Mathématiques du primaire et du collège · Grades 1–9

39Fractions : premiers pas

Partager équitablement trois pizzas entre quatre personnes donne à chacun … pas un nombre entier de pizzas. Les fractions sont les nombres inventés pour le partage. Ce chapitre construit le tableau : une fraction comme part d’un tout, comme point sur la droite graduée, et comme résultat exact d’une division.

39.1 Ce qu’une fraction signifie

Définition 39.1 (Fraction)

On découpe une unité en $b$ parts égales, et on en prend $a$ : la quantité obtenue est la fraction

\frac{a}{b} \qquad \begin{array}{l} a \text{~: le \emph{numérateur} --- combien de parts on prend~;}\\ b \text{~: le \emph{dénominateur} --- en combien de parts l'unité est découpée.} \end{array}

Deux fractions de la même barre. Le dénominateur dit à quel point le découpage est fin, le numérateur combien on en prend.

Exemple 39.2

Une fraction peut être plus grande que $1$ : $\frac74$ signifie sept quarts — une unité entière (quatre quarts) et trois quarts de plus :

\frac74 = 1 + \frac34 .

Proposition 39.3 (Fractions sur la droite graduée)

Pour placer $\frac ab$ sur la droite graduée, on découpe chaque intervalle unitaire en $b$ parts égales et on compte $a$ parts depuis $0$ .

La droite graduée en quarts : 3/4 est avant 1, 7/4 est entre 1 et 2, et 22/4 = 5 + 2/4 est à mi-chemin entre 5 et 6. — La droite graduée en quarts : $\frac34$ est avant $1$ , $\frac74$ est entre $1$ et $2$ , et $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ est à mi-chemin entre $5$ et $6$ .

Théorème 39.4 (Une fraction est une division)

La fraction $\frac ab$ est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ :

\frac ab \times b = a .

Autrement dit, $\frac ab$ est le quotient exact de $a$ par $b$ — même quand la division « ne tombe pas juste ».

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 39.5

Trois pizzas pour quatre personnes : chacune obtient $\frac34$ d’une pizza. Vérification avec le théorème : $4$ parts de $\frac34$ font $\frac34 \times 4 = 3$ pizzas. Certaines fractions sont des nombres décimaux ( $\frac34 = 0.75$ ), d’autres non : $\frac13 = 0.333\dots$ ne s’arrête jamais. La fraction est la valeur exacte ; $0.33$ n’est qu’une approximation.

39.2 Fractions égales

Proposition 39.6 (Fractions équivalentes)

Une fraction ne change pas lorsque son numérateur et son dénominateur sont tous deux multipliés (ou divisés) par le même nombre non nul :

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Idée de démonstration. Découper chaque part du partage en $k$ plus petites pièces multiplie à la fois le nombre de pièces prises et le nombre total de pièces par $k$ , mais la quantité prise reste la même. Un dessin le dit le mieux : ∎

2/3 = 4/6 : découper chaque tiers en deux double les comptes, en haut et en bas, sans changer la quantité coloriée. — $\frac23 = \frac46$ : découper chaque tiers en deux double les comptes, en haut et en bas, sans changer la quantité coloriée.

Méthode 39.7 (Simplifier une fraction)

Chercher un nombre divisant le numérateur et le dénominateur, et diviser les deux. Répéter jusqu’à ce qu’il ne reste plus de diviseur commun :

\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.

39.3 Prendre une fraction d’une quantité

Méthode 39.8 (Fraction d’une quantité)

Pour calculer $\frac ab$ d’une quantité, diviser la quantité par $b$ (une part), puis multiplier par $a$ (le nombre de parts) :

\frac ab \text{ de } Q = (Q \div b) \times a .

(Multiplier d’abord par $a$ puis diviser par $b$ donne le même résultat — choisir l’ordre qui rend les nombres plus jolis.)

Exemple 39.9

Calculer $\frac35$ de $40$ euros, étape par étape :

un cinquième de $40$ : $40 \div 5 = 8$ ;
trois cinquièmes : $8 \times 3 = 24$ .

Donc $\frac35$ de $40$ euros, c’est $24$ euros. Vérif. : les $\frac25$ restants font $16$ euros, et $24 + 16 = 40$ .

39.4 Exercices

Exercice 39.1 ★

Pour chaque description d’image, écrire la fraction : un gâteau découpé en $8$ parts, $3$ mangées ; une tablette de chocolat de $12$ carrés, $7$ mangés ; une tarte découpée en $6$ , les $6$ mangées.

Solution

Solution de Exercice 39.1.

Gâteau : $\frac38$ mangés. Chocolat : $\frac{7}{12}$ . Tarte : $\frac66 = 1$ (toute la tarte).

Exercice 39.2 ★

Dessiner une barre découpée en $5$ parts égales et colorier $\frac45$ . $\frac45$ est-elle plus petite ou plus grande que $1$ ? Et $\frac65$ ?

Solution

Solution de Exercice 39.2.

Quatre parts sur cinq sont coloriées. $\frac45 < 1$ (quatre parts sur cinq, c’est moins que la barre entière) ; $\frac65 > 1$ (six cinquièmes, c’est une barre entière et un cinquième de plus).

Exercice 39.3 ★

Placer sur une droite graduée en tiers : $\frac13$ ; $\frac53$ ; $2$ ; $\frac73$ . Lesquels de ces nombres sont à égale distance de $2$ ?

