Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

39Fractions : premiers pas

Partager équitablement trois pizzas entre quatre personnes donne à chacun … pas un nombre entier de pizzas. Les fractions sont les nombres inventés pour le partage. Ce chapitre construit le tableau : une fraction comme part d’un tout, comme point sur la droite graduée, et comme résultat exact d’une division.

39.1 Ce qu’une fraction signifie

Définition 39.1 (Fraction)

On découpe une unité en $b$ parts égales, et on en prend $a$ : la quantité obtenue est la fraction

\frac{a}{b} \qquad \begin{array}{l} a \text{~: le \emph{numérateur} --- combien de parts on prend~;}\\ b \text{~: le \emph{dénominateur} --- en combien de parts l'unité est découpée.} \end{array}

Deux fractions de la même barre. Le dénominateur dit à quel point le découpage est fin, le numérateur combien on en prend.

Exemple 39.2

Une fraction peut être plus grande que $1$ : $\frac74$ signifie sept quarts — une unité entière (quatre quarts) et trois quarts de plus :

\frac74 = 1 + \frac34 .

Proposition 39.3 (Fractions sur la droite graduée)

Pour placer $\frac ab$ sur la droite graduée, on découpe chaque intervalle unitaire en $b$ parts égales et on compte $a$ parts depuis $0$ .

La droite graduée en quarts : 3/4 est avant 1, 7/4 est entre 1 et 2, et 22/4 = 5 + 2/4 est à mi-chemin entre 5 et 6. — La droite graduée en quarts : $\frac34$ est avant $1$ , $\frac74$ est entre $1$ et $2$ , et $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ est à mi-chemin entre $5$ et $6$ .

Théorème 39.4 (Une fraction est une division)

La fraction $\frac ab$ est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ :

\frac ab \times b = a .

Autrement dit, $\frac ab$ est le quotient exact de $a$ par $b$ — même quand la division « ne tombe pas juste ».

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 39.5

Trois pizzas pour quatre personnes : chacune obtient $\frac34$ d’une pizza. Vérification avec le théorème : $4$ parts de $\frac34$ font $\frac34 \times 4 = 3$ pizzas. Certaines fractions sont des nombres décimaux ( $\frac34 = 0.75$ ), d’autres non : $\frac13 = 0.333\dots$ ne s’arrête jamais. La fraction est la valeur exacte ; $0.33$ n’est qu’une approximation.

39.2 Fractions égales

Proposition 39.6 (Fractions équivalentes)

Une fraction ne change pas lorsque son numérateur et son dénominateur sont tous deux multipliés (ou divisés) par le même nombre non nul :

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Idée de démonstration. Découper chaque part du partage en $k$ plus petites pièces multiplie à la fois le nombre de pièces prises et le nombre total de pièces par $k$ , mais la quantité prise reste la même. Un dessin le dit le mieux : ∎

2/3 = 4/6 : découper chaque tiers en deux double les comptes, en haut et en bas, sans changer la quantité coloriée. — $\frac23 = \frac46$ : découper chaque tiers en deux double les comptes, en haut et en bas, sans changer la quantité coloriée.

Méthode 39.7 (Simplifier une fraction)

Chercher un nombre divisant le numérateur et le dénominateur, et diviser les deux. Répéter jusqu’à ce qu’il ne reste plus de diviseur commun :

\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.

39.3 Prendre une fraction d’une quantité

Méthode 39.8 (Fraction d’une quantité)

Pour calculer $\frac ab$ d’une quantité, diviser la quantité par $b$ (une part), puis multiplier par $a$ (le nombre de parts) :

\frac ab \text{ de } Q = (Q \div b) \times a .

(Multiplier d’abord par $a$ puis diviser par $b$ donne le même résultat — choisir l’ordre qui rend les nombres plus jolis.)

Exemple 39.9

Calculer $\frac35$ de $40$ euros, étape par étape :

un cinquième de $40$ : $40 \div 5 = 8$ ;
trois cinquièmes : $8 \times 3 = 24$ .

Donc $\frac35$ de $40$ euros, c’est $24$ euros. Vérif. : les $\frac25$ restants font $16$ euros, et $24 + 16 = 40$ .

