Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

24Premières fractions

La moitié d’une pomme, un quart d’heure, les trois quarts de la classe : les fractions nomment les morceaux des choses. Ce chapitre introduit l’écriture $\frac{a}{b}$ , lit les fractions sur des images et des droites graduées, et compare les plus simples. (Les fractions grandissent dans Chapitre 39.)

24.1 Nommer les morceaux

Définition 24.1 (Fraction)

On découpe un tout en parts égales et on en prend certaines — c’est une fraction :

\frac{3}{4} \quad \begin{array}{l} 3 \text{~: combien de parts sont prises (le \emph{numérateur})~;}\\ 4 \text{~: en combien de parts égales le tout est découpé (le \emph{dénominateur}).} \end{array}

$\frac12$ est une moitié, $\frac13$ un tiers, $\frac14$ un quart, $\frac{1}{10}$ un dixième.

Lire des fractions sur des images. Les parts doivent être égales : trois morceaux inégaux ne font pas des tiers ! — Lire des fractions sur des images. Les parts doivent être *égales* : trois morceaux inégaux ne font pas des tiers !

Exemple 24.2 (Fractions d’une collection)

$\frac13$ de $12$ billes : on partage les $12$ billes en $3$ groupes égaux de $4$ ; un groupe est $\frac13$ , donc $\frac13$ de $12$ est $4$ — et $\frac23$ de $12$ est deux groupes, $8$ .

24.2 Fractions sur la droite graduée

Méthode 24.3 (Placer $\frac{a}{b}$ )

On découpe chaque unité de la droite en $b$ pas égaux ; depuis $0$ , on avance de $a$ pas. Si $a$ est plus grand que $b$ , le parcours dépasse $1$ : les fractions peuvent être plus grandes qu’un tout !

La droite découpée en quarts : 2/4 tombe au même point que 1/2 ; 5/4 est un quart après 1 ; 11/4 est 2 et 3/4. — La droite découpée en quarts : $\frac24$ tombe au même point que $\frac12$ ; $\frac54$ est un quart après $1$ ; $\frac{11}{4}$ est $2$ et $\frac34$ .

Exemple 24.4 (Entiers cachés dans les fractions)

$\frac44 = 1$ (quatre quarts font le tout) ; $\frac82 = 4$ ; $\frac{12}{3} = 4$ . Et $\frac74$ est $1 + \frac34$ : un tout et trois quarts de plus.

24.3 Comparer et additionner des fractions simples

Proposition 24.5 (Même dénominateur)

Avec le même dénominateur, les parts ont la même taille — on les compte donc simplement :

\frac{2}{8} < \frac{5}{8}, \qquad \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}.

Comparer à un tout est aussi facile : $\frac{5}{8} < 1 < \frac{9}{8}$ (moins, puis plus, que $8$ huitièmes).

Pourquoi, sur un dessin. Colorier $3$ huitièmes puis $4$ huitièmes de plus de la même barre colore $7$ huitièmes en tout. ∎

Exemple 24.6 (Dénominateurs différents, même point)

Sur la droite graduée, $\frac12$ , $\frac24$ et $\frac{5}{10}$ tombent tous au même point : ce sont trois noms du même nombre. Découper chaque moitié en deux donne des quarts ; en cinq, des dixièmes. (La règle générale est dans Chapitre 39.)

Exemple 24.7 (Quarts d’heure)

Une heure a $60$ minutes, donc un quart d’heure est $60 \div 4 = 15$ minutes, et trois quarts d’heure sont $45$ minutes. « Deux heures et demie » est $\frac12$ heure après deux heures.

24.4 Exercices

Exercice 24.1 ★

Écrire la fraction montrée : une pizza coupée en $6$ avec $5$ parts restantes ; une tablette de chocolat de $8$ carrés avec $3$ mangés (fraction mangée) ; un drapeau divisé en $3$ bandes verticales égales, $1$ colorée.

Solution

Solution de Exercice 24.1.

Pizza : $\frac56$ restants. Chocolat : $\frac38$ mangés. Drapeau : $\frac13$ coloré.

Exercice 24.2 ★

Dessiner une barre découpée en $5$ parts égales et colorier $\frac35$ . Puis colorier $\frac{2}{5}$ d’une autre barre égale. Quel coloriage est le plus grand ?

