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गणित · शब्दावली

भिन्न क्या है?

परिभाषा 24.1 प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · अध्याय 24 — पहली भिन्नें

किसी पूरे को बराबर हिस्सों में काटो और कुछ हिस्से लो — वही एक भिन्न है:

343: कितने हिस्से लिए गए (अंश);4: पूरे को कितने बराबर हिस्सों में काटा गया (हर)।\frac{3}{4} \quad \begin{array}{l} 3 \text{: कितने हिस्से लिए गए (\emph{अंश});}\\ 4 \text{: पूरे को कितने बराबर हिस्सों में काटा गया (\emph{हर})।} \end{array}

12\frac12 आधा है, 13\frac13 तिहाई, 14\frac14 चौथाई, 110\frac{1}{10} दसवाँ भाग।

चित्रों पर भिन्नें पढ़ना। हिस्से बराबर होने चाहिए: तीन असमान टुकड़े तिहाइयाँ नहीं बनाते!
चित्रों पर भिन्नें पढ़ना। हिस्से बराबर होने चाहिए: तीन असमान टुकड़े तिहाइयाँ नहीं बनाते!

उदाहरण

उदाहरण 24.2 (संग्रह की भिन्न)

1212 कंचों का 13\frac13: 1212 कंचों को 44-44 के 33 बराबर समूहों में बाँटो; एक समूह 13\frac13 है, इसलिए 1212 का 13\frac13, 44 है — और 1212 का 23\frac23 दो समूह, यानी 88।

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परिभाषा 39.1 प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · अध्याय 39 — भिन्नें: पहले कदम

किसी इकाई को bb बराबर हिस्सों में काटो और उनमें से aa हिस्से लो: जो राशि मिलती है वही भिन्न है

aba: अंश — हम कितने हिस्से लेते हैं;b: हर — इकाई कितने हिस्सों में काटी गई है।\frac{a}{b} \qquad \begin{array}{l} a \text{: \emph{अंश} --- हम कितने हिस्से लेते हैं;}\\ b \text{: \emph{हर} --- इकाई कितने हिस्सों में काटी गई है।} \end{array}
एक ही पट्टी की दो भिन्नें। हर बताता है कि कटाई कितनी महीन है, अंश बताता है कि हम कितना लेते हैं।
एक ही पट्टी की दो भिन्नें। हर बताता है कि कटाई कितनी महीन है, अंश बताता है कि हम कितना लेते हैं।

उदाहरण

उदाहरण 39.2

भिन्न 11 से बड़ी भी हो सकती है: 74\frac74 का मतलब है सात चौथाई — एक पूरी इकाई (चार चौथाई) और तीन चौथाई और:

74=1+34.\frac74 = 1 + \frac34 .

उदाहरण 39.5

तीन पिज़्ज़े चार लोगों के लिए: हर एक को पिज़्ज़े का 34\frac34 मिलता है। प्रमेय से जाँचो: 34\frac34 के 44 हिस्से मिलकर 34×4=3\frac34 \times 4 = 3 पिज़्ज़े बनाते हैं। कुछ भिन्नें दशमलव संख्याएँ होती हैं (34=0.75\frac34 = 0.75), कुछ नहीं: 13=0.333…\frac13 = 0.333\dots कभी नहीं रुकता। भिन्न ही ठीक मान है; 0.330.33 केवल एक सन्निकटन है।

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परिभाषा 63.1 प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · अध्याय 63 — भिन्नें और घातें

भिन्न ab\dfrac ab (b≠0b \neq 0 के साथ) aa में bb का भागफल है। दो भिन्नें तब बराबर होती हैं जब एक को दूसरी से, अंश और हर दोनों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा (या भाग) करके पाया जा सके:

ab=a×kb×k(k≠0).\frac ab = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad (k \neq 0).
उभयनिष्ठ हर क्यों: दोनों पूरों को 12 बराबर ख़ानों में काट देने पर भिन्नें तुलने और जुड़ने लायक़ हो जाती हैं — दोनों मिलकर 10 + 9 = 19 बारहवें भाग।
उभयनिष्ठ हर क्यों: दोनों पूरों को 1212 बराबर ख़ानों में काट देने पर भिन्नें तुलने और जुड़ने लायक़ हो जाती हैं — दोनों मिलकर 10+9=1910 + 9 = 19 बारहवें भाग।

उदाहरण

उदाहरण 63.2

4256\dfrac{42}{56} को क़दम दर क़दम सरल करो:

4256=42÷256÷2=2128=21÷728÷7=34.\frac{42}{56} = \frac{42 \div 2}{56 \div 2} = \frac{21}{28} = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac34 .

(अध्याय 64 में महत्तम समापवर्तक यही काम एक ही क़दम में कर देगा।)

उदाहरण 63.4

56+34\dfrac56 + \dfrac34 निकालो। 66 और 44 का एक उभयनिष्ठ हर 1212 है:

56+34=5×26×2+3×34×3=1012+912=1912.\frac56 + \frac34 = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} + \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{10}{12} + \frac{9}{12} = \frac{19}{12}.

2−372 - \dfrac37 निकालो। 22 को 77 के ऊपर भिन्न की तरह लिखो:

2−37=147−37=117.2 - \frac37 = \frac{14}{7} - \frac37 = \frac{11}{7}.
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