39.4 Exercices

Exercice 39.1 ★

Pour chaque description d’image, écrire la fraction : un gâteau découpé en $8$ parts, $3$ mangées ; une tablette de chocolat de $12$ carrés, $7$ mangés ; une tarte découpée en $6$ , les $6$ mangées.

Solution

Solution de Exercice 39.1.

Gâteau : $\frac38$ mangés. Chocolat : $\frac{7}{12}$ . Tarte : $\frac66 = 1$ (toute la tarte).

Exercice 39.2 ★

Dessiner une barre découpée en $5$ parts égales et colorier $\frac45$ . $\frac45$ est-elle plus petite ou plus grande que $1$ ? Et $\frac65$ ?

Solution

Solution de Exercice 39.2.

Quatre parts sur cinq sont coloriées. $\frac45 < 1$ (quatre parts sur cinq, c’est moins que la barre entière) ; $\frac65 > 1$ (six cinquièmes, c’est une barre entière et un cinquième de plus).

Exercice 39.3 ★

Placer sur une droite graduée en tiers : $\frac13$ ; $\frac53$ ; $2$ ; $\frac73$ . Lesquels de ces nombres sont à égale distance de $2$ ?

Solution

Solution de Exercice 39.3.

Sur la droite graduée en tiers : $\frac13$ est une graduation après $0$ ; $\frac53$ est une graduation avant $2$ (car $2 = \frac63$ ) ; $\frac73$ est une graduation après $2$ . Donc $\frac53$ et $\frac73$ sont tous deux à distance $\frac13$ de $2$ .

Exercice 39.4 ★

Écrire chaque fraction comme un entier plus une fraction plus petite que $1$ (comme dans $\frac74 = 1 + \frac34$ ) :

\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad \frac{25}{8} .

Solution

Solution de Exercice 39.4.

$\frac94 = 2 + \frac14$ ; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$ ; $\frac{12}{6} = 2$ (exactement) ; $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$ .

Exercice 39.5 ★

Compléter pour que les fractions soient égales :

\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad \frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad \frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad \frac{?}{6} = \frac{10}{12}.

Solution

Solution de Exercice 39.5.

$\frac23 = \frac{8}{12}$ (multiplier par $4$ ) ; $\frac{15}{20} = \frac34$ (diviser par $5$ ) ; $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ (multiplier par $3$ ) ; $\frac56 = \frac{10}{12}$ (diviser par $2$ ).

Exercice 39.6 ★

Simplifier au maximum : $\dfrac{6}{8}$ ; $\dfrac{15}{25}$ ; $\dfrac{18}{24}$ ; $\dfrac{35}{7}$ .

Solution

Solution de Exercice 39.6.

$\frac68 = \frac34$ ; $\frac{15}{25} = \frac35$ ; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$ ; $\frac{35}{7} = 5$ (un entier).

Exercice 39.7 ★

Calculer : $\frac12$ de $86$ ; $\frac34$ de $60$ ; $\frac25$ de $35$ ; $\frac{7}{10}$ de $250$ .

Solution

Solution de Exercice 39.7.

$\frac12$ de $86$ : $86 \div 2 = 43$ .

$\frac34$ de $60$ : $60 \div 4 = 15$ , puis $15 \times 3 = 45$ .

$\frac25$ de $35$ : $35 \div 5 = 7$ , puis $7 \times 2 = 14$ .

$\frac{7}{10}$ de $250$ : $250 \div 10 = 25$ , puis $25 \times 7 = 175$ .

Exercice 39.8 ★

Laquelle est la plus grande : $\frac12$ ou $\frac13$ (du même gâteau) ? $\frac25$ ou $\frac35$ ? $\frac34$ ou $\frac78$ (écrire les deux avec le dénominateur $8$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 39.8.

$\frac12 > \frac13$ : les moitiés sont des parts plus grandes que les tiers. $\frac35 > \frac25$ : mêmes parts, plus d’entre elles. $\frac34 = \frac68 < \frac78$ : sept huitièmes battent six huitièmes.

Exercice 39.9 ★★

Donner la valeur décimale des fractions qui en ont une, et dire laquelle n’en a pas : $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac13$ ; $\frac{7}{10}$ ; $\frac{9}{4}$ .

Solution

Solution de Exercice 39.9.

