Soit U⊆R2 un ouvert. Une forme différentielle de degré 1 et de classe C0 sur U est une expression ω=Pdx+Qdy avec P,Q:U→Rcontinues — formellement, une application continue de U dans le dual de R2, ω(M)=P(M)e1∗+Q(M)e2∗. Pour un arc C1γ:[a,b]→U, γ(t)=(x(t),y(t)), l’intégrale curviligne de ω le long de γ est
∫γω=∫ab(P(γ(t))x′(t)+Q(γ(t))y′(t))dt.
Les définitions s’étendent mot pour mot à R3 (formes Pdx+Qdy+Rdz) et aux arcs C1 par morceaux (somme sur les morceaux).
উদাহরণ
Exemple 20.4(Une intégrale, deux paramétrages, un piège de signe)
Calculons ∫γxdy le long du demi-cercle unité supérieur de (1,0) à (−1,0). Avec γ(t)=(cost,sint), t∈[0,π] :
∫0πcost⋅costdt=2π.
Avec le paramétrage par le graphe x↦(x,1−x2), x allant de 1 à −1 (attention au sens !) :
∫1−1x⋅1−x2−xdx=∫−111−x2x2dx=2π
(x=sinu le ramène à une intégrale de Wallis). Même valeur, comme le garantit la Proposition 20.2 — mais seulement parce que les deux parcours vont de (1,0) à (−1,0) ; inverser le sens de parcours change le signe. Refermer le chemin le long de l’axe des x (où dy=0) n’ajoute rien, et le total 2π est l’aire du demi-disque : la première occurrence des formules aire-bord de Green-Riemann ci-dessous.
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