Qu'est-ce que « Fraction » ? — Mathématiques

Définition 24.1 Mathématiques du primaire et du collège · Chapitre 24 — Premières fractions

On découpe un tout en parts égales et on en prend certaines — c’est une fraction :

\frac{3}{4} \quad \begin{array}{l} 3 \text{~: combien de parts sont prises (le \emph{numérateur})~;}\\ 4 \text{~: en combien de parts égales le tout est découpé (le \emph{dénominateur}).} \end{array}

$\frac12$ est une moitié, $\frac13$ un tiers, $\frac14$ un quart, $\frac{1}{10}$ un dixième.

Lire des fractions sur des images. Les parts doivent être égales : trois morceaux inégaux ne font pas des tiers ! — Lire des fractions sur des images. Les parts doivent être *égales* : trois morceaux inégaux ne font pas des tiers !

Exemples

Exemple 24.2 (Fractions d’une collection)

$\frac13$ de $12$ billes : on partage les $12$ billes en $3$ groupes égaux de $4$ ; un groupe est $\frac13$ , donc $\frac13$ de $12$ est $4$ — et $\frac23$ de $12$ est deux groupes, $8$ .

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Définition 39.1 Mathématiques du primaire et du collège · Chapitre 39 — Fractions : premiers pas

On découpe une unité en $b$ parts égales, et on en prend $a$ : la quantité obtenue est la fraction

\frac{a}{b} \qquad \begin{array}{l} a \text{~: le \emph{numérateur} --- combien de parts on prend~;}\\ b \text{~: le \emph{dénominateur} --- en combien de parts l'unité est découpée.} \end{array}

Deux fractions de la même barre. Le dénominateur dit à quel point le découpage est fin, le numérateur combien on en prend.

Exemples

Exemple 39.2

Une fraction peut être plus grande que $1$ : $\frac74$ signifie sept quarts — une unité entière (quatre quarts) et trois quarts de plus :

\frac74 = 1 + \frac34 .

Exemple 39.5

Trois pizzas pour quatre personnes : chacune obtient $\frac34$ d’une pizza. Vérification avec le théorème : $4$ parts de $\frac34$ font $\frac34 \times 4 = 3$ pizzas. Certaines fractions sont des nombres décimaux ( $\frac34 = 0.75$ ), d’autres non : $\frac13 = 0.333\dots$ ne s’arrête jamais. La fraction est la valeur exacte ; $0.33$ n’est qu’une approximation.

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Définition 63.1 Mathématiques du primaire et du collège · Chapitre 63 — Fractions et puissances

Une fraction $\dfrac ab$ (avec $b \neq 0$ ) est le quotient de $a$ par $b$ . Deux fractions sont égales lorsque l’une s’obtient de l’autre en multipliant (ou divisant) numérateur et dénominateur par le même nombre non nul :

\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).

Pourquoi un dénominateur commun : découper les deux entiers en 12 cases égales rend les fractions comparables et additionnables — ensemble, 10 + 9 = 19 douzièmes. — Pourquoi un dénominateur commun : découper les deux entiers en $12$ cases égales rend les fractions comparables et additionnables — ensemble, $10 + 9 = 19$ douzièmes.

Exemples

Exemple 63.2

Simplifier $\dfrac{42}{56}$ étape par étape :

\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(Au Chapitre 64 le plus grand commun diviseur fera cela en une seule étape.)

Exemple 63.4

Calculer $\dfrac56 + \dfrac34$ . Un dénominateur commun de $6$ et $4$ est $12$ :

\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

Calculer $2 - \dfrac37$ . Écrire $2$ comme fraction sur $7$ :

2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.

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Exemples

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