$\frac12 = 0.5$ ; $\frac34 = 0.75$ ; $\frac{7}{10} = 0.7$ ; $\frac94 = 2.25$ . L’intrus est $\frac13 = 0.333\dots$ , dont l’écriture décimale ne s’arrête jamais : ce n’est pas un nombre décimal.

Exercice 39.10 ★★

Une classe a $28$ élèves. Les trois quarts viennent à l’école en bus, et le reste à pied. Combien d’élèves viennent à pied ? Résoudre étape par étape, et vérifier que les tailles des deux groupes additionnent $28$ .

Solution

Solution de Exercice 39.10.

Usagers du bus : $\frac34$ de $28$ : $28 \div 4 = 7$ , puis $7 \times 3 = 21$ élèves. À pied : $28 - 21 = 7$ élèves (c’est le quart restant : $28 \div 4 = 7$ ). Vérif. : $21 + 7 = 28$ .

Exercice 39.11 ★★

Léo a dépensé $\frac23$ de ses économies pour un jeu qui a coûté $18$ euros. Combien d’argent Léo avait-il avant ? (Un tiers de ses économies est la moitié de $18$ … réfléchir pourquoi, ou trouver d’abord la taille d’une part.)

Solution

Solution de Exercice 39.11.

Les deux tiers des économies valent $18$ euros, donc un tiers vaut $18 \div 2 = 9$ euros, et les économies entières (trois tiers) étaient $9 \times 3 = 27$ euros. Vérif. : $\frac23$ de $27$ est $18$ .

Exercice 39.12 ★★★

Un réservoir est rempli aux $\frac58$ de sa capacité. Après avoir utilisé $10$ litres, il est à moitié plein. Quelle est la capacité du réservoir ? (Quelle fraction du réservoir les $10$ litres représentent-ils ?)

Solution

Solution de Exercice 39.12.

L’eau utilisée est passée de $\frac58$ à $\frac48$ (une moitié, c’est quatre huitièmes) du réservoir : les $10$ litres représentent $\frac58 - \frac48 = \frac18$ de la capacité. Donc le réservoir plein tient $10 \times 8 = 80$ litres. Vérif. : $\frac58$ de $80$ est $50$ , moins $10$ laisse $40$ , qui est bien la moitié de $80$ .

39.5 Problème : la tablette de chocolat qu’on ne finit jamais

Problème 39.1

Devoir maison — des moitiés de moitiés : la somme $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ grimpe vers $1$ sans jamais l’atteindre

Prendre une tablette de chocolat. En manger la moitié. Puis manger la moitié de ce qui reste. Puis encore la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite. Deux choses semblent vraies en même temps : on ne finit jamais la tablette (il reste toujours quelque chose), et pourtant on la mange presque entièrement. Ce problème transforme ces deux impressions en énoncés exacts sur les fractions — et croise en chemin un coureur de la Grèce antique et un partage qui se règle avec un couteau ne sachant que couper en deux.

Partie I — Des moitiés de moitiés. La tablette est un rectangle de $16$ carrés égaux.

Première bouchée : on mange la moitié de la tablette. Cela fait combien de carrés ? Écrire cette bouchée comme une fraction de la tablette de deux façons, avec le dénominateur $2$ puis avec le dénominateur $16$ (Proposition 39.6).
Deuxième bouchée : la moitié de ce qui reste. Combien de carrés ? Montrer, sur le dessin ou avec des fractions égales, que cette bouchée vaut $\frac14$ de la tablette entière : la moitié d’une moitié est un quart.
Troisième et quatrième bouchées, même règle : donner chacune en carrés et en fraction de la tablette. Qu’arrive-t-il au dénominateur d’une bouchée à la suivante ?
Après les quatre bouchées, combien de carrés ont été mangés en tout ? Quelle fraction de la tablette cela représente-t-il, et quelle fraction reste-t-il ?
La question 4 s’écrit, en seizièmes :

$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} .$

Vérifier chacune des quatre réécritures ( $\frac12 = \frac{8}{16}$ , et ainsi de suite).

Partie II — L’escalier vers $1$ . Pour continuer à mordre, imaginer une tablette plus fine, de $64$ carrés.

