit, $(C\setminus\{0\})\cap B(0,\varepsilon)$ a exactement $2$ composantes connexes (nappes supérieure et inférieure épointées, chacune connexe par arcs : relier via cercles et rayons). Si $C$ était une $2$-sous-variété en $0$, un redressement donnerait un homéomorphisme de $C\cap\Omega$ sur un morceau ouvert d’un plan envoyant $0$ sur un point $p$ ; les petits voisinages épointés de $p$ dans le plan ont une composante, et les homéomorphismes préservent le nombre de composantes des voisinages épointés : contradiction.

Solution de Exercice 20.2.

(a) $T_aS^{n-1} = \ker\bigl(2a^{\mathsf T}\bigr) = a^\perp$. (b) En $p = ((R+r)\cos\theta, (R+r)\sin\theta, 0)$ : $\nabla G = (2r\cos\theta, 2r\sin\theta, 0)$, donc le plan tangent est $\operatorname{Vect}\bigl((-\sin\theta, \cos\theta, 0),\ (0, 0, 1)\bigr)$ : le plan vertical tangent à l’équateur extérieur. (c) L’hélice est une courbe plongée avec $\varphi'(t_0) = (-\sin t_0, \cos t_0, 1) \neq 0$ : la droite tangente en $\varphi(t_0)$ est $\varphi(t_0) + \R\,\varphi'(t_0)$, comme le prescrit le Proposition 20.6(2).

Solution de Exercice 20.3.

(a) $Df(x,y) = \bigl(\begin{smallmatrix}2x & -2y\\ 2y & 2x\end{smallmatrix}\bigr)$, $\det = 4(x^2 + y^2)$ : le théorème s’applique en tout point sauf l’origine. (b) $f(-z) = f(z)$ : jamais injective sur un ensemble symétrique par rapport à $0$ ; sur $\R^2\setminus\{0\}$ c’est un difféomorphisme local partout mais $2$-vers-$1$ globalement. Près de $(1, 0) = f(\pm(1, 0))$, les deux inverses sont les deux branches de racine carrée : en notation complexe $w \mapsto \pm\sqrt w$ (branche principale), c’est-à-dire

(c) Jacobien $r > 0$ : difféomorphisme local sur $\intoo0\infty\times\R$, mais $\theta \mapsto \theta + 2\pi$ donne le même point : localement inversible (angle déterminé à $2\pi$ près sur un demi-plan), jamais globalement.

Solution de Exercice 20.4.

(a) $\nabla F = 3(x^2 - y,\ y^2 - x)$ s’annule ssi $y = x^2$ et $x = y^2$, c’est-à-dire $x^4 = x$ : en $(0,0)$ et $(1,1)$ ; seul $(0,0)$ est sur $\mathcal C$ ($F(1,1) = -1$). Donc sur $\mathcal C\setminus\{0\}$, $F$ est une submersion : une $1$-sous-variété, localement un graphe $y = \psi(x)$ où $F_y = 3(y^2 - x) \neq 0$ et $x = \chi(y)$ où $F_x = 3(x^2 - y) \neq 0$ (au moins l’un des deux hors de l’origine).

(b) En $(\frac32, \frac32)$ : $\nabla F = 3(\frac94 - \frac32)(1, 1) = \frac94(1,1)$ : droite tangente $x + y = 3$.

(c) La paramétrisation rationnelle $x = \frac{3t}{1 + t^3}$, $y = \frac{3t^2}{1+t^3}$ passe par $0$ en $t = 0$ avec vitesse $(3, 0)$ ; l’échange $x \leftrightarrow y$ (la courbe est symétrique, ou reparamétrer par $1/t$) donne une seconde courbe $\mathcal C^1$ passant par $0$ de vitesse $(0, 3)$. Deux directions tangentes indépendantes sont impossibles pour une $1$-sous-variété (son espace tangent est une droite, Proposition 20.6) : $\mathcal C$ n’est pas une sous-variété à l’origine — un auto-croisement transverse.

Solution de Exercice 20.5.

(a) $F(M + H) = M^{\mathsf T}M + M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M + H^{\mathsf T}H$ : $DF(M)(H) = M^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}M$. Pour $M \in O_n$ et $S$ symétrique, $H = \frac12MS$ donne $DF(M)(H) = \frac12(S + S^{\mathsf T}) = S$ : surjective sur $S_n$.