Solution

Solution de Exercice 39.3.

Sur la droite graduée en tiers : $\frac13$ est une graduation après $0$ ; $\frac53$ est une graduation avant $2$ (car $2 = \frac63$ ) ; $\frac73$ est une graduation après $2$ . Donc $\frac53$ et $\frac73$ sont tous deux à distance $\frac13$ de $2$ .

Exercice 39.4 ★

Écrire chaque fraction comme un entier plus une fraction plus petite que $1$ (comme dans $\frac74 = 1 + \frac34$ ) :

\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad \frac{25}{8} .

Solution

Solution de Exercice 39.4.

$\frac94 = 2 + \frac14$ ; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$ ; $\frac{12}{6} = 2$ (exactement) ; $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$ .

Exercice 39.5 ★

Compléter pour que les fractions soient égales :

\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad \frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad \frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad \frac{?}{6} = \frac{10}{12}.

Solution

Solution de Exercice 39.5.

$\frac23 = \frac{8}{12}$ (multiplier par $4$ ) ; $\frac{15}{20} = \frac34$ (diviser par $5$ ) ; $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ (multiplier par $3$ ) ; $\frac56 = \frac{10}{12}$ (diviser par $2$ ).

Exercice 39.6 ★

Simplifier au maximum : $\dfrac{6}{8}$ ; $\dfrac{15}{25}$ ; $\dfrac{18}{24}$ ; $\dfrac{35}{7}$ .

Solution

Solution de Exercice 39.6.

$\frac68 = \frac34$ ; $\frac{15}{25} = \frac35$ ; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$ ; $\frac{35}{7} = 5$ (un entier).

Exercice 39.7 ★

Calculer : $\frac12$ de $86$ ; $\frac34$ de $60$ ; $\frac25$ de $35$ ; $\frac{7}{10}$ de $250$ .

Solution

Solution de Exercice 39.7.

$\frac12$ de $86$ : $86 \div 2 = 43$ .

$\frac34$ de $60$ : $60 \div 4 = 15$ , puis $15 \times 3 = 45$ .

$\frac25$ de $35$ : $35 \div 5 = 7$ , puis $7 \times 2 = 14$ .

$\frac{7}{10}$ de $250$ : $250 \div 10 = 25$ , puis $25 \times 7 = 175$ .

Exercice 39.8 ★

Laquelle est la plus grande : $\frac12$ ou $\frac13$ (du même gâteau) ? $\frac25$ ou $\frac35$ ? $\frac34$ ou $\frac78$ (écrire les deux avec le dénominateur $8$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 39.8.

$\frac12 > \frac13$ : les moitiés sont des parts plus grandes que les tiers. $\frac35 > \frac25$ : mêmes parts, plus d’entre elles. $\frac34 = \frac68 < \frac78$ : sept huitièmes battent six huitièmes.

Exercice 39.9 ★★

Donner la valeur décimale des fractions qui en ont une, et dire laquelle n’en a pas : $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac13$ ; $\frac{7}{10}$ ; $\frac{9}{4}$ .

Solution

Solution de Exercice 39.9.

$\frac12 = 0.5$ ; $\frac34 = 0.75$ ; $\frac{7}{10} = 0.7$ ; $\frac94 = 2.25$ . L’intrus est $\frac13 = 0.333\dots$ , dont l’écriture décimale ne s’arrête jamais : ce n’est pas un nombre décimal.

Exercice 39.10 ★★

Une classe a $28$ élèves. Les trois quarts viennent à l’école en bus, et le reste à pied. Combien d’élèves viennent à pied ? Résoudre étape par étape, et vérifier que les tailles des deux groupes additionnent $28$ .

Solution

Solution de Exercice 39.10.

Usagers du bus : $\frac34$ de $28$ : $28 \div 4 = 7$ , puis $7 \times 3 = 21$ élèves. À pied : $28 - 21 = 7$ élèves (c’est le quart restant : $28 \div 4 = 7$ ). Vérif. : $21 + 7 = 28$ .

Exercice 39.11 ★★

Léo a dépensé $\frac23$ de ses économies pour un jeu qui a coûté $18$ euros. Combien d’argent Léo avait-il avant ? (Un tiers de ses économies est la moitié de $18$ … réfléchir pourquoi, ou trouver d’abord la taille d’une part.)

Solution

Solution de Exercice 39.11.

Les deux tiers des économies valent $18$ euros, donc un tiers vaut $18 \div 2 = 9$ euros, et les économies entières (trois tiers) étaient $9 \times 3 = 27$ euros. Vérif. : $\frac23$ de $27$ est $18$ .

Exercice 39.12 ★★★

Un réservoir est rempli aux $\frac58$ de sa capacité. Après avoir utilisé $10$ litres, il est à moitié plein. Quelle est la capacité du réservoir ? (Quelle fraction du réservoir les $10$ litres représentent-ils ?)

Solution

Solution de Exercice 39.12.

L’eau utilisée est passée de $\frac58$ à $\frac48$ (une moitié, c’est quatre huitièmes) du réservoir : les $10$ litres représentent $\frac58 - \frac48 = \frac18$ de la capacité. Donc le réservoir plein tient $10 \times 8 = 80$ litres. Vérif. : $\frac58$ de $80$ est $50$ , moins $10$ laisse $40$ , qui est bien la moitié de $80$ .