Donner la taille des six premières bouchées, en carrés ( $32$ , puis …), et vérifier qu’après la sixième bouchée il reste exactement un carré. Quelle fraction de la tablette reste-t-il ?
Après chaque bouchée, quelle fraction de la tablette reste-t-il ? Écrire la liste ( $\frac12$ , $\frac14$ , …) jusqu’à la sixième bouchée, et décrire la régularité. Si un couteau imaginaire pouvait couper en deux jusqu’au dernier carré, que resterait-il après une septième bouchée ?
Expliquer pourquoi le total mangé ne peut jamais atteindre $1$ , quel que soit le nombre de bouchées. (Comparer avec les vingt neufs du Problème 38.1 : est-ce la même histoire ?)
Pourtant le total dépasse n’importe quel objectif inférieur à $1$ . Un camarade nous met au défi de manger plus des $\frac{99}{100}$ de la tablette. Lequel est le plus petit, $\frac{1}{128}$ ou $\frac{1}{100}$ — et après quelle bouchée le défi est-il gagné ?
Sur une droite graduée de $0$ à $1$ en seizièmes, placer les totaux mangés après chacune des quatre premières bouchées : $\frac12$ , $\frac34$ , $\frac78$ , $\frac{15}{16}$ . Où tombe chaque nouveau total, par rapport au précédent et par rapport à $1$ ?

Partie III — Le coureur de Zénon, et un couteau qui ne sait que couper en deux.

Il y a vingt-quatre siècles, le philosophe grec Zénon racontait ceci : pour atteindre un mur, un coureur doit d’abord parcourir la moitié de la distance, puis la moitié de ce qui reste, puis encore la moitié de ce qui reste … « donc le coureur n’atteint jamais le mur ! » À l’aide des questions 8 et 9, dire ce qui est juste dans l’histoire de Zénon, et où se cache le piège. (Le coureur a-t-il vraiment besoin d’un temps infini pour franchir toutes ces étapes ?)
Le partage : partager équitablement $15$ tablettes identiques entre $16$ enfants, en n’utilisant que des coupes en deux (d’une tablette, d’une demi-tablette, d’un quart de tablette …). Décrire les coupes : combien de tablettes sont coupées en deux, combien en quatre, en huit, en seize, pour que chaque enfant reçoive un morceau de chaque taille ?
Vérifier ce partage : écrire la part de chaque enfant comme une somme de fractions, la calculer en seizièmes, et vérifier que les $16$ parts épuisent exactement les $15$ tablettes.
Dans la classe voisine, $7$ tablettes sont partagées équitablement entre $8$ enfants. Quel enfant reçoit le plus de chocolat — l’un des $16$ , ou l’un des $8$ ? (Écrire les deux parts avec le dénominateur $16$ , Exercice 39.8.)
Le bouquet final : un camarade prétend qu’avec une infinité de bouchées on mangerait exactement toute la tablette. Dessiner un carré et colorier les bouchées à l’intérieur : la moitié du carré, puis un quart, puis un huitième … Que constate-t-on sur le coin non colorié ? Énoncer soigneusement les deux faits vrais de tout ce problème : ce qui reste après tout nombre fini de bouchées, et à quel point ce reste devient petit. (Ce que signifie exactement une « somme infinie » est une histoire pour le volume suivant.)

Solution

Solution de Problème 39.1.

1. La moitié de $16$ carrés, c’est $8$ carrés. En fraction : $\frac12$ de la tablette, et comme chaque moitié fait $8$ carrés sur $16$ , aussi $\frac{8}{16}$ — la même fraction écrite de deux façons (Proposition 39.6).

2. La moitié des $8$ carrés restants, c’est $4$ carrés, soit $\frac{4}{16}$ de la tablette. En simplifiant par $4$ : $\frac{4}{16} = \frac14$ . Sur le dessin : couper en deux la moitié restante donne deux quarts de la tablette de départ — la moitié d’une moitié est un quart.

3. Troisième bouchée : la moitié de $4$ carrés, soit $2$ carrés, c’est-à-dire $\frac{2}{16} = \frac18$ de la tablette. Quatrième bouchée : $1$ carré, c’est-à-dire $\frac{1}{16}$ . D’une bouchée à la suivante, le dénominateur double : $2$ , $4$ , $8$ , $16$ .

4. Mangés : $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ carrés sur $16$ , soit $\frac{15}{16}$ de la tablette. Reste : $1$ carré, $\frac{1}{16}$ .