Solution

Solution de Exercice 24.2.

$\frac35$ colore trois parts, $\frac25$ seulement deux : $\frac35$ est le plus grand coloriage.

Exercice 24.3 ★

Calculer : $\frac12$ de $18$ ; $\frac14$ de $20$ ; $\frac13$ de $21$ ; $\frac34$ de $20$ (trois groupes d’un quart).

Solution

Solution de Exercice 24.3.

Moitié de $18$ : $9$ . Quart de $20$ : $5$ . Tiers de $21$ : $7$ . $\frac34$ de $20$ : trois quarts, $3 \times 5 = 15$ .

Exercice 24.4 ★

Placer sur une droite graduée découpée en tiers : $\frac13$ ; $\frac33$ ; $\frac53$ ; $2$ . Quelle fraction tombe exactement sur $2$ ?

Solution

Solution de Exercice 24.4.

$\frac13$ : un pas ; $\frac33$ : sur $1$ ; $\frac53$ : deux pas après $1$ . La fraction qui tombe exactement sur $2$ est $\frac63$ .

Exercice 24.5 ★

Recopier et compléter avec $<$ , $>$ ou $=$ :

\frac38 \;?\; \frac68, \qquad \frac55 \;?\; 1, \qquad \frac74 \;?\; 1, \qquad \frac12 \;?\; \frac24 .

Solution

Solution de Exercice 24.5.

$\frac38 < \frac68$ ; $\frac55 = 1$ ; $\frac74 > 1$ ; $\frac12 = \frac24$ .

Exercice 24.6 ★

Calculer : $\frac26 + \frac36$ ; $\frac58 - \frac28$ ; $\frac14 + \frac24$ ; $1 - \frac13$ (combien de tiers font $1$ ?).

Solution

Solution de Exercice 24.6.

$\frac26 + \frac36 = \frac56$ ; $\frac58 - \frac28 = \frac38$ ; $\frac14 + \frac24 = \frac34$ ; $1 = \frac33$ , donc $1 - \frac13 = \frac23$ .

Exercice 24.7 ★

Écrire comme un entier plus une fraction plus petite que $1$ : $\frac54$ ; $\frac73$ ; $\frac{9}{2}$ .

Solution

Solution de Exercice 24.7.

$\frac54 = 1 + \frac14$ ; $\frac73 = 2 + \frac13$ ; $\frac92 = 4 + \frac12$ .

Exercice 24.8 ★

Combien de minutes font : une demi-heure ; un quart d’heure ; trois quarts d’heure ; $\frac13$ d’heure ?

Solution

Solution de Exercice 24.8.

Demi-heure : $30$ min. Quart : $15$ min. Trois quarts : $45$ min. Tiers : $20$ min.

Exercice 24.9 ★

Dans une classe de $24$ élèves, $\frac14$ portent des lunettes. Combien d’élèves portent des lunettes ? Combien n’en portent pas ?

Solution

Solution de Exercice 24.9.

$\frac14$ de $24$ fait $6$ élèves avec lunettes ; $24 - 6 = 18$ sans.

Exercice 24.10 ★★

Nina a mangé $\frac38$ d’une pizza et Sam $\frac48$ de la même pizza. Quelle fraction ont-ils mangée ensemble ? Quelle fraction reste-t-il ? Qui a mangé le plus ?

Solution

Solution de Exercice 24.10.

Ensemble : $\frac38 + \frac48 = \frac78$ . Reste : $\frac18$ . Sam a mangé plus ( $4$ huitièmes contre $3$ ).

Exercice 24.11 ★★

Vrai ou faux, avec un dessin ou un exemple : « $\frac12$ d’une petite pizza plus petit que $\frac14$ d’une très grande pizza est possible ». Que doit-on toujours savoir avant de comparer deux fractions de quelque chose ?

Solution

Solution de Exercice 24.11.

C’est bien possible : la moitié d’une petite pizza peut être moins de nourriture qu’un quart d’une géante. Les fractions comparent des parts du même tout ; avant de comparer $\frac12$ et $\frac14$ « de quelque chose », il faut savoir que les deux « quelque chose » sont égaux.