(b) $O_n = F^{-1}(I)$ avec $F$ une submersion (sur $S_n$, de dimension $\frac{n(n+1)}2$) en chacun de ses points : une sous-variété de dimension $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$. Compacte : fermée ($F$ continue) et bornée (les colonnes sont des vecteurs unitaires). Tangent en $I$ : $\ker DF(I) = \{H : H + H^{\mathsf T} = 0\}$.

(c) $\bigl(\eu^{tH}\bigr)^{\mathsf T}\eu^{tH} = \eu^{tH^{\mathsf T}}\eu^{tH} = \eu^{-tH}\eu^{tH} = I$ (la transposition passe à travers la série ; les exponentielles de matrices qui commutent se multiplient, Théorème 19.8).

Solution de Exercice 20.6.

(a) $\det(M + H) = \det M\,\det(I + M^{-1}H) = \det M\bigl(1 + \operatorname{tr}(M^{-1}H) + O(\norm H^2)\bigr)$ pour $M$ inversible (développement de $\det$ près de $I$ : le terme linéaire de $\prod(1 + \lambda_i)$) ; avec $\det M\cdot M^{-1} = \operatorname{com}(M)^{\mathsf T}$ : $D\det(M)(H) = \operatorname{tr}\bigl(\operatorname{com}(M)^{\mathsf T}H\bigr)$, et la formule s’étend à tout $M$ par densité et continuité. Sur $SL_n$, $\det M = 1$ : $D\det(M) \ne 0$ (sa valeur sur $H = M$ est $\operatorname{tr}(I)\cdot\dots = n\det M = n$).

(b) $SL_n = \det^{-1}(1)$ avec $\det$ une submersion là (valeurs dans $\R$) : dimension $n^2 - 1$ ; $T_ISL_n = \ker D\det(I) = \{H : \operatorname{tr}H = 0\}$.

(c) $GL_n$ est un sous-ensemble ouvert de $M_n(\R)$ (Exercice 6.8) : une sous-variété de dimension pleine $n^2$ (redressement : la carte identité).

Solution de Exercice 20.7.

(a) $(y, x) = \lambda(2x, 2y)$ et $x^2 + y^2 = 1$ : $y = 2\lambda x$, $x = 2\lambda y$ donnent $x^2 = y^2 = \frac12$. Valeurs de $xy$ : $\pm\frac12$ : maximum $\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,1)$, minimum $-\frac12$ en $\pm\frac1{\sqrt2}(1,-1)$ (l’ensemble de contrainte est compact : les extrema existent).

(b) Sur l’intérieur du simplexe ($p_i > 0$), Lagrange pour $H(p) = -\sum p_i\ln p_i$ avec contrainte $\sum p_i = 1$ : $-\ln p_i - 1 = \lambda$ pour tout $i$ : tous les $p_i$ égaux, $p_i = \frac1n$, avec $H = \ln n$. Le maximum sur le simplexe compact est atteint ; s’il l’était sur le bord (quelque $p_i = 0$), la distribution vit sur $\leq n - 1$ points et par récurrence $H \leq \ln(n-1) < \ln n$ : le point critique intérieur est le maximum global — l’ignorance uniforme maximise l’entropie.

(c) Minimiser $(x-1)^2 + y^2$ sur l’ellipse compacte : $(2(x{-}1), 2y) = \lambda(\frac x2, 2y)$. Si $y \neq 0$ : $\lambda = 1$, alors $2(x - 1) = \frac x2$ donne $x = \frac43$, $y^2 = 1 - \frac49 = \frac59$ : distance$^2$ $= \frac19 + \frac59 = \frac23$. Si $y = 0$ : $x = \pm2$, distances $1$ et $3$. Points les plus proches : $\bigl(\frac43, \pm\frac{\sqrt5}3\bigr)$, à distance $\sqrt{2/3} < 1$. L’équation des multiplicateurs dit que le segment de $(1,0)$ au point le plus proche est parallèle à $\nabla$(ellipse) : il rencontre l’ellipse orthogonalement, comme la géométrie l’exige.

Solution de Exercice 20.8.