5. $\frac12 = \frac{8}{16}$ (multiplier en haut et en bas par $8$ ), $\frac14 = \frac{4}{16}$ (par $4$ ), $\frac18 = \frac{2}{16}$ (par $2$ ), et $\frac{1}{16}$ reste tel quel. En comptant les seizièmes : $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ , donc le total vaut $\frac{15}{16}$ .

6. Bouchées : $32$ , $16$ , $8$ , $4$ , $2$ , $1$ carrés. Total mangé : $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ carrés, il reste donc $1$ carré : $\frac{1}{64}$ de la tablette.

7. Après chaque bouchée il reste

\frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac{1}{16},\quad \frac{1}{32},\quad \frac{1}{64} :

le reste est divisé par deux à chaque fois — son dénominateur double. Une septième bouchée, imaginaire, laisserait $\frac{1}{128}$ .

8. Chaque bouchée ne mange que la moitié de ce qui reste : l’autre moitié du reste est donc toujours là. Après un nombre quelconque de bouchées, il reste toujours quelque chose. Le total mangé est donc toujours inférieur à $1$ — exactement comme les vingt neufs du Problème 38.1, qui s’approchent indéfiniment de $3$ sans l’atteindre.

9. Les deux fractions ont le numérateur $1$ , et couper en $128$ parts donne des parts plus petites que couper en $100$ : donc $\frac{1}{128} < \frac{1}{100}$ . Après la septième bouchée, le reste vaut $\frac{1}{128}$ , donc la part mangée dépasse $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$ : le défi est gagné à la septième bouchée.

10. En seizièmes, les totaux sont $\frac{8}{16}$ , $\frac{12}{16}$ , $\frac{14}{16}$ , $\frac{15}{16}$ . Chaque nouveau total tombe exactement au milieu entre le total précédent et $1$ : l’escalier réduit de moitié, à chaque marche, la distance qui lui reste jusqu’à $1$ , sans jamais poser le pied dessus.

11. Ce qui est juste : à chaque étape de la description de Zénon, il reste bel et bien une distance (question 8) — la liste des étapes ne s’arrête jamais. Le piège : les étapes deviennent extrêmement courtes, en distance et en durée ; le coureur ne passe pas le même temps sur chacune. Décrire la course en une infinité de morceaux de plus en plus petits ne rend pas la course elle-même sans fin : le coureur atteint le mur, et la question 9 montre que la description dépasse tout point situé avant lui.

12. Couper $8$ tablettes en deux : $16$ demi-morceaux. Couper $4$ tablettes en quatre : $16$ quarts. Couper $2$ tablettes en huit : $16$ huitièmes. Couper la dernière tablette en seize : $16$ petits morceaux. Cela utilise $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ tablettes, et chaque enfant reçoit un morceau de chaque taille.

13. La part de chaque enfant vaut

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}

de tablette (question 5). Seize parts pareilles font $16 \times \frac{15}{16} = 15$ tablettes (Théorème 39.4) : exactement ce qui a été coupé, sans rien en trop — un partage équitable de $15$ tablettes entre $16$ enfants, rien qu’en coupant en deux.

14. Les voisins reçoivent $\frac78$ de tablette chacun. Avec le dénominateur $16$ : $\frac78 = \frac{14}{16}$ , alors que nos enfants reçoivent $\frac{15}{16}$ . Un enfant des $16$ reçoit donc davantage : $\frac{15}{16} > \frac{14}{16}$ , d’un seizième de tablette.

15. Sur le dessin du carré, chaque bouchée coloriée remplit la moitié du coin encore blanc, et ce coin blanc ne cesse de rétrécir : après chaque bouchée il est deux fois plus petit qu’avant, et il ne disparaît jamais. Les deux faits vrais : (i) après tout nombre fini de bouchées, il reste quelque chose — le total mangé est toujours strictement inférieur à $1$ ; (ii) ce reste devient plus petit que n’importe quelle fraction que l’on voudra nommer ( $\frac{1}{100}$ , $\frac{1}{1000}$ , …), pourvu qu’on morde assez longtemps. Donner leur sens exact aux mots « la somme infinie vaut $1$ » est le travail des limites, dans le volume suivant.

Termes définis dans ce chapitre

Fraction

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