Récurrence sur $n$ ; $n = 1$ trivial. La fonction de Rayleigh $f(x) = \langle Ax, x\rangle$ atteint son maximum $\lambda_1$ sur le compact $S^{n-1}$ en un certain $v_1$ ; Lagrange (Théorème 20.7, sphère comme ensemble de niveau) donne $2Av_1 = 2\lambda v_1$, et $\lambda = \langle Av_1, v_1\rangle = \lambda_1$. L’hyperplan $v_1^\perp$ est $A$-invariant (symétrie : $\langle Av, v_1\rangle = \langle v, Av_1\rangle = 0$) ; la restriction est symétrique, et la récurrence fournit une base propre orthonormée $v_2, \dots, v_n$ de $v_1^\perp$ avec valeurs propres $\lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n$, chacune le maximum de $f$ sur la sphère de l’orthocomplément restant. Courant–Fischer suit exactement comme dans l’Exercice 15.8 : développer $x = \sum c_iv_i$ ; sur un espace-test de dimension $k$ intersecter avec $\operatorname{Vect}(v_k, \dots, v_n)$ (comptage de dimensions dans $\R^n$) pour obtenir $\min \leq \lambda_k$, et $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ réalise $\min = \lambda_k$.

Solution de Exercice 20.9.

Homothétier chaque colonne en norme $1$ divise $\abs{\det}$ par $\prod\norm{c_i}$ : il suffit de prouver $\abs{\det M} \leq 1$ quand toutes les colonnes sont unitaires, avec égalité ssi $M \in O_n$. La fonction $\det$ est continue sur le compact $(S^{n-1})^n$ : elle atteint un maximum $m \geq \det I = 1 > 0$ en un certain $M$. En fixant toutes les colonnes sauf la $i$-ème, $\det$ est linéaire en $c_i$ de gradient la $i$-ème colonne de $\operatorname{com}(M)$ ; Lagrange sur la $i$-ème sphère : $\operatorname{com}(M)_{\cdot i} = \lambda_i c_i$. L’identité $M^{\mathsf T}\operatorname{com}(M) = \det(M)\,I$ se lit $\langle c_j, \operatorname{com}(M)_{\cdot i}\rangle = \det(M)\,\delta_{ij}$, c’est-à-dire $\lambda_i\langle c_j, c_i\rangle = \det(M)\delta_{ij}$ ; en prenant $j = i$ : $\lambda_i = \det M = m \neq 0$, puis $j \neq i$ donne $\langle c_i, c_j\rangle = 0$ : les colonnes sont orthonormales, $M \in O_n$, $m = \abs{\det M} = 1$. Donc $\abs{\det} \leq \prod\norm{c_i}$ toujours, avec égalité exactement pour des colonnes orthogonales (remettre à l’échelle) : le volume d’un parallélépipède est maximal, pour des longueurs d’arêtes données, quand les arêtes sont perpendiculaires.

Solution de Exercice 20.10.

$y = \pm\sqrt{1 - x^2}$ fonctionne près de tout point avec $y \neq 0$ ; $x = \pm\sqrt{1 - y^2}$ près de tout point avec $x \neq 0$ ; en $(1, 0)$ : le graphe $x = \sqrt{1 - y^2}$ sur $y \in \intoo{-1}1$, qui est le Théorème 20.3(3) avec les coordonnées échangées. Une certaine permutation fonctionne toujours car la droite tangente, étant unidimensionnelle, ne peut être simultanément verticale et horizontale — mais elle peut être l’une ou l’autre, donc aucun choix fixe de coordonnée « dépendante » ne sert en tout point.

Solution de Exercice 20.11.

(a) L’application définissante $F(M) = M^{\mathsf T}M - I$ est continue : $O_n = F^{-1}(0)$ est fermé ; les colonnes d’une matrice orthogonale sont des vecteurs unitaires, donc la norme euclidienne (Frobenius) vaut exactement $\sqrt n$ : borné. Compact par Heine–Borel dans $M_n(\R) \cong \R^{n^2}$.

(b) $O_n$ est l’ensemble de niveau $F = 0$ étudié dans le chapitre : $DF(A)H = A^{\mathsf T}H + H^{\mathsf T}A$, surjective sur les matrices symétriques en chaque $A \in O_n$ (étant donné $S$ symétrique, prendre $H = \frac12AS$), donc $O_n$ est une sous-variété de dimension $n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2$ avec